時(shí)間：2023-08-30 16:37:33
導(dǎo)語(yǔ)：在數(shù)學(xué)原始概念的撰寫(xiě)旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
【關(guān)鍵詞】原始概念；規(guī)定式概念；構(gòu)造式概念；邏輯式概念；數(shù)形結(jié)合式概念
數(shù)學(xué)概念是人類在長(zhǎng)期的實(shí)踐中經(jīng)過(guò)千錘百煉的數(shù)學(xué)精華和基礎(chǔ)，它的起源與發(fā)展都是自然的。數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的根基，所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容都必須建立在數(shù)學(xué)概念之上。數(shù)學(xué)概念是形成數(shù)學(xué)法則、公式、定理，也是運(yùn)算、推理、判斷和證明的基礎(chǔ)，還是數(shù)學(xué)思維、交流的工具。數(shù)學(xué)概念包括概念的名稱、定義、正例反例、表征特性。最重要的是其定義，定義對(duì)明確概念具有清晰、扼要、確定和醒目的作用。學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握如何，對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)將產(chǎn)生重要的影響，教師必須做好概念教學(xué)。
數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等多種學(xué)習(xí)方式。但在教學(xué)實(shí)踐中，我們一線教師都有一個(gè)共同的困擾，即在學(xué)生自主探索的時(shí)間內(nèi)，①有的學(xué)生根本提不出問(wèn)題，②有問(wèn)題也無(wú)從下手分析，③大部分學(xué)生抓不住要點(diǎn)。一節(jié)時(shí)間過(guò)去了，什么教學(xué)任務(wù)沒(méi)有完成。教師看在眼里，急在心上，屬于無(wú)效教學(xué)。現(xiàn)代教育提倡自主探索、情景激發(fā)、合作學(xué)習(xí)，但并不是每節(jié)數(shù)學(xué)課必不可少的步驟，數(shù)學(xué)課不能以“生活化”和“社會(huì)化”代替“數(shù)學(xué)化”。一個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成是前人把大量的同類事物某方面的特性單獨(dú)抽出來(lái)研究，經(jīng)過(guò)比較、分析、歸納和抽象再把這類事物的共同特性綜合起來(lái)概括出數(shù)學(xué)概念。嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的數(shù)學(xué)概念的理解，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不是一下子就能領(lǐng)會(huì)深刻的。因此教師必須搞清楚數(shù)學(xué)概念的屬性，有些概念只需識(shí)記；有些概念需弄清楚它的來(lái)龍去脈、深刻理解；有些概念不僅要理解還要應(yīng)用其解決問(wèn)題。這樣就能合理地安排教學(xué)。
原始概念指不加定義的概念，根據(jù)人們的直覺(jué)，形象描述，舉例說(shuō)明。我們?cè)诮虒W(xué)中要找到現(xiàn)實(shí)的最佳原型，把這個(gè)概念的特性表征出來(lái)。如：自然數(shù)、點(diǎn)、線、平面、集合、對(duì)應(yīng)、平行、相交、代數(shù)式、等式、不等式等。例1：代數(shù)式的說(shuō)明：經(jīng)過(guò)舉例后，描述為像這樣由數(shù)和字母乘積組成的式子就叫代數(shù)式。例2：集合的說(shuō)明：通過(guò)舉同種性質(zhì)事物全體后，描述為像這樣特定對(duì)象的全體構(gòu)成集合。原始概念是概念中的基石，有了原始概念就可以在其基礎(chǔ)上抽象出新概念。這類概念的教學(xué)，只需舉出日常生活、生產(chǎn)中的實(shí)例形成這類概念的印象，搞清楚其特征。教學(xué)的要求是達(dá)到了解水平，即能說(shuō)出這些知識(shí)是什么，能在有關(guān)問(wèn)題中識(shí)別它們。
二、規(guī)定式概念的教學(xué)
由于數(shù)學(xué)發(fā)展的需要而作出的規(guī)定。模長(zhǎng)等于1的向量是單位向量。非零實(shí)數(shù)的零次方等于1。還有絕對(duì)值、圓周率、自然對(duì)數(shù)的底數(shù)等。教學(xué)要求也只需達(dá)到識(shí)別、回憶、套用即可。因?yàn)檫@些概念是硬性規(guī)定的。但應(yīng)用時(shí)要抓住使用條件。
三、構(gòu)造式概念教學(xué)
日常生活、生產(chǎn)中研究的對(duì)象變化符合某種規(guī)律，就可構(gòu)造出相應(yīng)數(shù)學(xué)模型。通常由數(shù)與式通過(guò)運(yùn)算法則和符號(hào)組成固定形式。如：“形如y=ax（a>0且a≠1）的函數(shù)”叫指數(shù)函數(shù)。這類概念形式有嚴(yán)格的要求。要理解這類概念，就需進(jìn)行概念辨析。如：y=3-x，y=2·3x，y=（-3）x，y=3x+1是不是指數(shù)函數(shù)。這類概念教學(xué)用不上情景和啟發(fā)，用得上點(diǎn)撥與討論，記住這些基本函數(shù)的形式。
四、邏輯式概念的教學(xué)
在已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上，用若干個(gè)原始概念或者改變某些條件形成新的數(shù)學(xué)概念。例：棱柱的定義為：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體。其中已學(xué)過(guò)的定義有“平行平面”、“四邊形”、“公共邊”、“平行”、“多面體”。此類的概念還有：等腰梯形、圓錐等。教學(xué)中需要用到原來(lái)已學(xué)過(guò)的概念，再搞清要改變的條件即可。
五、程序性概念
經(jīng)過(guò)有限步驟的運(yùn)算或畫(huà)圖由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和技能而形成的概念。此類概念是教學(xué)中的重點(diǎn)，有時(shí)也是難點(diǎn)。這類概念占的比例最大，又可細(xì)分為兩種情況：（1）過(guò)程型定義：完成運(yùn)算步驟，就可以得到該概念的定義。例1：要想理解平均數(shù)的定義。①給出一組實(shí)數(shù)，②求這組實(shí)數(shù)的和③用和除以這組數(shù)的個(gè)數(shù)④所得的數(shù)即為這組數(shù)的平均數(shù)。例2：理解函數(shù)的定義。①觀察兩個(gè)非空數(shù)集A、B中有哪些元素，②分析對(duì)應(yīng)關(guān)系f，③集A中的元素在f作用下的結(jié)果在B中能否找到④做出判斷。（2）結(jié)構(gòu)型定義：觀察數(shù)學(xué)對(duì)象的各部分結(jié)構(gòu)加上組合方式做出的判斷。例1：理解單項(xiàng)式定義時(shí)：舉出幾個(gè)式子，觀察每個(gè)式子都是數(shù)字與字母的乘積。例2：理解三角形定義時(shí)：觀察三條線段首尾順次相連即可。 教學(xué)中要搞清楚形成該概念有幾個(gè)步驟或分解這個(gè)概念的組成成分。
六、數(shù)形結(jié)合式定義
先通過(guò)畫(huà)圖認(rèn)識(shí)其形狀結(jié)構(gòu)，再通過(guò)蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系搞清其本質(zhì)特性。例1：在平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離的和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡形成橢圓。我們雖然通過(guò)線繩操作畫(huà)出橢圓，但這些感性知識(shí)還是不夠的。其中的數(shù)量關(guān)系式①兩定點(diǎn)距離為2c，②動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為2a，③2c
數(shù)學(xué)概念除了定名稱，搞清定義以何種方式形成外，還應(yīng)舉出適當(dāng)數(shù)量的正例和反例加深理解和記憶。要熟練的掌握數(shù)學(xué)概念，還應(yīng)對(duì)定義進(jìn)行變式訓(xùn)練，即加強(qiáng)或減弱或隱含某些條件來(lái)辨析概念的正誤以及適用范圍。
【參考文獻(xiàn)】
[1]齊建華、王紅蔚.數(shù)學(xué)教育學(xué)：鄭州大學(xué)出版社.2006
數(shù)學(xué)概念是反映一類對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式，它具有相對(duì)獨(dú)立性。概念反映的這一類對(duì)象本質(zhì)屬性，即這類對(duì)象的內(nèi)在的，固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類對(duì)象時(shí)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它們已被舍去了具體物質(zhì)屬性和具體的關(guān)系，僅被抽取出量的關(guān)系和形式結(jié)構(gòu)，在某種程度上表現(xiàn)為對(duì)原始對(duì)象具有內(nèi)容的相對(duì)獨(dú)立性。
數(shù)學(xué)概念具有抽象與具體的雙重性，數(shù)學(xué)概念既然代表了一類對(duì)象的本質(zhì)屬性，那么它是抽象的，以“矩形”概念為例，現(xiàn)實(shí)世界沒(méi)有見(jiàn)過(guò)抽象的矩形，而只能見(jiàn)到形形的具體的矩形，叢這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念“脫離”了現(xiàn)實(shí)。由于數(shù)學(xué)中使用了形式化，符號(hào)化得語(yǔ)言，是數(shù)學(xué)概念離現(xiàn)實(shí)更遠(yuǎn)，即抽象程度更高，但同時(shí)，正因?yàn)槌橄蟪潭扔鷣?lái)愈高，與現(xiàn)實(shí)的原始對(duì)象聯(lián)系愈弱，才使得數(shù)學(xué)概念應(yīng)用愈廣泛。但不管怎樣的抽象，高層次的概念總是以低層次的概念為具體內(nèi)容。且數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)部分，就整個(gè)數(shù)學(xué)體系而言，概念是一個(gè)實(shí)在的東西。所以它即抽象又具體。
數(shù)學(xué)概念還具有邏輯關(guān)聯(lián)性。數(shù)學(xué)中打多數(shù)概念都是在原始概念（原名）基礎(chǔ)上形成的，并采用邏輯定義的方法，以語(yǔ)言或符號(hào)的形式使之固定。其他學(xué)科均沒(méi)有教學(xué)中諸如概念那樣具有如此精準(zhǔn)的內(nèi)涵和如此豐富，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬯P(guān)系。
數(shù)學(xué)概念教學(xué)是中學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要一環(huán)。一些學(xué)生數(shù)學(xué)之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別是像我校這樣普通中學(xué)的學(xué)生，數(shù)學(xué)素養(yǎng)差的關(guān)鍵是在對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等方面的差異。因此抓好概念教學(xué)時(shí)提高中學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的帶有根本意義的一環(huán)。教學(xué)過(guò)程中如果能夠充分考慮到這一因素，抓住有限的概念教學(xué)的契機(jī)，以提高大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是完全可以做到的，同時(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高也為學(xué)生的各項(xiàng)能力和素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了有利條件以及必要的保障。
