時(shí)間：2023-09-25 17:40:30
導(dǎo)語：在數(shù)學(xué)中的反證法的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
一、反證法的簡(jiǎn)單介紹
反證法又稱歸謬法、背理法，是一種論證方式，屬于“間接證明” 的一種（引用于現(xiàn)行人教版數(shù)學(xué)教材）.所謂反證，就是將要證明的反面情況駁倒就可以了.首先假設(shè)原命題不成立（即我們?cè)谠}的條件下，假定結(jié)論不成立），據(jù)此推導(dǎo)出明顯矛盾的結(jié)果，從而得出結(jié)論說原假設(shè)不成立，原命題得證.
關(guān)于反證法的邏輯依據(jù)不得不提兩個(gè)重要的思維方式――“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一論證過程中，兩個(gè)互相反對(duì)或互相否定的論斷，其中至少有一個(gè)是假的.排中律：任何一個(gè)命題判斷或思想或者為真或者為假（不真），二者必居其一. 法國(guó)數(shù)學(xué)家J?阿達(dá)瑪曾概括為：“這證法在于表明：若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾.”這就是說反證法并非直接證明命題的結(jié)論，先是提出與需證結(jié)論反面的假定，然后推導(dǎo)出和公理、定理、定義或與題中假設(shè)相矛盾的結(jié)果.這樣，就證明了與待證命題的結(jié)論相反的假設(shè)無法成立，從而肯定了原來待證命題.用反證法完成一個(gè)命題的證明，大體上有三個(gè)步驟：否定結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立.
二、反證法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
（一）在肯定性命題中的應(yīng)用
即結(jié)論以“……總是……”、“……都……”、“……全……”等出現(xiàn)的，這類肯定性命題可以用反證法進(jìn)行嘗試.
如（代數(shù)問題）求證：無論n是什么自然數(shù)，總是既約分?jǐn)?shù).
證明：假設(shè)不是既約分?jǐn)?shù)，
令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？綴N，k>1）
既約，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因?yàn)?？琢-2b整數(shù)，為分?jǐn)?shù)，則3？琢-2b=不成立，故假設(shè)不成立，分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù).
（二）在否定性命題中的應(yīng)用
即結(jié)論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現(xiàn)的命題.
（三）在限定性命題中的應(yīng)用
在命題結(jié)論中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等詞語.
如（代數(shù)問題，抽屜原理）把2110人分成128個(gè)小組，每組至少1人，證明：至少有5個(gè)小組的人數(shù)相同.
證明：如若128個(gè)小組中，沒有5個(gè)小組的人數(shù)相同.則至多有4個(gè)小組的人數(shù)相同.那么不同人數(shù)的小組是：128÷4=32個(gè)，對(duì)32個(gè)小組，我們這樣分組：有4個(gè)組每小組1人，有4個(gè)組每小組2人，有4個(gè)組每小組3人，依法分組……有4個(gè)組每小組32人，故有：
4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112
這樣2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一個(gè)小組人數(shù)就減少1人或2人，那么相同人數(shù)的組數(shù)就比4個(gè)多了，即5個(gè)或多于5個(gè)以上. 故至少有5個(gè)小組的人數(shù)相同.
（四）在不等量命題中的應(yīng)用
不等式是學(xué)生需掌握的一大重點(diǎn).當(dāng)不等式的反面情況比較少時(shí)，題中若要求證明不等式成立時(shí)，那么只需用反證法來證實(shí)其反面不成立.
（五）在互逆命題中的應(yīng)用
已知原命題是正確命題，在求證其逆命題時(shí)可使用原命題結(jié)論，此時(shí)反證法為解題提供更多便捷.
如（平面幾何問題）
原命題：若四邊形有一個(gè)內(nèi)切圓，則對(duì)邊之和必相等.
逆命題：若四邊形對(duì)邊之和相等，則它必有一個(gè)內(nèi)切圓.
逆命題的證明：
三、對(duì)反證法運(yùn)用的思考
（一）在解題時(shí)，仔細(xì)審題是第一步.當(dāng)運(yùn)用反證法時(shí)，正確否定命題的結(jié)論是首要問題.要使一個(gè)待證命題的結(jié)論成立，需根據(jù)正難則反的原則.從結(jié)論的反面來間接思考問題，值得注意的是命題結(jié)論的反面情況并非唯一.若結(jié)論的反設(shè)只有一種情況，稱之為簡(jiǎn)單歸謬.例如，證明根號(hào)2是無理數(shù)，只需證根號(hào)2不是有理數(shù).若結(jié)論的反面不止一種情況，稱之為窮舉歸謬.必須將所有可能情況全部例舉出來，并需要不重不漏地一一否定，只有這樣才能肯定原命題結(jié)論成立.例如，證明某類數(shù)不為正數(shù)，則可以從正數(shù)的反面負(fù)數(shù)與零入手.