從平常數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)際來(lái)看，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)兩種傾向，其一是有的學(xué)生認(rèn)為基本概念單調(diào)乏味，不去重視它，不求甚解，導(dǎo)致概念認(rèn)識(shí)和理解模糊：其二是有的學(xué)生對(duì)基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機(jī)械的，零碎的認(rèn)識(shí)。這樣久而久之，從而嚴(yán)重影響對(duì)教學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握和運(yùn)用。比如有的同學(xué)在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，有的同學(xué)認(rèn)為函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，這些錯(cuò)誤都是由于學(xué)生對(duì)概念認(rèn)識(shí)模糊造成的。從一定意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)水平的高低，取決于對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握的程度。
二、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)形式
1.重視概念的本源，概念產(chǎn)生的基礎(chǔ)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程。
學(xué)生如能在教師創(chuàng)設(shè)的情景中像數(shù)學(xué)家那樣去“想數(shù)學(xué)”，“經(jīng)歷”一遍發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)新的過(guò)程，那么在獲得概念的同時(shí)還能培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。由于概念教學(xué)在整個(gè)教學(xué)中起著舉足輕重的作用，我們應(yīng)重視在教學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。引入時(shí)概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎(chǔ)。概念引入時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生猜想，即讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識(shí)作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象，讓學(xué)生經(jīng)歷教學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段，猜想作為數(shù)學(xué)想象表現(xiàn)形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力。
比如，在立體幾何中異面直線距離與概念，傳統(tǒng)的方法是給出異面直線公垂線的概念，然后指出兩垂足間的線段長(zhǎng)就叫做兩條異面直線的距離。教學(xué)可以先讓學(xué)生回顧一下過(guò)去學(xué)過(guò)的有關(guān)距離的概念，如兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導(dǎo)學(xué)生思考這些距離有什么特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)共同的特點(diǎn)是最短與垂線。然后，啟發(fā)學(xué)生思索在兩條異面直線上是否存在這樣的兩點(diǎn)，它們間的距離是最短的？如果存在，應(yīng)當(dāng)有什么特征？于是經(jīng)過(guò)共同探索，得出如果這兩點(diǎn)的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長(zhǎng)時(shí)最短的，并通過(guò)實(shí)物模型演示確認(rèn)這樣的線段是否存在，在此基礎(chǔ)上，自然地給出異面直線距離和概念。
2.挖掘概念的內(nèi)涵與外延，理解概念。
新概念的引入，是對(duì)已有概念的繼承，發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富，外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義，經(jīng)歷了以下三個(gè)循環(huán)漸進(jìn)，不斷深化的過(guò)程：
（1）用直角三角形邊長(zhǎng)的比刻畫(huà)的銳角三角函數(shù)的定義，
（2）用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的定義，
（3）任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生出：三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)；三角函數(shù)線；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)點(diǎn)的圖像性質(zhì)；三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等?？梢?jiàn)，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重，它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵的作用。
3.尋找新概念之間的聯(lián)系，掌握概念。
數(shù)學(xué)中有許多概念都有著密切的聯(lián)系。如函數(shù)概念有兩種定義，一種是初中給出的定義，是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系式將自變量的每一個(gè)取值，與唯一確定的函數(shù)值對(duì)應(yīng)起來(lái)，另一種高中給出的定義，是從集合中的每一個(gè)元素與象集合中唯一確定的元素對(duì)應(yīng)起來(lái)。從歷史上看，初中給出的定義來(lái)源于物理公式，而函數(shù)可用圖像，表格，公式等表示，所以高中用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性，更具有一般性。認(rèn)真分析兩種函數(shù)定義，其定義域與值域的含義完全相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)上也一樣，只不過(guò)在敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，所以兩種函數(shù)的定義，本質(zhì)是一致的。
一、計(jì)量概念教學(xué)中，“情景式”生活化應(yīng)以真切的感知為目的
現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)需要學(xué)習(xí)的計(jì)量概念主要有長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、貨幣、面積、體積（容積）等。這些概念與學(xué)生生活實(shí)際的聯(lián)系非常緊密，然而要在學(xué)生初級(jí)日常概念的基礎(chǔ)上建立定義明確，有一定邏輯意義的科學(xué)概念仍是一個(gè)漫長(zhǎng)的進(jìn)程。
以人教版（注：本文引用教材均來(lái)自人教版）二年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)度單位》的教學(xué)為例。米和厘米是兩個(gè)最基本的長(zhǎng)度單位，教學(xué)的最終目的是讓學(xué)生對(duì)這兩個(gè)長(zhǎng)度單位的實(shí)際“大小”形成較為鮮明的表象。其中《厘米的認(rèn)識(shí)》教材內(nèi)容編排通過(guò)三個(gè)情景呈現(xiàn)（圖略，詳見(jiàn)二年級(jí)上冊(cè)教材P3）。
第一個(gè)情景是直觀呈現(xiàn)1厘米的長(zhǎng)短，再借助圖釘、手指的寬度幫助學(xué)生建立表象。在教學(xué)設(shè)計(jì)之前，教師首先應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，厘米屬于一個(gè)原始概念，難以用簡(jiǎn)練確切的語(yǔ)言定義，甚至無(wú)法準(zhǔn)確地進(jìn)行描述。對(duì)于1厘米的實(shí)際長(zhǎng)度，每個(gè)學(xué)生甚至每個(gè)人的感知標(biāo)準(zhǔn)受到年齡特征和生活經(jīng)驗(yàn)的影響都不盡相同。因而，這樣的“情景式”生活化與學(xué)生對(duì)于1厘米的清晰表象建立之間仍存有不小的差距。
用怎樣的方式縮短或者彌補(bǔ)這一差距呢？筆者認(rèn)為，需要給學(xué)生一種真實(shí)的感覺(jué)，第一次呈現(xiàn)的時(shí)候應(yīng)該是標(biāo)準(zhǔn)的，這就需要借助實(shí)物教具進(jìn)行。在類似的原始概念的教學(xué)中，甚至應(yīng)當(dāng)減少多媒體這一現(xiàn)代化教學(xué)方式的運(yùn)用。試想，1厘米的距離，或者含有1厘米的一些生活情景，在多媒體上表現(xiàn)出來(lái)往往會(huì)有較大的偏差，這將對(duì)概念清晰表象的建立產(chǎn)生負(fù)面作用。
再如二年級(jí)下冊(cè)關(guān)于質(zhì)量的概念《克與千克》的教學(xué)，如果說(shuō)長(zhǎng)度單位的教學(xué)還能借助視覺(jué)的作用力，那么質(zhì)量概念則完全需要依賴真切的感知。教學(xué)之后學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)到底如何呢？這里引述一個(gè)真實(shí)的例子。在一次面向小學(xué)中高年級(jí)學(xué)生的調(diào)查測(cè)試中，有這樣一題“一個(gè)雞蛋約重（ ）。A.4克 B.40克 C.400克 D.4千克”這樣一個(gè)在教師看來(lái)非常簡(jiǎn)單的題目，城區(qū)和農(nóng)村學(xué)生的正確率分別為69%和61%。此一現(xiàn)象值得引起教者廣泛的反思，而首先應(yīng)對(duì)《克與千克》概念的教學(xué)進(jìn)行剖析。
首先看教材的編排，先是通過(guò)一個(gè)主題圖，包含6個(gè)蘋(píng)果重1千克，一盒餅干110克，一壺豆油5千克等信息，引出“表示物品有多重，可以用克和千克做單位?！比缓笸ㄟ^(guò)情景以設(shè)問(wèn)的方式呈現(xiàn)（圖略，詳見(jiàn)二年級(jí)下冊(cè)教材P86）：1克有多重？1千克有多重？并指出1個(gè)2分硬幣重約1克；1袋鹽重1千克。提出：“分別用手掂一掂，感覺(jué)怎么樣？”
再看教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定：在具體生活情景中，使學(xué)生感受并認(rèn)識(shí)質(zhì)量單位——克和千克?！督處熃虒W(xué)用書(shū)》關(guān)于該部分教材說(shuō)明中有這樣的表述：學(xué)生在日常生活中已經(jīng)對(duì)質(zhì)量的概念有了感性的認(rèn)識(shí)，建立了初步的質(zhì)量概念。
筆者認(rèn)為，這里需要引起教師特別關(guān)注的有以下兩點(diǎn)。
1.學(xué)生對(duì)質(zhì)量概念的感性認(rèn)識(shí)（即建立的表象）究竟處于怎樣的水平？
2.呈現(xiàn)式的生動(dòng)、具體的“情景”對(duì)于學(xué)生理解質(zhì)量概念的作用應(yīng)該以怎樣更為準(zhǔn)確的方式體現(xiàn)？
實(shí)用主義哲學(xué)的創(chuàng)始人，教育家杜威認(rèn)為：“一盎司經(jīng)驗(yàn)勝過(guò)一噸理論?！毙W(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心便是讓學(xué)生去獲得那珍貴的一盎司經(jīng)驗(yàn)?！扒榫笆健鄙罨梢哉J(rèn)為是教材編排無(wú)法規(guī)避的現(xiàn)象，但是實(shí)際的課堂教學(xué)應(yīng)該始終圍繞引導(dǎo)學(xué)生真切地感知為最終目的，只有這樣，學(xué)生建立起來(lái)的關(guān)于概念的表象才是真實(shí)的、科學(xué)的。
二、幾何概念教學(xué)中，“直觀性”生活化應(yīng)避免造成理解的困惑
有研究表明，兒童在感知周?chē)奈矬w時(shí)，首先注意的是物體的形狀，而且對(duì)外部特征鮮明的物體興趣尤為強(qiáng)烈。隨著學(xué)生思維能力的提高，教師可將儲(chǔ)存在學(xué)生腦子里的豐富感知經(jīng)驗(yàn)抽象化，并在此基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)學(xué)生關(guān)于空間觀念的“元認(rèn)知”，從而使其達(dá)到知覺(jué)水平，這一過(guò)程便是圖形與幾何教學(xué)的實(shí)質(zhì)。
“直觀性”生活化在幾何概念教學(xué)的導(dǎo)入階段是非常必要和重要的，它起到了將生活實(shí)際與數(shù)學(xué)概念溝通的橋梁作用。但是，教學(xué)中仍然需要處理好一些存在著矛盾的關(guān)系，從而避免使學(xué)生造成理解困難的現(xiàn)象，切實(shí)提高教學(xué)的有效性。
1.生活的直觀性與數(shù)學(xué)的抽象性
譬如說(shuō)直線、點(diǎn)等原始概念。教師通過(guò)直觀性的生活化展示給學(xué)生的始終是具體的形象，科學(xué)意義上的點(diǎn)、直線的概念具有純抽象性，生活中找不出嚴(yán)格意義上的原型，只能建立并存在于學(xué)生的個(gè)人意識(shí)中。因此教師的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是在豐富直觀呈現(xiàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象和歸納，從而完成學(xué)生意識(shí)形態(tài)上的概念建構(gòu)。只有這樣，直線的概念才不止步于初級(jí)思維當(dāng)中的“直的線”，而是科學(xué)意識(shí)形態(tài)上可以向兩端無(wú)線延長(zhǎng)的幾何形狀。
2.生活的豐富性與數(shù)學(xué)的科學(xué)性
生活對(duì)數(shù)學(xué)的切入并非一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有時(shí)還會(huì)產(chǎn)生一定的消極因素。例如，關(guān)于“角的初步認(rèn)識(shí)”，學(xué)生原始生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念之間并沒(méi)有直接聯(lián)系。生活中“角”的概念包括：動(dòng)物的角，數(shù)學(xué)廣角的角，貨幣單位中的角及形態(tài)上像“角”的事物?！缎氯A詞典》關(guān)于“角”的意義解釋多達(dá)13種，而數(shù)學(xué)概念上的“角”只是其中之一。
因而開(kāi)展“角的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)，實(shí)際上就要建立在消除學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不良影響的基礎(chǔ)之上。有一個(gè)案例是教師在課堂中根據(jù)學(xué)生的表述，采用拍照的方式將學(xué)生在課堂上所能見(jiàn)到的角真實(shí)地記錄并用多媒體的方式即時(shí)呈現(xiàn)，進(jìn)而引出將立體的角轉(zhuǎn)化成平面意義上的角這一教學(xué)要點(diǎn)。這樣的教學(xué)可以說(shuō)是從生活實(shí)際延伸到數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一種自然而又恰當(dāng)?shù)姆绞健?/p>
3.生活的呈現(xiàn)性與數(shù)學(xué)的過(guò)程性
蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)（思維活動(dòng)）的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)。”但事實(shí)上，任何數(shù)學(xué)概念不管采用怎樣的生活化呈現(xiàn)都已經(jīng)具備了結(jié)果的“雛形”，這使得數(shù)學(xué)活動(dòng)（思維活動(dòng)）的過(guò)程性體現(xiàn)大打折扣。從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)，過(guò)程的體現(xiàn)在很多地方是不認(rèn)可的，因?yàn)樽霾坏剑蛘哒f(shuō)做了也不充分，但這并不妨礙教師在教學(xué)實(shí)踐中需要在這方面付出努力、進(jìn)行探索。
例如某位教師在《直角的認(rèn)識(shí)》教學(xué)中開(kāi)展的活動(dòng)如下（僅摘錄教師引導(dǎo)部分）：
（1）這么多角里，找一找與直角能重合的；
（2）比較角的大??；
（3）畫(huà)一個(gè)接近于直角的角，比較大??；
（4）利用吸管做一個(gè)直角；
（5）你覺(jué)得你做出來(lái)的角是不是直角？
（6）做一個(gè)比直角大一點(diǎn)的角，做一個(gè)比直角小一點(diǎn)的角；
（7）老師手上的吸管這么長(zhǎng)，能不能做一個(gè)比較小的角？你的吸管那么短，能不能做一個(gè)比較大的角？
（8）請(qǐng)你坐正，坐成直角；
（9）讓我們一起來(lái)體驗(yàn)滑滑梯吧（多媒體呈現(xiàn)三種不同角度的滑梯）；
……
這樣的設(shè)計(jì)注重知識(shí)過(guò)程性的體驗(yàn)，借助多樣的生活化表現(xiàn)方式，通過(guò)數(shù)學(xué)課堂切實(shí)地將學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)提升到了數(shù)學(xué)理解的層面。
三、數(shù)與代數(shù)概念教學(xué)中，生活化的呈現(xiàn)應(yīng)多與學(xué)科特質(zhì)相聯(lián)系
新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)學(xué)生自主式的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，而我們習(xí)以為常的教學(xué)形式是：教師用多媒體的方式展示一幅情境圖，然后問(wèn)“你能提幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？”“用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？”這樣的教學(xué)形式在數(shù)與代數(shù)概念的教學(xué)中經(jīng)常會(huì)讓人覺(jué)得牽強(qiáng)甚至于無(wú)奈。數(shù)與代數(shù)的概念是學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算的基礎(chǔ)，是孕育“算理”的根本。另一方面，在“生活化”的大潮里，很多教師都進(jìn)行了對(duì)課堂教學(xué)“數(shù)學(xué)味”的理性思考與探索，而這些努力的效果體現(xiàn)通常取決于生活化的課堂教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)的結(jié)合是否密切。
例如六年級(jí)上冊(cè)《百分?jǐn)?shù)的意義》設(shè)計(jì)思路：讓學(xué)生初步感受生活中的百分?jǐn)?shù)（直觀認(rèn)知）；再到各個(gè)百分?jǐn)?shù)意義的充分表述（感知體驗(yàn)）；逐步歸納出百分?jǐn)?shù)意義的符號(hào)化模式（初級(jí)模型），即“表示（ ）是（ ）的百分之幾”；最終提煉出 “百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”（科學(xué)概念）。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)以模型思想的建立為依據(jù)，既是概念的建構(gòu)性體現(xiàn)，也是切實(shí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣和應(yīng)用意識(shí)的根本途徑。
又如五年級(jí)上冊(cè)《用字母表示數(shù)》的概念教學(xué)，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，由具體的、確定的數(shù)引申到用字母表示抽象的、可變的數(shù)是認(rèn)識(shí)上的一大飛躍。這就要求教師在課堂中既要發(fā)揮具體實(shí)例對(duì)于抽象概括的支撐作用，又要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生超脫實(shí)例的具體性，實(shí)現(xiàn)必要的抽象概括。實(shí)踐中通常利用正方形、三角形等圖形化符號(hào)作為過(guò)渡，應(yīng)該說(shuō)是在數(shù)形結(jié)合知識(shí)的基礎(chǔ)上開(kāi)啟了“發(fā)展符號(hào)化意識(shí)”之門(mén)。
數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。因此學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)關(guān)鍵是數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)重要的組成部分。
一、數(shù)學(xué)概念的意義和定義方式
數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過(guò)比較、分類從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后再通過(guò)具體的例子對(duì)所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn)與修正，最后通過(guò)概括得到定義并用符號(hào)表達(dá)出來(lái)。實(shí)際上應(yīng)包含兩層含義：其一，數(shù)學(xué)概念代表的是一類對(duì)象，而不是個(gè)別的事物。例如“三角形”可用符號(hào)“”來(lái)表示。這時(shí)凡是像“”這樣具有三個(gè)角和三條邊的圖形，則不論大小，統(tǒng)稱為三角形，也就是說(shuō)三角形的概念，就是指所有的三角形：等邊的、等腰的、不等邊的、直角的、銳角的、鈍角……；其二，數(shù)學(xué)概念反映的是一類對(duì)象的本質(zhì)屬性，即該類對(duì)象的內(nèi)在的、固有的屬性，而不是那些表面的非本質(zhì)的屬性。例如，“圓”這個(gè)概念，它反映的是“平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集”，我們根據(jù)這些屬性，就能把“圓”和其他概念區(qū)分開(kāi)。
我們把某一概念反映的所有對(duì)象的共同本質(zhì)屬性的總和叫做這個(gè)概念的內(nèi)涵，把適合于這個(gè)概念的所有對(duì)象的范圍稱為這個(gè)概念的外延。通常說(shuō)，給概念下定義，就是提示內(nèi)涵或外延。一般說(shuō)，定義數(shù)學(xué)概念有以下幾種方式：
1.約定式定義
由于數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，有時(shí)也通過(guò)規(guī)定給術(shù)語(yǔ)以特定的意義。如“不等于零的數(shù)的零次冪等于1”，規(guī)定了零指數(shù)冪的意義，但要注意，約定式不能隨心所欲，必須符合客觀規(guī)律。
2.描述性定義
數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，每個(gè)新概念總要用一些已知的概念來(lái)定義，而這些用于定義的已知概念又必須用另一些已知的概念來(lái)刻畫(huà)，從而構(gòu)成了一個(gè)概念的系列。在概念的系列中，是不允許有循環(huán)的。因此總有些概念是不能用別的概念來(lái)定義。這樣的概念，叫做數(shù)學(xué)中的基本概念，又稱為“原名”（或不定義概念、原始概念），它們的意義只能借助于其他術(shù)語(yǔ)和它們各自的特征予以形象地描述。如：幾何中的點(diǎn)、直線、平面，代數(shù)中的集合、元素等。
3.構(gòu)造式定義
這種定義是通過(guò)概念本身發(fā)生、形成過(guò)程的描述來(lái)給出的。如橢圓的定義“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的規(guī)跡叫做橢圓”。
4.屬加種差定義
如果某一概念從屬于另一個(gè)概念，則后者叫做前者的屬概念，而前者叫做后者的種概念。如實(shí)數(shù)是有理數(shù)的屬概念，而有理數(shù)是實(shí)數(shù)的種概念。
在同一個(gè)屬概念下，各個(gè)概念所含屬性的差別叫種差。如對(duì)于四邊形這個(gè)屬概念，平行四邊形和梯形都是它的種概念，它們的種差是：“兩組對(duì)邊分別平行”和“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行”。
用屬加種差來(lái)定義概念，“就是把某一概念放在另一更廣泛的概念里”來(lái)刻畫(huà)它的意義，通常的方法是用鄰近的屬加種差來(lái)進(jìn)行表述。如：平行四邊形的定義，它的鄰近的屬概念是四邊形，種差是兩組對(duì)邊分別平行，因而平行四邊形的定義表述成“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”。
另外，在教材里，還會(huì)遇到一些通過(guò)揭示概念的外延的方式給概念下定。如實(shí)數(shù)的定義：“有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)”。
最后，還需聲明：定義是數(shù)學(xué)概念的方式，以上分析是相對(duì)的、不嚴(yán)格的。例如，“異面直線所成角”定義，我們既可以認(rèn)為它是約定式的，即規(guī)定“把經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)所作的兩條異面直線的平行線所成的銳角或直角叫做異面直線所成的角”，也可以把它理解為發(fā)生式的：即通過(guò)取點(diǎn)、作平行線構(gòu)成兩對(duì)對(duì)頂角，把其中的銳角或直角叫做異面直線所成的角?？傊?，我們理解定義并不在于區(qū)分它是屬于哪種定義方式，而是要明確概念的外延與內(nèi)涵，然后應(yīng)用它們?nèi)ソ鉀Q問(wèn)題。
二、怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)