（二）明確邏輯推理的特點(diǎn)
反證法的任務(wù)首先需否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾.至于出現(xiàn)什么樣的矛盾，何時(shí)出現(xiàn)矛盾，矛盾是以何種方式存在，都是我們無法計(jì)算和預(yù)測(cè)的.證明的過程沒有一個(gè)機(jī)械的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，但最終都會(huì)得到矛盾，而這個(gè)矛盾一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行考慮.例如，空間解析幾何，平面幾何，代數(shù)等問題常常與相關(guān)的公理、定理、定義等相聯(lián)系.正因?yàn)榕c這些公式的規(guī)則，定理相互矛盾，進(jìn)而說明原結(jié)論的正確性.這便是反證法的推理特點(diǎn).做到正確否定命題結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，推理過程中步步有理有據(jù)，矛盾出現(xiàn)時(shí)，證明就已完成.
（三）了解產(chǎn)生矛盾的種類
矛盾的出現(xiàn)有很多種，知道導(dǎo)致矛盾的種類，可以更迅速，更有效的解題.
數(shù)學(xué)命題的證明分直接證法和間接證法兩種．在間接證法中，最常見的是反證法．雖然平時(shí)我們接觸了相關(guān)方面的知識(shí)，但比較零散，對(duì)其概念、應(yīng)用步驟、使用范圍等沒有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，并且由于數(shù)學(xué)命題的多樣性、復(fù)雜性， 哪些命題適宜用反證法很難給與確切的回答，本文就反證法的概念、分類、步驟以及哪些適宜從反證法出發(fā)進(jìn)行證明的問題進(jìn)行了歸納．
2 反證法的定義
什么是反證法？法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪曾對(duì)它做了一個(gè)精辟的概括：此證法在于表明：若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾．可見，利用推理中出現(xiàn)的矛盾可以證明數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，這就是反證法．
反證法是從一個(gè)否定原結(jié)論的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理而得到（與公理、定理、題設(shè)等）相矛盾的結(jié)論，由于推理和引用的證據(jù)是正確的，因此出現(xiàn)矛盾的原因只能認(rèn)為是否定原結(jié)論的假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而得到原結(jié)論成立．
用反證法不是從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價(jià)命題為真．
點(diǎn)擊查看全文
“反證法”是數(shù)學(xué)中的一種重要的證明方法，不少的數(shù)學(xué)問題的證明都要用反證法，但是不少學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)反證法感到吃力。這里的原因除了與在證明過程中的其他因素有關(guān)外。還有一些阻力是來自學(xué)生心理上的障礙。其實(shí)心理障礙即使在使用直接證明方法時(shí)，也或多或少干擾著學(xué)生推理的順利進(jìn)行。比如，看到兩個(gè)三角形相象時(shí)，思考過程中就老是受視覺上的支配而不自覺地用這兩個(gè)三角形全等作為條件來進(jìn)行推理。這種來自心理上的障礙雖然老師們都能明顯的感覺到，但通常易把它與來自其他因素的推理障礙相混。沒有在客觀上把清除心理障礙當(dāng)作突破反證法的教學(xué)難點(diǎn)來考慮。
二、克服反證法教學(xué)心理障礙
學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)的發(fā)展過程包括圖式—同化—順應(yīng)—平衡等四個(gè)過程。當(dāng)一個(gè)新知識(shí)出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生首先是用舊的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)其進(jìn)行解釋與吸收，將新知識(shí)納入原有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)之中。當(dāng)原有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)不能解釋，不能容納新知識(shí)時(shí)，則內(nèi)部系統(tǒng)及對(duì)原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新改組，擴(kuò)大。使之足以包攝新知識(shí)，達(dá)到新的平衡。學(xué)生在以往學(xué)習(xí)的只是直接證明方法，推理中的每一步在感知上和邏輯上都不會(huì)與原有的知識(shí)系統(tǒng)和認(rèn)識(shí)圖形相互矛盾。他們?cè)诰唧w證明某一題目時(shí)，只須將題目具體內(nèi)容“同化”到他們?cè)械恼J(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)或演繹體系中去。這種感知上與邏輯上的一致性已經(jīng)形成了他們進(jìn)行演繹推理的心理基礎(chǔ)，成為他們達(dá)到心理平衡的依據(jù)。運(yùn)用直接證明方法時(shí)，也有心理障礙存在，但那是由于在錯(cuò)覺影響下，或在下意識(shí)作用下的原因所造成的。而學(xué)習(xí)反證法時(shí)，推理過程中出現(xiàn)的是感知與邏輯上矛盾的情形，與錯(cuò)覺或下意識(shí)是不同的。要使學(xué)生真正掌握反證法。不將學(xué)生原有的演繹體系提高到更高的層次，也就是進(jìn)行“順應(yīng)”的過程，是不可能的。反證法的教學(xué)，不應(yīng)拘泥于教材，宜采取分散難點(diǎn)，逐步滲透，不斷深化的方法。有步驟、有計(jì)劃地落實(shí)到教學(xué)之中，著重培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行形式演繹的能力。
結(jié)果，指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)時(shí)，一定要突出兩點(diǎn)：一是要將結(jié)論的反面當(dāng)成新的已知條件后，才能由此推出矛盾的結(jié)果，否則就不能導(dǎo)致矛盾。二是推理要合乎邏輯，否則即使推出了矛盾后，也不能斷言假設(shè)不成立。也就是說在“歸謬”的過程中其推理應(yīng)是無懈可擊的，其矛盾的產(chǎn)生并非別的原因，只因反設(shè)不成立所致。同時(shí)，導(dǎo)致矛盾又有如下幾種情況：一是與已知條件矛盾。
二是與已學(xué)定義、公理、定理相矛盾。三是與題設(shè)相矛盾。
3、“結(jié)論”的練習(xí)：“反證法”中的結(jié)論是指最后得出所證命題的結(jié)論。教學(xué)時(shí)，一定要嚴(yán)格要求“結(jié)論”準(zhǔn)確。否則，將前功盡棄。
（四）比較辨析，恰當(dāng)運(yùn)用“反證法”
“反證法”在幾何、代數(shù)、三角等方面都能應(yīng)用。教學(xué)時(shí)，為了擴(kuò)展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生積極性，可適當(dāng)補(bǔ)充這方面的練習(xí)題。另一方面，學(xué)生學(xué)了“反證法”之后，企圖什么證明題都想用“反證法”來證，結(jié)果使一些簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化了，以致弄巧成拙。教學(xué)時(shí)還應(yīng)強(qiáng)調(diào)，什么時(shí)候用“直接證明法”，什么時(shí)候用“反證法”，應(yīng)依所證命題的具體情況恰當(dāng)使用。 原則上是“以簡(jiǎn)
（一）淺顯事例引入“反證法”的基本思想
學(xué)生剛接觸“反證法”時(shí)，對(duì)于此法中根據(jù)排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教學(xué)時(shí)，可通過學(xué)生已有實(shí)踐體會(huì)的淺顯的生活方面的事例讓學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)。開始將“反證法”用于解題時(shí)候，也宜于用學(xué)生已掌握的而且也是最淺顯的例子引入。
（二）精講例題，找出“反證法”的基本規(guī)律
有前面的基礎(chǔ)，就要注意講好每一個(gè)具有代表性的例題。特別是重要講好建立新概念或引出新方法時(shí)的第一個(gè)例題。教學(xué)時(shí)，宜于運(yùn)用具體的幾何實(shí)例。逐步說明證明的過程，并啟發(fā)學(xué)生沿著思維規(guī)律進(jìn)行思考，得出“反證法”的一般步驟和規(guī)律：
1、反設(shè)：將結(jié)論的的反面作為假設(shè)。
2、歸謬：將“反設(shè)”作條件，由此推出和題設(shè)或者和公理、定義、已證的定理相矛盾的結(jié)果。
3、結(jié)論：說明“反設(shè)”不成立，從而肯定結(jié)論不得不成立。
（三）加強(qiáng)練習(xí)，培養(yǎng)用“反證法”證題的基本能力
在學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)“反證法”的基本思想，掌握“反證法”的基本方法以后，還應(yīng)靠足夠的練習(xí)來逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“反證法”證題的能力。練習(xí)要有針對(duì)性，要重點(diǎn)突出，根據(jù)“反證法”的特點(diǎn)，練習(xí)的著重點(diǎn)應(yīng)放在“反設(shè)”、“歸謬”、“結(jié)論”三個(gè)方面。
1、“反設(shè)”的練習(xí)：“反設(shè)”即為“否定結(jié)論”，它是反證法的第一步，它的正確與否，直接影響著“反證法”的后續(xù)部分，學(xué)生初學(xué)時(shí)，往往去否定假設(shè)，教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意糾正。要突出“反設(shè)”的含義就是“將結(jié)論的反面作為假設(shè)”。在思考途徑上可指導(dǎo)學(xué)生按以下幾步進(jìn)行：第一要弄清所證命題的題設(shè)和結(jié)論各是什么。第二找出結(jié)論的全面相反情況，注意不要漏掉又不要重復(fù)。第三否定時(shí)用“不”或“不是”加在結(jié)論的前面，再把句子化簡(jiǎn)。
2、“歸謬”的練習(xí)：“歸謬”即“假定結(jié)論的反面成立，而導(dǎo)致矛盾?！本褪钦f將結(jié)論的反面作為條件后，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這不但是反證法的主要部分，而且也是核心部分。學(xué)生初學(xué)時(shí)，為宜”。一般來說，用“直接證法”的時(shí)候居多，但遇下列情況可考慮用“反證法”。
1、當(dāng)直接證明某個(gè)命題有困難或不可能時(shí)，可考慮使用“反證法”。
2、否定性問題：在此類問題中，結(jié)論的反面即可能就更為具體，常?？梢杂纱巳ネ瞥雒埽瑥亩穸赡?，而肯定了不可能。
3、唯一性問題：此類問題中，結(jié)論的反面是不唯一的，那么，至少可有兩個(gè)不同者，由此去推出矛盾，來否定不唯一，從而肯定唯一。
4、肯定性問題：此類問題中，有個(gè)帶肯定性的結(jié)論，其反面就是對(duì)前者的否定，由此去推出矛盾，從而使問題獲證。
有個(gè)很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個(gè)名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨(dú)有王戎沒動(dòng)，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個(gè)故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要討論的反證法。
二、反證法的定義、邏輯依據(jù)、種類及模式
定義：反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾，推理而得。
種類：運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于歸謬，因此反證法又稱為歸謬法。根據(jù)結(jié)論B的反面情況不同，分為簡(jiǎn)單歸謬法和窮舉歸謬法。
模式：設(shè)待證的命題為“若A則B”，其中A是題設(shè)，B是結(jié)論，A、B本身也都是數(shù)學(xué)判斷，那么用反證法證明命題一般有三個(gè)步驟：
反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；
歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；
結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。
三、反證法的適用范圍
1、否定性命題
即結(jié)論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現(xiàn)的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。
例求證：在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個(gè)鈍角。