對(duì)數(shù)學(xué)概念，即使是那些原始概念，都不能望文生義。在教學(xué)中，既要把握它的內(nèi)涵，這是掌握概念的基礎(chǔ)；又要了解它的外延，這樣才有利于對(duì)概念的理解和擴(kuò)展；同時(shí)，對(duì)于概念中的各項(xiàng)規(guī)定、各種條件，都有要逐一認(rèn)識(shí)，綜合理解，從而印象更深，掌握更牢。
一般來(lái)說(shuō)，圍繞一個(gè)數(shù)學(xué)概念，應(yīng)當(dāng)力求清楚下列各個(gè)方面的問(wèn)題：
①揭示本質(zhì)屬性。這個(gè)概念討論的對(duì)象是什么，有何背景？此概念中有哪些規(guī)定和條件？它們與過(guò)去學(xué)過(guò)的知識(shí)有什么聯(lián)系？這些規(guī)定和條件的確切含義又是什么？
給出概念的定義、名稱和符號(hào)，揭示概念的本質(zhì)屬性。例如學(xué)次函數(shù)的概念，先學(xué)習(xí)它的定義：“y=ax2＋bx＋c(a、b、c、是常數(shù)。a≠0)那么y叫做x的二次函數(shù)”。又如，一位教師教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)”時(shí)，在指導(dǎo)學(xué)生給不同形體的實(shí)物分類引入“長(zhǎng)方體”和“正方體”的概念后，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生先把“長(zhǎng)方體”或“正方體”的各個(gè)面描在紙上，并仔細(xì)觀察描出的各個(gè)面有什么特點(diǎn)，再認(rèn)識(shí)什么叫“棱”，什么叫“頂點(diǎn)”，然后，指導(dǎo)學(xué)生分組填好領(lǐng)料單，根據(jù)領(lǐng)料單領(lǐng)取“頂點(diǎn)”和“棱”，制作“長(zhǎng)方體”或“正方體”的模型，邊觀察邊討論長(zhǎng)方體與正方體的頂點(diǎn)和棱有什么特點(diǎn)，最后指導(dǎo)學(xué)生自己歸納、概括出“長(zhǎng)方體”和“正方體”的特征，從而使學(xué)生充分了解“長(zhǎng)方體”和“正方體”這兩個(gè)概念的內(nèi)涵和外延。
②討論反例與特例。對(duì)概念進(jìn)行特殊的分類，討論各種特例，突出概念的本質(zhì)屬性。例如二次函數(shù)的特例是：y=ax2，y=ax2＋c，y=ax2＋bx，等等。
③新舊知識(shí)聯(lián)系。此概念中有哪些規(guī)定和條件？它們與過(guò)去學(xué)過(guò)的知識(shí)有什么聯(lián)系？使新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)觀念建立聯(lián)系，把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，同化新概念。例如把二次函數(shù)和一次函數(shù)、函數(shù)等聯(lián)系起來(lái)，把它納入函數(shù)概念的體系中。
④實(shí)例確認(rèn)。辨認(rèn)正例和反例，確認(rèn)新概念的本質(zhì)屬性，使新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念精確分化。例如舉出y=2x＋3，y=3x2－x＋5,y=－5x2－6等讓學(xué)生辨認(rèn)。
⑤具體運(yùn)用。根據(jù)概念中的條件和規(guī)定，能夠歸納出哪些基本性質(zhì)？這些性質(zhì)在應(yīng)用中有什么作用？通過(guò)各種形式運(yùn)用概念，加深對(duì)新概念的理解，使有關(guān)概念融會(huì)貫通成整體結(jié)構(gòu)。
以上，我們只是介紹了概念教學(xué)過(guò)程的一般模式。把這個(gè)全過(guò)程可歸結(jié)為三個(gè)階段：
（一）引進(jìn)概念途徑
數(shù)學(xué)概念本身是抽象的，所以，新概念的引入，一定要堅(jiān)持從學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平出發(fā)，要密切聯(lián)系生產(chǎn)、生活實(shí)際。不同的概念的引進(jìn)方法也不盡相同。對(duì)于一些原始概念和一些比較抽象的概念，教師應(yīng)通過(guò)一定數(shù)量的感性材料來(lái)引入，要密切聯(lián)系生活實(shí)際，使學(xué)生“看得見(jiàn)，摸得著”。引用實(shí)例時(shí)一定要抓住概念的本特征，要著力于揭示概念的真實(shí)含義。如“平面”的概念，可讓學(xué)生觀察生活中一些如桌面、平靜的水面等，通過(guò)自己的探索和與同學(xué)們的交流得出結(jié)論。但是，教師一定要想辦法讓學(xué)生自己得到“無(wú)限延伸性和沒(méi)有厚度”的本質(zhì)特征。
（二）形成概念的方法
認(rèn)識(shí)一個(gè)特殊的心理過(guò)程，由于每個(gè)學(xué)生之間存在一些差異，那么完成這個(gè)過(guò)程所需的時(shí)間也不一定相同。但是就認(rèn)識(shí)過(guò)程而言，卻不能跳躍。教學(xué)中，引入概念、并使學(xué)生初步把握了概念的定義以后，還不等于形成了概念，還必須有一個(gè)去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造、制造，必須在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)概念作辯證的分析，用不同的方式進(jìn)一步提示不同概念的本質(zhì)屬性。
1.在掌握了概念的本質(zhì)屬性之后，要引導(dǎo)學(xué)生作一些練習(xí)。例如，引入分解因式的概念后，可選下列一類練習(xí)讓學(xué)生回答。
下列由左到右的變形，哪些是屬于分解因式？哪些不是？為什么？
①（x+2）(x-2)=x2-4;
②(a2-9)=(a+3)(a-3);
③a3-9a=a(a2-9);
④x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1;
⑤x2y+x=x2(y+1)
通過(guò)回答問(wèn)題，特別是說(shuō)明理由，可以初步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念作簡(jiǎn)單判斷的能力。同時(shí)，每做一次判斷，概念的本質(zhì)屬性就會(huì)在大腦里重現(xiàn)一次。因而，對(duì)于促進(jìn)概念的形成是行之有效的。
2．通過(guò)變式或圖形，深化對(duì)概念的理解。又如學(xué)習(xí)梯形這個(gè)概念時(shí)，可提供如下圖形讓學(xué)生觀察：
這里，要注意三點(diǎn)：第一，所提供的感性材料（梯形）要足量，不可太少，也沒(méi)有必要太多。太少不利于學(xué)生從中悟出規(guī)律，形成表象；太多會(huì)造成時(shí)間和精力上的浪費(fèi)。第二，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每一個(gè)材料加以分析和綜合。第
三，要注意變式，全部材料要能反映出本要領(lǐng)的全部本質(zhì)屬性。
3．抓住概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)新舊概念的對(duì)比，形成正確的概念。又如教學(xué)約數(shù)和倍數(shù)的概念時(shí)，可從“整除”這一概念入手，引出概念。
（三）概念的發(fā)展
學(xué)生掌握某一概念后，并不等于概念教學(xué)的結(jié)束，要用發(fā)展的眼光教概念。
1.不失時(shí)機(jī)地?cái)U(kuò)展延伸概念的含義。一個(gè)概念總是嵌在一些概念的群體之中。它們之間有縱橫交錯(cuò)的內(nèi)在聯(lián)系，必須揭示清楚。如學(xué)習(xí)比的意義之后，就要及時(shí)地把“比”、“分?jǐn)?shù)”、“除法”三者聯(lián)系在一起，找出三者的聯(lián)系和區(qū)別后，使學(xué)生居高臨下，在一個(gè)廣闊的背景下審視“比”這個(gè)概念，加深對(duì)概念的理解。
關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；自然；合理；人情味
數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)潔與嚴(yán)謹(jǐn)之美容易使人感覺(jué)“高貴”與“冷艷”，缺乏“親和力”。如何讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)概念美，需要教師在教學(xué)時(shí)揭示概念引入的必要性與合理性，展現(xiàn)人情味，增強(qiáng)親和力。本文是筆者在概念教學(xué)中的實(shí)踐與感悟，愿與同行一起分享，如有不當(dāng)之處請(qǐng)批評(píng)指正。
一、課堂教學(xué)案例
案例：任意角的概念教學(xué)片段
師：初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了角度，0度到360度。若把機(jī)械表?yè)芸?小時(shí)，分針轉(zhuǎn)過(guò)多少度？
生：轉(zhuǎn)過(guò)了720度。
師：怎么算？
生：360度加360度。
師：若把機(jī)械表?yè)苈?小時(shí)，分針轉(zhuǎn)過(guò)了多少度？
生：720度。
師：怎么算？
生：360度加360度。
師：若把機(jī)械表?yè)苈?小時(shí)，之后又撥快1小時(shí)，分針轉(zhuǎn)過(guò)了多少度？
生：轉(zhuǎn)過(guò)0度。
師：這又是怎么算的？
生：一開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)360度，后來(lái)又返回來(lái)360度，相當(dāng)于分針沒(méi)有任何轉(zhuǎn)動(dòng)。
師：那是怎樣的兩個(gè)度數(shù)相加呢？
生：360度與-360度相加。
師：負(fù)角？那機(jī)械表?yè)芸?小時(shí)與機(jī)械表?yè)苈?小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)角度還一致嗎？
（學(xué)生思索，感覺(jué)兩種轉(zhuǎn)法轉(zhuǎn)過(guò)的角度不同。）
生：對(duì)于順時(shí)針與逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，我們應(yīng)該讓轉(zhuǎn)動(dòng)的角度有不同的表示。
師：你們說(shuō)怎么規(guī)定好呢？
生1：規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正角，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)角。
師：是書(shū)上看的，還是你覺(jué)得要這么規(guī)定呢？
生1：我自己覺(jué)得這樣舒服些。
生2：我習(xí)慣看機(jī)械表，時(shí)間是往前走的，指針都是自動(dòng)順時(shí)針轉(zhuǎn)的。所以，我喜歡規(guī)定順時(shí)針轉(zhuǎn)為正角，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)角。
師：學(xué)生2說(shuō)得很有道理，學(xué)生1也說(shuō)說(shuō)你為什么會(huì)覺(jué)得逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正角，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)角舒服呢？
（學(xué)生1說(shuō)不出所以然。）
師：同意學(xué)生1說(shuō)法的同學(xué)，來(lái)說(shuō)說(shuō)你的理由。
生3：我覺(jué)得這個(gè)規(guī)定與坐標(biāo)系的象限1、2、3、4順序一致。
師：??？坐標(biāo)系？你怎么想到坐標(biāo)系呢？
生3：因?yàn)槲覀円恢痹趯W(xué)習(xí)函數(shù)，函數(shù)是要用圖象解決問(wèn)題的，也就是用坐標(biāo)系解決問(wèn)題。本章是學(xué)三角函數(shù)，我想需要引進(jìn)坐標(biāo)系。
師：嗯，說(shuō)得有理有據(jù)！根據(jù)學(xué)生2與學(xué)生3的說(shuō)法，哪個(gè)規(guī)定更合理呢？
生：學(xué)生3的說(shuō)法更合理。
師：很好！學(xué)生3已經(jīng)學(xué)會(huì)了函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，我想本書(shū)主編也是這么想的。
（學(xué)生會(huì)心地笑了。）
二、教學(xué)感悟與思考
1.數(shù)學(xué)概念教學(xué)要體現(xiàn)自然、合理、人情味