證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)鈍角，不妨設(shè)∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C＞1800。這與“三角形內(nèi)角和為1800”這一定理相矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個(gè)三角形不可能有兩個(gè)鈍角。
2、限定式命題
即結(jié)論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語的命題。
例在半徑為的圓中，有半徑等于1的九個(gè)圓，證明：至少有兩個(gè)小圓的公共部分的面積不小于。
證明：每個(gè)小圓的公共部分的面積都小于，而九個(gè)小圓共有個(gè)公共部分，九個(gè)小圓的公共部分面積要小于，又大圓面積為，則九個(gè)小圓應(yīng)占面積要大于，這是不可能的，故至少有兩個(gè)小圓的公共部分面積不少于。
例已知方程，，中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)值，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
分析：此題直接分情況用判別式求解就特別麻煩，可用反證法，假設(shè)三個(gè)方程都無實(shí)數(shù)根，然后求滿足條件的集合的補(bǔ)集即可。
證明：假設(shè)三個(gè)方程都無實(shí)根，則有：
解得
例已知m，n，p都是正整數(shù)，求證：在三個(gè)數(shù)中，至多有一個(gè)數(shù)不小于1．
證假設(shè)a，b，c中至少有兩個(gè)數(shù)不小于1，不妨設(shè)a≥1，b≥1，則 m≥n+p，n≥p+m．
兩式相加，得2p≤0，從而p≤0，與p是正整數(shù)矛盾．
所以命題成立．
說明“不妨設(shè)”是為了簡(jiǎn)化敘述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各種情況時(shí)，證明過程是同樣的．
所求的范圍為、
3、無窮性命題
即涉及各種“無限”結(jié)論的命題。
例求證：是無理數(shù)。
分析：由于題目給我們可供便用的條件實(shí)在太少，以至于正面向前進(jìn)一小步都非常困難。而無理數(shù)又是無限不循環(huán)的，“無限”與“不循環(huán)”都很難表示出來。當(dāng)反設(shè)是有理數(shù)時(shí)，就增加了一個(gè)具體而有效的“條件”，使得能方便地將表示為一個(gè)分?jǐn)?shù)。
證明：假設(shè)是有理數(shù)，則存在互質(zhì)，使，從而，為偶數(shù)，記為，，，則也是偶數(shù)。由,均為偶數(shù)與、互質(zhì)矛盾，故是無理數(shù)。
例求證：素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。
證明：假設(shè)素?cái)?shù)只有n個(gè)：P1、P2……Pn，取整數(shù)N=P1?P2……Pn+1，顯然N不能被這幾個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)整除。因此，或者N本身就是素?cái)?shù)（顯然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一個(gè)），或者N含有除這n個(gè)素?cái)?shù)以外的素?cái)?shù)r，這些都與素?cái)?shù)只有n個(gè)的假定相矛盾，故素?cái)?shù)個(gè)數(shù)不可能是有限的，即為無限的。
四、運(yùn)用反證法應(yīng)注意的問題
1、必須正確否定結(jié)論
正確否定結(jié)論是運(yùn)用反證法的首要問題。
如：命題“一個(gè)三角形中，至多有一個(gè)內(nèi)角是直角”?！爸炼嘤幸粋€(gè)”指：“只有一個(gè)”或“沒有一個(gè)”，其反面是“有兩個(gè)直角”或“三個(gè)內(nèi)角都是直角”，即“至少有兩個(gè)是直角”。
2、必須明確推理特點(diǎn)
否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但何時(shí)出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測(cè)的，也沒有一個(gè)機(jī)械的標(biāo)準(zhǔn),有的甚至是捉摸不定的、一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮（例如,平面幾何問題往往聯(lián)系到相關(guān)的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點(diǎn)。因此，在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾。只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束。
五、小結(jié)
關(guān)鍵詞:逆向思維 培養(yǎng)思維品質(zhì)
中圖分類號(hào):G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1673-0992(2010)05A-0145-01
逆向思維,是與人們長(zhǎng)期形成的思維習(xí)慣相悖的思維方式,具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,注重對(duì)學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練,對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)是十分必要的,也是非常重要的。教學(xué)中要善于挖掘逆向思維訓(xùn)練素材,不失時(shí)機(jī)的對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。筆者在長(zhǎng)期教學(xué)活動(dòng)別注重從以下幾方面挖掘逆向思維素材。
一、激發(fā)學(xué)生思維的興趣
外因是變化的條件,內(nèi)因是變化的根據(jù)。興趣是最好的老師,因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)該想方設(shè)法激發(fā)學(xué)生思維的興趣,增強(qiáng)學(xué)生逆向思維的積極性。
(1)真正確立學(xué)生在教學(xué)中的主體地位。使學(xué)生成為主宰學(xué)習(xí)的主人、學(xué)習(xí)活動(dòng)的主動(dòng)參與者、探索者和研究者。
(2)實(shí)例引路。教師要有意識(shí)地剖析、演示一些運(yùn)用逆向思維的經(jīng)典例題,用它們說明逆向思維在數(shù)學(xué)中的巨大作用以及它們所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)美,另一方面可列舉實(shí)際生活中的一些典型事例,說明逆向思維的重要性,從而逐漸激發(fā)學(xué)生思維的興趣,增強(qiáng)學(xué)生逆向思維的主動(dòng)性和積極性。
(3)不斷提高教師自身的素質(zhì)。教師淵博的知識(shí)和超凡的人格魅力也能在一定程度上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和思維的積極性和主動(dòng)性。
二、幫助學(xué)生理順教材的邏輯順序
由于種種原因,教材的邏輯順序與學(xué)生的心理順序可能或多或少地存在著矛盾,而這些矛盾勢(shì)必妨礙學(xué)生思維活動(dòng)的正常進(jìn)行,因此,教師在鉆研教材時(shí)必須找出這些矛盾并幫助學(xué)生加以理順,只有這樣,才能保證學(xué)生思維活動(dòng)的展開。例5ABC中,AB
作ADBC,垂足為D點(diǎn),在BC上截取DE=BD,連結(jié)AE,則∠AEB=∠B. 過AC中點(diǎn)M作MP∥AE,交BC于P,MD就是所求的剪切線。剪下MPC,可以拼成等腰梯形ABPQ。 可見教師在備課時(shí)能及早發(fā)現(xiàn)教材的邏輯順序,發(fā)揮教材中互逆因素的作用
1.從定義的互逆明內(nèi)涵
(1)重視定義的再認(rèn)與逆用,加深對(duì)定義內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)。許多數(shù)學(xué)問題實(shí)質(zhì)上是要求學(xué)生能對(duì)定義進(jìn)行再認(rèn)或逆用。在教學(xué)實(shí)踐中,有的學(xué)生能把書上的定義背得滾瓜爛熟,但當(dāng)改變一下定義的敘述方式或通過一個(gè)具體的問題來表述時(shí),學(xué)生就不知所措了。因此在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。
逆用定義思考問題,往往能挖掘題中的隱蔽條件,使問題迎刃而解。
(2)過互逆定義把握定義間的聯(lián)系。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)與反函數(shù)等都是互逆的定義,互逆定義之間有著天然的聯(lián)系,教學(xué)中要著重使學(xué)生理解怎樣從一個(gè)定義導(dǎo)出另一個(gè)與它互逆的定義,向?qū)W生灌輸轉(zhuǎn)化的思想,揭示定義間相互聯(lián)系,當(dāng)然也包括找出不同點(diǎn)。
2.從公式的互逆找靈感
(1)會(huì)公式的互逆記憶。很多數(shù)學(xué)問題是逆用公式的問題,要更好地解決這類問題,首先應(yīng)該讓學(xué)生知道公式的互逆形式,學(xué)會(huì)公式的互逆記憶。
(2)逆用公式(包括公式變形的逆用)。往往可以使問題簡(jiǎn)化,經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、變通性,使學(xué)生養(yǎng)成善于逆向思維的習(xí)慣,提高靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。公式逆用是學(xué)生常常感到困惑的一個(gè)問題,也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn),教學(xué)中必須強(qiáng)化這方面的訓(xùn)練。
3.從定理、性質(zhì)、法則的互逆悟規(guī)律
數(shù)學(xué)中有許多可逆定理、性質(zhì)和法則,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些可逆定理、性質(zhì)和法則,可達(dá)到使學(xué)生將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的目的。
(1)讓學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)作已知命題的逆命題與否命題,掌握可逆定理、性質(zhì)和法則的互逆表述。交換原命題的條件和結(jié)論,所得的命題是逆命題;同時(shí)否定命題的條件和結(jié)論,所得的命題是否命題。教學(xué)中要用一定的時(shí)間、適當(dāng)?shù)挠?xùn)練量加強(qiáng)學(xué)生這方面的練習(xí),打好基礎(chǔ)。
(2)掌握四種命題間的關(guān)系?；ツ婷}和互否命題都不是等價(jià)命題,而互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。學(xué)生搞清四種命題間的關(guān)系,不僅能掌握可逆的互逆定理、性質(zhì)、法則,而且能增強(qiáng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力,也是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的途徑之一。
(3)掌握反證法及其思想。反證法是一種間接證法,它是通過證明一個(gè)命題的逆否命來證明原命正確的一種方法,是運(yùn)用逆向思維的一個(gè)范例。一些問題運(yùn)用反證法后就顯得非常簡(jiǎn)單,還有一些問題只能用反證法來解決,因此反證法是高中生必須掌握的一種數(shù)學(xué)方法。反證法的思想在其他學(xué)科和其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用,應(yīng)該重視。
(4)正確應(yīng)用充要條件?！俺湟獥l件”是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念,是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換的邏輯基礎(chǔ)。一個(gè)定理如果有逆定理,那么定理、逆定理合在一起,就可構(gòu)作一個(gè)充要條件。重視充要條件的教學(xué),使學(xué)生能正確應(yīng)用充要條件可培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。
三、采用直觀教學(xué),為學(xué)生提供逆向思維的基礎(chǔ)
一、創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在問題的處理中培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)
數(shù)學(xué)是思維的體操，學(xué)生的思維孕育于問題之中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要精心創(chuàng)設(shè)問題情境，開啟學(xué)生思維的閘門，促使學(xué)生的思維活動(dòng)有序開展。
1.創(chuàng)設(shè)問題情境，開啟學(xué)生思維之門。
問題是打開學(xué)生思維之門的鑰匙。在課堂教學(xué)中，教師要恰當(dāng)準(zhǔn)確地提出問題，將學(xué)生的思維引入佳境。如在“空間中直線與直線之間的位置關(guān)系”的教學(xué)中，我首先引導(dǎo)學(xué)生思考：同一平面內(nèi)的兩條直線，其位置關(guān)系有哪幾種？空間中的兩條直線呢？在給學(xué)生出示了問題之后，我請(qǐng)學(xué)生觀察教室的墻角線，課桌面的邊線，教室的門沿線，思考它們所在的線面之間有什么樣的不同關(guān)系？用大家熟悉的事物，激起學(xué)生的探究意識(shí)，吸引他們積極主動(dòng)地發(fā)散思維，思考問題。