人教版教材主編寄語(yǔ)中寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)概念……的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么想一下它的背景、它的形成過(guò)程、它的應(yīng)用，以及它與其他知識(shí)的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味。”數(shù)學(xué)概念教學(xué)要讓學(xué)生感覺(jué)到引入概念的必要性、合理性。讓學(xué)生親歷概念的自然形成過(guò)程。這個(gè)過(guò)程不一定是數(shù)學(xué)家原本的思維過(guò)程，只要教學(xué)時(shí)能夠讓學(xué)生自圓其說(shuō)，讓教材中冰冷的規(guī)定與表述由教師通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題引導(dǎo)學(xué)生表述成功。教師在概念的背景引入上需濃墨重彩，顯示數(shù)學(xué)概念逐步形成的過(guò)程，挖掘蘊(yùn)涵在其中的思想方法，使學(xué)生體會(huì)內(nèi)涵于概念中“冰冷的美”，背后的那些“火熱的思考”。學(xué)生能感受數(shù)學(xué)概念是自然、合理，充滿人情味的，能體會(huì)數(shù)學(xué)的美，樂(lè)于親近數(shù)學(xué)。案例中的負(fù)角概念的出現(xiàn)與正負(fù)角規(guī)定都是在教師的誘導(dǎo)下學(xué)生表達(dá)完成。
2.數(shù)學(xué)概念教學(xué)要能“自圓其說(shuō)”
張奠宙先生說(shuō)過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)有三種不同的形態(tài)，第一種是數(shù)學(xué)家創(chuàng)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過(guò)程中的原始狀態(tài)；第二種是整理研究成果之后發(fā)表在數(shù)學(xué)雜志上、陳述于課本上的學(xué)術(shù)形態(tài)；第三種是便于學(xué)生學(xué)習(xí)理解，在課堂上出現(xiàn)的教育形態(tài)。教師每天面對(duì)課本上的數(shù)學(xué)概念，就是張先生說(shuō)的第二種形態(tài)。是嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)潔的知識(shí)成品，但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)它們猶如天外來(lái)客。如何把“冷冰冰的”第二種形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的第三種形態(tài)，需要教師對(duì)數(shù)學(xué)第一種形態(tài)的探究。雖然很多數(shù)學(xué)概念的原始生成過(guò)程隨著歲月的流逝，已經(jīng)面目全非或無(wú)從考證，但只要教師具備考古學(xué)家的精神，深刻挖掘背景知識(shí)，探索數(shù)學(xué)概念和生活的聯(lián)系，通過(guò)合理的想象與合情推理，盡可能地還原數(shù)學(xué)概念的本來(lái)面貌。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中做到“自圓其說(shuō)”，使學(xué)生感受到概念不僅合情合理，甚至還很有人情味，從而讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)。案例中學(xué)生對(duì)正負(fù)角規(guī)定的解釋能夠從函數(shù)學(xué)習(xí)的角度自圓其說(shuō)。蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。”自圓其說(shuō)的過(guò)程，讓學(xué)生有發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的快樂(lè)感。他們從中感受數(shù)學(xué)的規(guī)定與發(fā)明并不神秘，他們能用自己的眼睛來(lái)發(fā)現(xiàn)、用自己的智慧參與數(shù)學(xué)創(chuàng)造，從而感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)。
參考文獻(xiàn)：
[1]章建躍，陶維林.注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（6）：19-24.
數(shù)學(xué)概念分為原始概念和定義概念。原始概念往往是直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系抽象而來(lái)的,比較直觀具體。在教學(xué)中,教師若能很好地利用直觀教具,使學(xué)生通過(guò)觀察而明確概念所反映的對(duì)象、特性,以及概念所適用的范圍,則能收到較好的效果。定義概念,雖然是對(duì)客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的反映,但其產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了抽象和概括的過(guò)程,具有其本身的復(fù)雜性和抽象性。因此,在進(jìn)行定義概念教學(xué)時(shí),教師有針對(duì)性地引導(dǎo)和幫助學(xué)生逐個(gè)角度、逐個(gè)層面地認(rèn)識(shí)概念反映的對(duì)象,是很有必要的。
1.明確概念的研究對(duì)象
對(duì)概念要做到能夠正確理解,明確概念的研究對(duì)象是第一要義。教師在進(jìn)行概念教學(xué),特別是在初步建立新概念時(shí),必須首先明確指出概念的研究對(duì)象是什么,同時(shí)可采用類比、反例等手段對(duì)概念的研究對(duì)象進(jìn)行個(gè)性凸顯。例如,對(duì)“平行線”之一概念的教學(xué),教師在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察得出平行線是“同一平面內(nèi)的兩條不相交的直線”時(shí),要強(qiáng)調(diào)平行線概念的研究對(duì)象是同一平面內(nèi)的兩條直線,它不是射線、線段,更不是曲線。學(xué)生對(duì)于研究對(duì)象的明確,意味著對(duì)新概念已初步地接受,有了初步的認(rèn)知。
2.明確概念成立的條件
要正確理解概念,明確概念成立的條件同樣是很重要的環(huán)節(jié)。有些概念的表述很相似,但隨著其限制條件的不同,概念的內(nèi)涵可能完全不同。比如,“在同一平面內(nèi)的兩條不相交的直線是平行線”,這一關(guān)于平行線的概念,如果忽視了其前提條件“在同一平面內(nèi)”,“平行線”之一概念就不一定成立。因?yàn)樵诳臻g中確實(shí)存在著不相交但也確實(shí)不平行的直線——異面直線;再如“圓”之一概念的表述為“在同一平面內(nèi),到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”,如果沒(méi)有“在同一平面內(nèi)”這一前提作保障,“圓”的概念同樣不能成立,因?yàn)樵诳臻g中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合可能是球面。像這樣的條件性較強(qiáng)的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中是很多的,教師要用類比的方法,使學(xué)生對(duì)概念成立的條件有明確的認(rèn)識(shí)和全面的理解。
3.揭示概念的內(nèi)涵
概念的內(nèi)涵是概念的反映對(duì)象在一定條件下所具備的本質(zhì)屬性,是此概念區(qū)別于其他概念的根本標(biāo)志。一個(gè)定義概念,其研究對(duì)象及相應(yīng)條件的確定,即意味著概念內(nèi)涵的確定。因此,概念教學(xué)的主要任務(wù)之一即是要凸顯概念的內(nèi)涵本質(zhì)和本質(zhì)特征,同時(shí)要幫助學(xué)生排除誤解因素對(duì)本質(zhì)理解的干擾。
由于在教學(xué)中,給概念下定義常用“種概念加類差”的方式,因此概念教學(xué)時(shí)要重點(diǎn)講解定義中種概念和類差,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到被定義概念既擁有它的種概念的一切屬性,又有自己所獨(dú)有的特性即類差。例如,“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”這一定義中,“四邊形”就是平行四邊形所具有的最鄰近的種概念,類差是“兩組對(duì)邊平行”。應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出平行四邊形首先是四邊形,具有四邊形的一切屬性,如內(nèi)角和為360°,具有不穩(wěn)定性等,同時(shí)還應(yīng)強(qiáng)調(diào)平行四邊形是特殊的四邊形,特殊在“有兩組對(duì)邊分別平行”。
有些概念的種概念和類差不夠明確,教學(xué)時(shí)通常還要從側(cè)面對(duì)這些概念的內(nèi)涵進(jìn)行闡述。比如“互為余角”概念的教學(xué),必須強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn):其一,必須是兩個(gè)角,單獨(dú)一個(gè)90°角或和為90°的三個(gè)角及三個(gè)以上角,都不能說(shuō)互為余角;其二,兩個(gè)角之和必須為90°。這兩點(diǎn)即是“互為余角”這一概念的本質(zhì)所在。另外,教學(xué)實(shí)踐表明,很有必要向?qū)W生說(shuō)明兩個(gè)角是否互余與角所處的位置無(wú)關(guān),比如南極有一個(gè)角為30°,北極有一個(gè)角為60°,但這兩個(gè)角仍然互為余角。
4.在應(yīng)用中加深對(duì)概念的理解
無(wú)疑,學(xué)習(xí)概念是為了應(yīng)用。學(xué)生對(duì)初學(xué)概念即使能弄清其基本含義,也未必能運(yùn)用概念進(jìn)行運(yùn)算、證明。同時(shí),應(yīng)用是對(duì)概念的加深理解最有效的方式和途徑,具體應(yīng)用過(guò)程可使概念的對(duì)象屬格化、抽象的條件具體化、深刻的定義淺顯化。所以,必須配以典型的例題,引導(dǎo)學(xué)生掌握概念的適用范圍和方法,從而加深學(xué)生對(duì)概念的理解。仍以“互為余角”概念為例,配以如下例題,要求學(xué)生自己先行解答。
例:如圖所示,在ABC中,∠ACB=90°,CDAB于點(diǎn)D,DEAC于點(diǎn)E,則圖中互余的角共有( ?搖?搖)對(duì)。
A.6 B.7 C.8 D.9
結(jié)果多數(shù)學(xué)生選C。我們對(duì)此題作如下分析:在解決直角三角形中的互余問(wèn)題時(shí),要考慮三種情況:①直角三角形中的直角被分成兩部分的兩個(gè)角互余:∠1與∠2,∠3與∠4;②同一直角三角形中的兩個(gè)銳角互余:∠2與∠B,∠1與∠3,∠4與∠A,∠A與∠B,∠1與∠A;③等量代換得到的互余角:∠2=∠3,故∠3+∠B=90°,∠2+∠4=90°,即∠3與∠B、∠2與∠4也是互余角,所以共有9對(duì)互余角,正確答案為D。該題中學(xué)生出錯(cuò)的主要原因是不自覺(jué)中對(duì)“互為余角”強(qiáng)調(diào)了位置關(guān)系。通過(guò)以上分析,學(xué)生可以更全面、深刻地理解“互為余角”這一概念。
5.梳理概念之間的關(guān)系,形成概念體系
關(guān)鍵詞:過(guò)程數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)教育不等同于傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，它不僅給學(xué)生提供了一種科學(xué)語(yǔ)言、一門(mén)知識(shí)，更應(yīng)當(dāng)是一種思想方法，是陶冶情操、訓(xùn)練心智的一種工具。數(shù)學(xué)學(xué)者何良仆曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)教育中重要的問(wèn)題，不是教什么題材，而是教給學(xué)生更珍貴的東西——如何掌握題材。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值不在于掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，主要在于“數(shù)學(xué)過(guò)程”。
一、對(duì)“數(shù)學(xué)過(guò)程”的認(rèn)識(shí)