2.注重啟發(fā)引導(dǎo)，保持思維的持續(xù)性。
人認(rèn)識(shí)事物的過程是由具體事物到思維的抽象，再升華為思維的具體的過程。研究數(shù)學(xué)問題的過程一般都是從具體事物抽象為理性認(rèn)知，在此過程中，將數(shù)學(xué)問題附著在數(shù)學(xué)例題之上，使被抽象出來的數(shù)學(xué)問題再回歸實(shí)踐。那么，如何實(shí)踐，從而保持思維的持續(xù)性呢？
首先，要讓學(xué)生有思維的時(shí)間。實(shí)踐表明，學(xué)生思考的時(shí)間如果非常短暫，思維就會(huì)很倉促，思維的全面與完整就會(huì)大打折扣，這顯然不利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。
其次，啟發(fā)要密切聯(lián)系學(xué)生的思維狀況。教師在提出問題之后，要先給學(xué)生思維的時(shí)間和空間，在學(xué)生思維遭遇障礙之后，教師應(yīng)作適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)。啟發(fā)引導(dǎo)要瞄準(zhǔn)學(xué)生思維的關(guān)鍵點(diǎn)，因勢(shì)利導(dǎo)地給予點(diǎn)撥，既不能越俎代庖，讓學(xué)生直達(dá)思維彼岸，又不能不顧學(xué)生的思維實(shí)際，蜻蜓點(diǎn)水，使學(xué)生不得要領(lǐng)，霧里看花，失去點(diǎn)撥的意義。
最后，通過不斷邁向縱深的新問題延續(xù)學(xué)生的思維。問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)生的思維品質(zhì)就是在不斷提出問題、解決問題的過程中形成的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷地給學(xué)生呈現(xiàn)新的問題，讓學(xué)生的思維潛能最大限度地得以挖掘，從而使數(shù)學(xué)思維持續(xù)不斷地健康發(fā)展。
數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，在教學(xué)中，教師要想方設(shè)法地通過對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解決中全面準(zhǔn)確地暴露思維過程，同時(shí)給予恰到好處的啟迪和點(diǎn)撥，從而真正讓思維發(fā)展為學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的提高奠定基礎(chǔ)。
二、培養(yǎng)逆向思維，讓學(xué)生在思維的互補(bǔ)中優(yōu)化創(chuàng)新本領(lǐng)
伽利略說：“科學(xué)是在不斷改變思維角度探索中前進(jìn)的?！币囵B(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新本領(lǐng)，提高學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的培養(yǎng)訓(xùn)練是不可或缺的。但是，普通高中學(xué)生往往習(xí)慣于正向思維，對(duì)問題的思考沿襲傳統(tǒng)的方法，這顯然會(huì)使個(gè)體的思維落入俗套，不利于創(chuàng)新思維的發(fā)展。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合教材內(nèi)容，強(qiáng)化學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，讓他們學(xué)會(huì)從多個(gè)角度，尤其是從反面思考問題，從而幫助他們提高分析問題、解決問題的能力。
1.強(qiáng)化反證法教學(xué)。
反證法是數(shù)學(xué)教學(xué)一種常見的方法，其特點(diǎn)是先給出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后得出與公理、定義或題設(shè)相矛盾的結(jié)果，從而說明前面的假設(shè)是錯(cuò)誤的，是不成立的，也間接地肯定了原來求證的結(jié)論正確。因此，反證法可謂發(fā)展逆向思維的重要方法。部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，形成了固定的思維模式，只是在立體幾何及不等式的教學(xué)中才會(huì)談及反證法，而在其他地方則很少涉及，這樣學(xué)生對(duì)反證法的印象好像只能在特定的問題上才能用，事實(shí)并非如此。教師在講解很多問題時(shí)，都可滲透反證法的思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從問題的反面思考問題的形成過程，更容易讓學(xué)生深化對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維尤為重要。
2.注重分析法的運(yùn)用。
數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上升到一定階段后一種非常重要的方法，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性具有獨(dú)特的作用。古希臘數(shù)學(xué)之精華，歐氏幾何的基礎(chǔ)――《幾何原本》就是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得運(yùn)用分析法的結(jié)晶。在教學(xué)過程中，教師要充分引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析，展示思維過程，從而優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，為逆向思維能力的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。
3.學(xué)會(huì)搜集反例。
數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，數(shù)學(xué)規(guī)律的形成必然注定是全面的。在數(shù)學(xué)發(fā)展中，巧妙地列舉反例，靈活地引入一些個(gè)案，可讓學(xué)生對(duì)規(guī)律形成過程的嚴(yán)謹(jǐn)性產(chǎn)生思考，從而更全面地認(rèn)識(shí)事物，加深對(duì)規(guī)律的判斷。
三、協(xié)調(diào)兩種關(guān)系，讓學(xué)生在思維品質(zhì)的完善上發(fā)展創(chuàng)新思維
1.直覺思維與邏輯思維。
思維按其方式看，可分為邏輯思維和直覺思維。事實(shí)上，二者是密切聯(lián)系、不可分割的，那種將二者對(duì)立起來，認(rèn)為它們是水火不容的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。教師在培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的過程中，要激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，引導(dǎo)他們大膽猜測(cè)，勇于提出自己的看法和觀點(diǎn)，從而不斷迸發(fā)創(chuàng)新的火花，產(chǎn)生頓悟的靈感。當(dāng)然，這種頓悟和創(chuàng)新絕非空穴來風(fēng)，也絕非主觀臆斷，它同樣需要教師嚴(yán)格的推導(dǎo)和論證，這就要求培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯思維，從而為直覺思維提供理論基礎(chǔ)。
2.定勢(shì)思維與創(chuàng)新思維。
新n程標(biāo)準(zhǔn)指出，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.新課標(biāo)把數(shù)學(xué)思想方法作為基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分明確提出來，不僅是課標(biāo)體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)的重要表現(xiàn)，也是對(duì)學(xué)生實(shí)施創(chuàng)新教育、培訓(xùn)創(chuàng)新思維的重要保證.
所謂數(shù)學(xué)思想，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為.運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程度時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想.若把數(shù)學(xué)知識(shí)看作一座宏偉大廈，一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想，那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段.
新課標(biāo)要求，滲透層次教學(xué).數(shù)學(xué)新課標(biāo)對(duì)初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想方法劃分為三個(gè)層次，即了解、理解和應(yīng)用.在教學(xué)中，要求學(xué)生了解的數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、化歸思想、類比思想和函數(shù)思想等.這里需要說明的是，有些數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)新課標(biāo)中并沒有明確提出來，如化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用新知識(shí)解決問題的過程中的，方程（組）的解法中就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉(zhuǎn)化的思想方法.
在教學(xué)過程中，教師不僅應(yīng)該使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，促使學(xué)生獨(dú)立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題.在數(shù)學(xué)新課標(biāo)中要求了解的方法有分類法、類比法、反證法等.要求理解或應(yīng)用的方法有待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等.在教學(xué)中，教師要認(rèn)真把握好了解、理解、應(yīng)用三個(gè)層次，不能將了解的層次提高到理解的層次，也不能把理解的層次提高到應(yīng)用的層次.比如，初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)中明確提出反證法的教學(xué)思想，且揭示了運(yùn)用反證法的一般步驟，但數(shù)學(xué)新課標(biāo)只是把反證法定位在通過實(shí)例體會(huì)反證法的含義的層次上，教學(xué)中教師應(yīng)把握住這個(gè)“度”，不能隨意拔高、加深.
一、 了解課標(biāo)要求，把握教學(xué)方法
《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》對(duì)初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個(gè)層次，即“了解”、“理解”和“會(huì)應(yīng)用”.在教學(xué)中，要求學(xué)生“了解”數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等.這里需要說明的是，有些數(shù)學(xué)思想在《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中并沒有明確提出來，比如，化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用新知識(shí)解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉(zhuǎn)化的思想方法.
教師在整個(gè)教學(xué)過程中，不僅應(yīng)該使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，通過獨(dú)立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題.在《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法等.要求“理解”的或“會(huì)應(yīng)用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等.在教學(xué)中，要認(rèn)真把握好“了解”、“理解”、“會(huì)應(yīng)用”這三個(gè)層次.不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會(huì)應(yīng)用”的層次，不然的話，學(xué)生初次接觸就會(huì)感到數(shù)學(xué)思想、方法抽象難懂，高深莫測(cè)，從而導(dǎo)致他們失去信心.如，初中數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)中明確提出“反證法”的教學(xué)思想，且揭示了運(yùn)用“反證法”的一般步驟，但《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》只是把“反證法”定位在通過實(shí)例，“體會(huì)”反證法的含義的層次上，我們?cè)诮虒W(xué)中，應(yīng)牢牢地把握住這個(gè)“度”，千萬不能隨意拔高、加深.否則，教學(xué)效果將是得不償失.