“數(shù)學(xué)過(guò)程”是一個(gè)有關(guān)數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)教育的核心概念。它主要是對(duì)一系列思維活動(dòng)過(guò)程的概括，即：數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程；數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過(guò)程；數(shù)學(xué)思想方法的探索及概括總結(jié)過(guò)程，其本質(zhì)是以“抽象——符號(hào)變換——應(yīng)用”為核心的思維過(guò)程。即數(shù)學(xué)是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活并用于現(xiàn)實(shí)生活這一根本，從最原始模糊而籠統(tǒng)的印象，豐富多彩的具體直觀形象，直到最終形成抽象的形式體系，嚴(yán)格的邏輯演繹推理，進(jìn)而在解決問(wèn)題中加以應(yīng)用，這就是數(shù)學(xué)過(guò)程數(shù)學(xué)過(guò)程是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫(huà)、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的最基本、最有效的方法。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)通過(guò)長(zhǎng)期系統(tǒng)數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感、邏輯性、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念以及應(yīng)用意識(shí)與推理能力的過(guò)程，它培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、科學(xué)方法、科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣、能力以及探究精神、創(chuàng)造精神和協(xié)作精神，使學(xué)生充分經(jīng)歷“數(shù)學(xué)過(guò)程”的磨礪，在知識(shí)、智力、品質(zhì)、情感、態(tài)度和價(jià)值觀等方面得到全面發(fā)展，成為適應(yīng)社會(huì)進(jìn)步的高素質(zhì)人才。
二、教學(xué)中無(wú)“數(shù)學(xué)過(guò)程”教學(xué)的原因及弊端
如果學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)只為懂得某一知識(shí)的結(jié)論，而不了解事物發(fā)生、發(fā)展變化的過(guò)程，這樣的知識(shí)是殘缺不全的、是靜止的、孤立的知識(shí)。“數(shù)學(xué)過(guò)程”是數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，是嚴(yán)密數(shù)學(xué)思維的必要環(huán)節(jié)，是知識(shí)內(nèi)化、構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的關(guān)鍵元素。只有掌握“過(guò)程”才能將各部分的知識(shí)融為一體，舉一反三，使學(xué)生的解題能力大大提高。
“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的知識(shí)?！睌?shù)學(xué)的很多概念都蘊(yùn)含了樸素的數(shù)學(xué)思想，基本上都來(lái)源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生認(rèn)識(shí)這些樸素的思想應(yīng)該很容易，可事實(shí)上學(xué)生學(xué)習(xí)“課本上的數(shù)學(xué)”很困難。主要原因在于數(shù)學(xué)的學(xué)科定義高度抽象、概括，教材不易呈現(xiàn)其形成與發(fā)展的過(guò)程，它所呈現(xiàn)的是形式化的、冰冷的結(jié)果，教學(xué)如果從這些“冰冷”的形式開(kāi)始，學(xué)生就不可能經(jīng)歷“火熱”的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，直接學(xué)習(xí)現(xiàn)成的結(jié)論也不符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維水平
在有關(guān)概念、定理、法則教學(xué)時(shí)，有些教師似乎很少關(guān)注隱藏在其背后的豐富的數(shù)學(xué)過(guò)程知識(shí)，為了考試，知識(shí)體系被簡(jiǎn)單地肢解為一個(gè)個(gè)的知識(shí)點(diǎn)，強(qiáng)化題型覆蓋知識(shí)的作用，注重結(jié)論的使用和各種操作步驟記憶，用機(jī)械記憶和反復(fù)強(qiáng)化的方法進(jìn)行以落實(shí)知識(shí)點(diǎn)為目的的訓(xùn)練，這樣我們的數(shù)學(xué)課堂成了解題教學(xué)，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣、態(tài)度、價(jià)值觀等心理傾向得不到相應(yīng)的發(fā)展。如果你認(rèn)真觀察比較教師發(fā)給學(xué)生的數(shù)學(xué)習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)學(xué)題不只十分樣板，各學(xué)校所提供的數(shù)學(xué)題相當(dāng)劃一。原因顯然是緊扣考試，于是不同老師給學(xué)生的數(shù)學(xué)題都十分類似，對(duì)于考試的試題，我們看到學(xué)生經(jīng)年累月身處沒(méi)有多大變化的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)空間，不難想象他們漸漸會(huì)形成機(jī)械化的數(shù)學(xué)觀，也會(huì)逐漸失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
究其原因主要有兩點(diǎn)：一是教者缺少追問(wèn)學(xué)科概念的本質(zhì)，二是沒(méi)有真正了解學(xué)生的思維特點(diǎn)與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備。對(duì)于前者，我們強(qiáng)調(diào)教師追問(wèn)為什么學(xué)習(xí)這些內(nèi)容、所學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心是什么、如何建立聯(lián)系；后者主要包括學(xué)生的生活概念、學(xué)生的思維水平與認(rèn)知特點(diǎn)及學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備。當(dāng)教師對(duì)這兩個(gè)根源有深入的思考后就能設(shè)計(jì)出有過(guò)程的教學(xué)。
三、注重“數(shù)學(xué)過(guò)程”教學(xué)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)
要能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用，教學(xué)中必須設(shè)計(jì)有過(guò)程的教學(xué)，這就要求我們的教師備課時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)概念形成、思想的本質(zhì)以及發(fā)展的歷史本源和原始動(dòng)力，關(guān)注學(xué)生樸素的問(wèn)題與思維過(guò)程，關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，利用思維沖突、質(zhì)疑與障礙使學(xué)生獲得高水平理解力。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愿望與動(dòng)機(jī)，體會(huì)到創(chuàng)造的樂(lè)趣。
注重培養(yǎng)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，讓學(xué)生在自主參與、合作探究中拓展實(shí)踐思路，不斷享受成功的體驗(yàn)，感受創(chuàng)造過(guò)程中的無(wú)限樂(lè)趣。比如在等差數(shù)列前n項(xiàng)公式中提出1+2+3+…+100=?讓學(xué)生去探索為什么高斯用(1+100)×100/2式子計(jì)算，從而真正理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的由來(lái)，注重這個(gè)“數(shù)學(xué)過(guò)程”，學(xué)生即使忘記公式，他也能推算出等差數(shù)列求和結(jié)論。
對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)學(xué)數(shù)學(xué)更要注重“數(shù)學(xué)過(guò)程”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的重點(diǎn)應(yīng)放在對(duì)事物認(rèn)識(shí)的思考過(guò)程上，要理解和領(lǐng)會(huì)認(rèn)識(shí)過(guò)程，而不能為了應(yīng)付考試跳過(guò)對(duì)過(guò)程的認(rèn)識(shí)而直接記憶結(jié)論。我們要重結(jié)論，更要重過(guò)程，只有兩者共同結(jié)合才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體內(nèi)涵和思想，才能真正使學(xué)生掌握一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其中一個(gè)重點(diǎn)在于向老師學(xué)習(xí)如何科學(xué)地思考問(wèn)題，以使自己的思維能力的發(fā)展建立在科學(xué)的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)自己的科學(xué)思維能力，使自己對(duì)知識(shí)的領(lǐng)會(huì)進(jìn)入更高級(jí)的境界。
總之，當(dāng)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了過(guò)程性目標(biāo)時(shí)，我們應(yīng)正視數(shù)學(xué)過(guò)程教學(xué)的價(jià)值，優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，突出數(shù)學(xué)過(guò)程教學(xué)，讓學(xué)生在深刻體驗(yàn)“數(shù)學(xué)過(guò)程”中提升數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；探究；問(wèn)題呈現(xiàn)
在新課程走過(guò)的這些年里，數(shù)學(xué)探究已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一個(gè)常用語(yǔ)，這說(shuō)明了新課程的相關(guān)理念已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教師的一種自然意識(shí). 但有意思的是，數(shù)學(xué)探究這一概念對(duì)于很多同行而言，可能還停留在探索研究的理解上，對(duì)于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）提出的“圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主探究、學(xué)習(xí)的過(guò)程”的表述，以及其他關(guān)于數(shù)學(xué)探究的文獻(xiàn)中的表述，卻沒(méi)有給予太多的重視與關(guān)注，因而導(dǎo)致了從課程改革到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)探究還停留在相對(duì)較淺的層面，應(yīng)當(dāng)說(shuō)這是數(shù)學(xué)課程改革的一點(diǎn)不足. 從這個(gè)角度看，我們有必要對(duì)數(shù)學(xué)探究本身進(jìn)行探究.由于數(shù)學(xué)探究涉及多個(gè)層面，又由于篇幅所限，本文主要以數(shù)學(xué)探究中的問(wèn)題呈現(xiàn)為例談?wù)劰P者的看法，對(duì)于其他層面則做附帶性的簡(jiǎn)述.
[?] 數(shù)學(xué)探究中問(wèn)題呈現(xiàn)新思考
要深入理解數(shù)學(xué)探究，還是離不開(kāi)數(shù)學(xué)探究這一概念及其定義的，事實(shí)上對(duì)概念及定義缺少理解，也是產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)探究只有經(jīng)驗(yàn)性解讀的根本原因. 根據(jù)國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)同行及有關(guān)專家的研究，基于課程標(biāo)準(zhǔn)且更具針對(duì)性、科學(xué)性的定義是，“數(shù)學(xué)探究”指的是“學(xué)生圍繞某一個(gè)問(wèn)題情境，通過(guò)觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，以提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題并解決問(wèn)題的過(guò)程”. 在這個(gè)過(guò)程中，“情境表述”即產(chǎn)生問(wèn)題的情境，以及“問(wèn)題表述”被提高到一個(gè)新的高度. 也就是說(shuō)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，固然要重視探究過(guò)程的完成，但對(duì)于所探究的問(wèn)題如何得出，或者說(shuō)怎樣讓學(xué)生提出有意義的探究問(wèn)題，成為數(shù)學(xué)探究的一個(gè)重要施力點(diǎn).
這一點(diǎn)與常規(guī)情況下對(duì)數(shù)學(xué)探究的觀點(diǎn)是不一樣的，一般情況下我們認(rèn)為讓學(xué)生探究的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以由教師提出（盡管實(shí)際教學(xué)中也是反對(duì)學(xué)生提出的，但總的來(lái)說(shuō)真正由學(xué)生提出的可探究問(wèn)題并不多），數(shù)學(xué)探究的重心在于探究過(guò)程. 而現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)探究問(wèn)題的提出，是對(duì)數(shù)學(xué)探究基礎(chǔ)的重視與回歸，某種程度上講，具有愛(ài)因斯坦所說(shuō)的“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要”的含義. 事實(shí)上，如果我們暫時(shí)不談高考的要求（準(zhǔn)確地說(shuō)，是目前的高考中還沒(méi)有出現(xiàn)考查學(xué)生提出問(wèn)題能力的題型，因而沒(méi)有出現(xiàn)這種性質(zhì)的導(dǎo)向作用），我們就會(huì)更為客觀地發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題，對(duì)于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有更為重要的作用. 曾經(jīng)有很多高中數(shù)學(xué)同行在論文中都提出一個(gè)觀點(diǎn)，就是當(dāng)學(xué)生有了提出問(wèn)題的意識(shí)之后，當(dāng)學(xué)生在某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中有了問(wèn)題并得到解決之后，他們對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的理解是超過(guò)單純的聽(tīng)的效果的，這也打消了研究問(wèn)題的提出會(huì)影響學(xué)習(xí)質(zhì)量的擔(dān)心.
那么，問(wèn)題不是由教師或課本提出，學(xué)生怎樣才能提出有意義的探究問(wèn)題呢？關(guān)于這一點(diǎn)，我們的共識(shí)是：不是簡(jiǎn)單地在陳述句前面加一個(gè)為什么，而應(yīng)該向?qū)W生提供合適的素材，讓學(xué)生在一定的情境中去提出問(wèn)題.
[?] 數(shù)學(xué)探究中問(wèn)題呈現(xiàn)再實(shí)踐
結(jié)合以上分析，我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了一些嘗試，這些嘗試有的是專題性質(zhì)的，也有的是穿插在日常的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中的. 現(xiàn)將實(shí)踐所得到的一些認(rèn)識(shí)形成文字，以與同行切磋.
首先，我們認(rèn)為要想讓學(xué)生提出有探究意義的問(wèn)題，必須有合適的素材.
這里所說(shuō)的“合適”，不完全是指合乎高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，更指符合他們的興趣與求知需要. 興趣需要是不言而喻的，有了興趣才會(huì)有探究的動(dòng)力，而求知的需要?jiǎng)t更多的是一種認(rèn)知平衡的打破，亦即讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)的體系是不能解決新問(wèn)題的. 根據(jù)這一認(rèn)識(shí)，我們進(jìn)行了一些課例探究.
課例一：圖象與函數(shù). 在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解，必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)可以描述具體的圖形，認(rèn)識(shí)到函數(shù)是一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 除了課本上提供的三角函數(shù)、曲線函數(shù)外，我們還可以將其拓展到數(shù)學(xué)發(fā)展史上的其他事例.
筆者在課例中向?qū)W生提供的是“阿基米得螺線”. 阿基米得螺線在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有重要地位，在生活中也有類似的情形，因此容易激起學(xué)生的興趣和求知欲.具體做法是，筆者首先讓學(xué)生自己去想象出一個(gè)阿基米得螺線，具體方法如下：
第一步，想象生活中盤(pán)狀蚊香；想象從螺絲的尖端看螺絲的螺紋. 教師也可以提供這些實(shí)物或投影片，以讓學(xué)生直觀感受，然后再讓學(xué)生回憶，以在大腦中形成良好的表象，以建立一定程度的形象思維.
第二步，想象一根可以繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的長(zhǎng)桿在轉(zhuǎn)動(dòng)，然后一個(gè)小蟲(chóng)在桿上爬動(dòng)，想象整個(gè)過(guò)程中小蟲(chóng)爬出的軌跡. 對(duì)于某些想象能力差的學(xué)生，可以用圓規(guī)作為教具繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，用一個(gè)粉筆頭比作小蟲(chóng)在圓規(guī)上由內(nèi)向外爬，然后讓學(xué)生去想象小蟲(chóng)的運(yùn)動(dòng)軌跡.
第三步，介紹生活中其他例子，如螺絲身上的螺紋等.
有了這樣豐富的情境作為支撐，就可以引導(dǎo)學(xué)生去提出問(wèn)題：這樣美的曲線在生活中如此常見(jiàn)，引起了數(shù)學(xué)家的高度興趣，面對(duì)阿基米得螺線，你們有什么探究的欲望呢？我們的教學(xué)目的自然是讓學(xué)生想到用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述數(shù)學(xué)事物，而這一問(wèn)題只可能產(chǎn)生于學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)意識(shí)，進(jìn)而我們又發(fā)現(xiàn)這種數(shù)學(xué)又來(lái)源于日常教學(xué)中的積累，因此每學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，都需要跟學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言的認(rèn)識(shí). 事實(shí)上，本課例并不完全在于要求學(xué)生能夠提出教師想要的問(wèn)題，關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生一種提問(wèn)的意識(shí)與能力，讓他們自己生成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于數(shù)學(xué)事例中的意識(shí).
其次，要想讓學(xué)生提出有意義的探究問(wèn)題，教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生提供“原始問(wèn)題”.
原始問(wèn)題來(lái)源于首都師范大學(xué)邢教授的研究成果，數(shù)學(xué)作為物理的工具，與物理具有密不可分的關(guān)系. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用物理現(xiàn)象提生數(shù)學(xué)探究問(wèn)題的土壤，可以讓數(shù)學(xué)探究變得更為真實(shí). 而且通過(guò)這種學(xué)科之間發(fā)生的聯(lián)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)視野與對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí).
課例二：曲線方程. 曲線方程是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)，新課學(xué)習(xí)中其都是在不同階段呈現(xiàn)的，如何讓學(xué)生對(duì)曲線方程形成一個(gè)完整、統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)呢？這是必須探究的一個(gè)問(wèn)題. 而且我們注意到，類似于這種問(wèn)題的探究，還有助于學(xué)生形成比較好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，讓學(xué)生不僅得到一個(gè)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更能夠生成較好的學(xué)習(xí)方法.
我們向?qū)W生提供的原始問(wèn)題是這樣的：小明看到木匠師傅要得到一個(gè)特殊形狀的木板，就在一個(gè)平面內(nèi)確定了兩個(gè)固定點(diǎn)A、B，其用一根線系住兩個(gè)點(diǎn)，然后用鐵釘將這根線向外拉直至繃直. 這個(gè)時(shí)候如果你是木匠師傅，你想得到的是什么形狀的木板，你會(huì)怎么做？當(dāng)學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題有了回答之后（預(yù)期答案是“畫(huà)出一個(gè)圖形”）；還可以引導(dǎo)學(xué)生生成“這個(gè)圖形會(huì)是什么形狀（預(yù)期答案是“橢圓”），可否用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)尋找曲線方程”等問(wèn)題. 尤其是在此基礎(chǔ)上，我們可以引導(dǎo)學(xué)生生成“今天研究圖形所用的曲線方程與已經(jīng)學(xué)過(guò)的哪些類似，有什么聯(lián)系，又有什么區(qū)別”等問(wèn)題. 這樣就可以將橢圓與雙曲線形成一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，從而將雙曲線和橢圓兩知識(shí)組塊合成一個(gè)，進(jìn)而增大學(xué)生的記憶容量.
分析這一過(guò)程，我們可以看到最初提出的情境并沒(méi)有明顯的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，有的只是一個(gè)生活情境，而這個(gè)情境中顯然又包含著數(shù)學(xué)知識(shí). 因此我們說(shuō)這樣的情境就是一個(gè)原始問(wèn)題的情境，利用這個(gè)情境讓學(xué)生生成問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)探究意識(shí). 事實(shí)上在教學(xué)實(shí)踐中，我們看到起初在呈現(xiàn)這種原始問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往無(wú)所適從，因?yàn)榱?xí)慣了常規(guī)探究問(wèn)題的學(xué)生不知道如何在這種原始事例中尋找數(shù)學(xué)知識(shí)，更加談不上產(chǎn)生數(shù)學(xué)探究的問(wèn)題了. 而經(jīng)過(guò)了多次這樣的訓(xùn)練之后，學(xué)生又很容易生成這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題與探究意識(shí). 這說(shuō)明通過(guò)原始問(wèn)題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究問(wèn)題呈現(xiàn)的能力是有效的.
[?] 數(shù)學(xué)探究中問(wèn)題呈現(xiàn)再思考
作為數(shù)學(xué)探究的開(kāi)端，問(wèn)題的作用是不言而喻的，數(shù)學(xué)探究的價(jià)值在于探究環(huán)節(jié)本身，根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的國(guó)內(nèi)外比較研究結(jié)果，數(shù)學(xué)探究所包含的五個(gè)因素中，有兩個(gè)因素與問(wèn)題相關(guān). 因此從提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度來(lái)看，對(duì)于問(wèn)題呈現(xiàn)的研究?jī)r(jià)值也是顯而易見(jiàn)的. 我們要做的很大程度上是在應(yīng)試的壓力下，本著數(shù)學(xué)探究的本義去實(shí)施探究.
關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；例題設(shè)計(jì)；策略
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基本形式，是基本技能形成與提高的必要條件，數(shù)學(xué)概念具有高度抽象性和概括性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念與它的性質(zhì)、公式、定理密切連系，比如“指數(shù)”這個(gè)概念理解不到位，那么“指數(shù)函數(shù)”這個(gè)概念理解也不可能到位，更談不上理解“指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”；比如“等比數(shù)列”這個(gè)概念只要能準(zhǔn)確理解和熟練掌握，那么等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式就能推出和記牢；比如“直線與平面垂直”這個(gè)概念如果不能正確理解和掌握，那么“直線與平面垂直的判定定理”就談不上理解記憶，而只能是死記硬背。
因此概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位非常突出，不少教師也都非常重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，并且很多有自己獨(dú)到的見(jiàn)解和體會(huì).而筆者在這過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，目前概念教學(xué)最大的問(wèn)題并不是如何引人概念，如何剖析概念，如何應(yīng)用概念；而是有一些教師沒(méi)有選擇恰當(dāng)?shù)睦}與合適的問(wèn)題設(shè)計(jì)，沒(méi)有意識(shí)到例題的重要性，僅僅是形象性地、比喻性地給學(xué)生解釋概念，所以教學(xué)效果不好，既不能使學(xué)生準(zhǔn)確理解概念，也不能使學(xué)生正確掌握概念.為此，筆者就概念教學(xué)中的例題設(shè)計(jì)與問(wèn)題設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)來(lái)談?wù)勛约旱男牡皿w會(huì)。
（一）概念引入時(shí)強(qiáng)調(diào)產(chǎn)生這個(gè)概念的問(wèn)題情境
從無(wú)到有，學(xué)生必須要有一個(gè)契合處，以緩解新的概念對(duì)思維產(chǎn)生的“碰撞”。概念的引人意在新舊知識(shí)點(diǎn)或數(shù)學(xué)模型中找到一個(gè)結(jié)契合點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)新知自然銜接、過(guò)渡的目的.從學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知規(guī)律來(lái)看，對(duì)抽象、概括事物的認(rèn)識(shí)、理解需要一個(gè)具體化、形象化的過(guò)程.因此，教師在概念的教學(xué)過(guò)程中，要想方設(shè)法借助學(xué)生熟悉的或引起興趣的問(wèn)題情境選取較多的合適的例題與問(wèn)題設(shè)計(jì)。
點(diǎn)滴滲透引出“數(shù)列”概念：
情景一、讓學(xué)生看我國(guó)自主研發(fā)的神舟十一發(fā)射升空倒計(jì)時(shí)瞬間.讓學(xué)生從中抽象出一列數(shù).
情景二、從古語(yǔ)出發(fā)：一尺之棰，日取其半.萬(wàn)世不竭.讓學(xué)生做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“撕紙尺”。體會(huì)古語(yǔ)中的數(shù)學(xué)含義。
情景三、貼近學(xué)生的專業(yè)，分小組讓學(xué)生課前收集必須是帶數(shù)的兒歌，留作課上分享.然后在課上讓學(xué)生從兒歌中找出隱藏著數(shù).將它們組合成一列列數(shù)。不同的學(xué)生會(huì)得到不同的一列數(shù)。通過(guò)上述事例引出數(shù)列概念的講解。
突出情境引出“弧度制” 概念：
在上“弧度制”這個(gè)概念教學(xué)時(shí)，上課教師可以手拿一面折扇，慢慢地走進(jìn)教室，邊走邊打開(kāi)折扇以引起學(xué)生的注意，上課之后就問(wèn)：同學(xué)們請(qǐng)看我手中的是什么圖形？學(xué)生回答：這是扇形。教師又問(wèn)：你會(huì)做扇形嗎？學(xué)生回答：會(huì)做。你做的扇形好看嗎？學(xué)生回答：不怎么好看，怎樣做才能使做的扇形好看？從而引出角度制與弧度制概念的講解。
問(wèn)題設(shè)計(jì)引出“補(bǔ)集”概念：
觀察下面三個(gè)集合：S={x|x是高幼一（5）班的同學(xué)}，A={x|x是高幼一（5）班的男同學(xué)}，B={x|x是高幼一（5）班的女同學(xué)}。分析上面三個(gè)集合S，A，B的關(guān)系，從而引出補(bǔ)集的概念。
創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境是概念引人中常用的方式方法，它不僅能夠?yàn)楦拍畹囊俗隽己玫臏?zhǔn)備，而且還能夠引起學(xué)生的好奇心和求知欲。
（二）概念剖析時(shí)抓住概念本質(zhì)
引人概念之后，學(xué)生雖對(duì)其有了基本的印象，但仍處于一知半解的狀態(tài)，易出現(xiàn)概念模糊、張冠李戴的現(xiàn)象，特別是有些數(shù)學(xué)概念概括性強(qiáng)，需要逐字逐句的分析、理解。
（1）剖析概念中關(guān)鍵詞的含義 準(zhǔn)確掌握概念
某些關(guān)鍵詞是理解和掌握概念的鑰匙，有些學(xué)生由于對(duì)少數(shù)概念理解不到位，特別是對(duì)原始概念的理解更是如此，從而為后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)埋下隱患，使學(xué)習(xí)效果大打折扣.因此，教師必須要強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞，并通過(guò)淺顯易懂的方式進(jìn)行講解和剖析，確保每一位學(xué)生都能真正理解和掌握。
如在“集合”的學(xué)習(xí)中，要強(qiáng)調(diào)“集合”是一個(gè)原始概念，是不可能下定義的，因此不能用“叫做”這兩個(gè)字，只能用描述性的語(yǔ)言表述為：在一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體能構(gòu)成一個(gè)集合。教師可通過(guò)實(shí)例：（1）我們班中的每一名學(xué)生都是確定的，而且也沒(méi)有相同的，因此我們班學(xué)生的全體能構(gòu)成一個(gè)集合。（2）我們班中的美麗的女學(xué)生是不確定的，因?yàn)椤懊利悺边@個(gè)詞沒(méi)有精確的定義，所以我們班美麗的女學(xué)生不能構(gòu)成一個(gè)集合。（3）“good中的英文字母的全體”能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)樵摷现械牟煌⑽淖帜钢荒苁莋，o，d三個(gè)，盡管o這個(gè)字母在單詞good出現(xiàn)過(guò)兩次，但也只能在該集合中看成一個(gè)。
通過(guò)以上實(shí)例讓學(xué)生們深刻理解“集合”這個(gè)概念中的“確定的”、“不同的”兩個(gè)關(guān)鍵詞的準(zhǔn)確含義。
如在“數(shù)列”的學(xué)習(xí)中，數(shù)列的定義為：按一定次序排列的一列數(shù).看似簡(jiǎn)單的一句話，學(xué)生理解起來(lái)卻并不樂(lè)觀.很多學(xué)生對(duì)于“一定次序”四個(gè)字理解不到位，怎么樣才算是‘一定次序’？”教師可以通過(guò)書(shū)本中一個(gè)例子：我國(guó)參加6次奧運(yùn)會(huì)獲金牌數(shù)依次為15，5，16，16，28，32，如果交換其中的數(shù)字5和16的位置，還能表達(dá)原來(lái)的含義嗎？
顯然不能，通過(guò)這個(gè)例子的講解來(lái)幫助學(xué)生理解“一定次序”的準(zhǔn)確含義；“同學(xué)們都知道1，3，5，7，…是數(shù)列，那么1，3，1，3，1，3，…是否也算是數(shù)列呢？ 2，4，6，8，10和10，8，6，4，2是不是屬于同一數(shù)列？”在學(xué)生分組討論之后，教師強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞 “一定次序”的含義，這樣學(xué)生自然就能得出結(jié)論：如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)是相同的而排列次序是不同的，那么它們就是不同的數(shù)列；既然定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，那么同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)。
（2）逐層分析，通過(guò)歸納現(xiàn)象找出規(guī)律，從而抓住概念的內(nèi)在含義。
數(shù)學(xué)概念中符號(hào)式子具有高度的概括性，教師可以通過(guò)對(duì)符號(hào)式子進(jìn)行逐層分析來(lái)理清概念的內(nèi)在含義，從而達(dá)到抓住概念本質(zhì)的目的.因此，教師在概念教學(xué)的過(guò)程中，要注意逐層地對(duì)概念進(jìn)行展開(kāi)分析整理，一方面深化學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握，另一方面以培養(yǎng)學(xué)生思維的周密性、嚴(yán)謹(jǐn)性。
如在“奇函數(shù)概念”的學(xué)習(xí)中，教師可將其從圖形與數(shù)式兩方面進(jìn)行分解，通過(guò)觀察 圖形，發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量 取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，通過(guò)計(jì)算得出 亦取得相反數(shù)，可得出它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱對(duì)稱；例如 ， ，…，進(jìn)一步分析可知圖像上的每一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)都有對(duì)稱點(diǎn)，而每一點(diǎn)都和唯一的一個(gè)數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，也就是它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)，用數(shù)學(xué)式子可高度概括表示為： 。同樣在“偶函數(shù)概念”的學(xué)習(xí)中，教師可讓學(xué)生仿照“奇函數(shù)概念”的講解過(guò)程進(jìn)行類比對(duì)照理解學(xué)習(xí)。然后再?gòu)?qiáng)調(diào)：（1）式子 中的 與 的含義是代表著定義域中的任意一對(duì)相反數(shù)，即“函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”；（2）“定義域內(nèi)任一個(gè)”是指對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè) ；（3）判斷函數(shù)奇偶性的第一步是看定義域。通過(guò)這樣由表及里的剖析、講解，學(xué)生對(duì)概念的理解也能夠從表層深人到其本質(zhì)。
實(shí)際上，1366875元在已知各個(gè)定價(jià)對(duì)應(yīng)的收入中是最大的，但是不可能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槎▋r(jià)為1350元，收入至少是10的倍數(shù)，這是理論與實(shí)際的差距。
建模體會(huì)與反思
用函數(shù)的方法研究實(shí)際問(wèn)題能夠獲得最大利潤(rùn)，能夠解決最優(yōu)化問(wèn)題，盡管得到的結(jié)果可能與實(shí)際有出入，但是，它的建模和求解過(guò)程已經(jīng)告訴我們答案了：數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)是可靠的。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的問(wèn)題明確，條件一般都是充分的，而數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題一般來(lái)自實(shí)際，問(wèn)題中的條件往往是不充分的、開(kāi)放的或多余的，有時(shí)甚至要求學(xué)生自己動(dòng)手去收集數(shù)據(jù)、處理信息。在建模的過(guò)程中作一定的假設(shè)是必須的，而傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般不需要假設(shè)。數(shù)學(xué)建模的討論與驗(yàn)證比傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的檢驗(yàn)要復(fù)雜得多，不僅要驗(yàn)證所得到的模型解是否符合，而且要考察它們與假設(shè)是否矛盾，與實(shí)際是否吻合等等。
通過(guò)小組成員之間的合作與探討從而加深對(duì)“數(shù)學(xué)建模”含義的理解。
（2）辨析質(zhì)疑
正如亞里士多德所說(shuō)：“思維從疑問(wèn)和驚奇開(kāi)始.”反思、質(zhì)疑是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深化的重要途徑.在質(zhì)疑的過(guò)程中，學(xué)生往往能夠在細(xì)小的“漏洞”中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，窺見(jiàn)具有一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律.因此，教師在概念的應(yīng)用過(guò)程中要鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑、敢于發(fā)問(wèn)，以培養(yǎng)他們的思辨能力和質(zhì)疑精神。
如在學(xué)習(xí)“函數(shù)”的概念之后，不少學(xué)生雖然對(duì)“定義域”印象深刻，但在實(shí)際做題目的運(yùn)用中往往拋之腦后，忽略了定義域優(yōu)先的原則.可以通過(guò)下面例題進(jìn)一步加深對(duì)定義域優(yōu)先的理解。