二、遵循認(rèn)知規(guī)律，開展創(chuàng)新教學(xué)
要達(dá)到《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》的基本要求，教學(xué)中應(yīng)遵循以下幾項(xiàng)原則：
1.滲透“方法”，了解“思想”.由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數(shù)學(xué)思想、方法作為一門獨(dú)立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ).因而只能將數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中.教師要把握好滲透的契機(jī)，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，知識(shí)的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，形成獲取、發(fā)展新知識(shí)，運(yùn)用新知識(shí)解決問題.忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識(shí)的結(jié)論，就必然失去滲透數(shù)學(xué)思想、方法的一次次良機(jī).如，北師大版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)課本《有理數(shù)》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節(jié)――“有理數(shù)大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中.在數(shù)軸教學(xué)之后，就引出了“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)”.而兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小的全過程單獨(dú)地放在絕對(duì)值教學(xué)之后解決.教師在教學(xué)中應(yīng)把握住這個(gè)逐級(jí)滲透的原則，既使這一章節(jié)的重點(diǎn)突出，難點(diǎn)分散；又向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生易于接受.
2.訓(xùn)練“方法”，理解“思想”.數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容是相當(dāng)豐富的，方法也有難有易.因此，必須分層次地進(jìn)行滲透和教學(xué).這就需要教師全面地熟悉初中三個(gè)年級(jí)的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想、方法滲透的各種因素，對(duì)這些知識(shí)從思想方法的角度作認(rèn)真分析，按照初中三個(gè)年級(jí)不同的年齡特征、知識(shí)掌握的程度、認(rèn)知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹?cái)?shù)學(xué)思想、方法的教學(xué).如在教學(xué)同底數(shù)冪的乘法時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生先研究底數(shù)、指數(shù)為具體數(shù)的同底數(shù)冪的運(yùn)算方法和運(yùn)算結(jié)果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數(shù)，用m、n表示指數(shù)的一般法則以后，再要求學(xué)生應(yīng)用一般法則來指導(dǎo)具體的運(yùn)算.在整個(gè)教學(xué)中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數(shù)學(xué)方法，對(duì)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣起重要作用.
3.掌握“方法”，運(yùn)用“思想”.數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要經(jīng)過聽講、復(fù)習(xí)、做習(xí)題等才能掌握和鞏固.數(shù)學(xué)思想、方法的形成同樣有一個(gè)循序漸進(jìn)的過程.只有經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練才能使學(xué)生真正領(lǐng)會(huì).另外，使學(xué)生形成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)，必須建立起學(xué)生自我的“數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)”，這更需要一個(gè)反復(fù)訓(xùn)練、不斷完善的過程.比如 ，運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)方法，在新概念提出、新知識(shí)點(diǎn)的講授過程中，可以使學(xué)生易于理解和掌握.學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候，我們可以用乘法公式類比；在學(xué)次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)時(shí)，我們可以和一元二次方程的根與系數(shù)性質(zhì)類比.通過多次重復(fù)性的演示，使學(xué)生真正理解、掌握類比的數(shù)學(xué)方法.
4.提煉“方法”，完善“思想”.教學(xué)中要適時(shí)恰當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)方法給予提煉和概括，讓學(xué)生有明確的印象.由于數(shù)學(xué)思想、方法分散在各個(gè)不同部分，而同一問題又可以用不同的數(shù)學(xué)思想、方法來解決.因此，教師的概括、分析是十分重要的.教師還要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩概括數(shù)學(xué)思想方法的能力，這樣才能把數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)落在實(shí)處.
一、 設(shè)置合作情境，點(diǎn)燃學(xué)生互助合作的情感“火花”
很多時(shí)候要想讓學(xué)生彼此間展開合作需要教師設(shè)置良好的合作情境，在有效的情境下迅速激發(fā)學(xué)生的思維。有趣的情境是激發(fā)學(xué)生好奇心、誘發(fā)學(xué)生思考、引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲的非常有效的途徑。提出一個(gè)有意思的問題，往往能很好地吸引學(xué)生的目光及注意力，學(xué)生會(huì)迫切地想知道事情的原委，非常積極地跟隨老師的步伐進(jìn)行思考尋找答案。在課堂教學(xué)中，設(shè)置情境的最好時(shí)機(jī)是課堂的開始。情境設(shè)于此時(shí)，學(xué)生往往能迅速集中精力，激發(fā)興趣，活躍課堂氣氛。在這種情況下，通常從概念、定理、法則、公式的實(shí)質(zhì)處設(shè)置懸念。
情境設(shè)置的一個(gè)非常有效的方式就是引發(fā)懸念。例如，在有關(guān)圓的教學(xué)時(shí)，課堂一開始我就向?qū)W生提問：一輛汽車的輪胎已殘缺破舊，現(xiàn)在無任何標(biāo)記的情況下，你能想辦法找到一個(gè)與原來輪胎大小完全一致的輪胎嗎？帶著疑問及疑問引發(fā)的懸念學(xué)生們展開了激烈的討論，學(xué)生的思維不僅迅速地被懸念點(diǎn)燃，學(xué)生間互助合作的情感“火花”也隨之引發(fā)。在一陣激烈地探討合作后學(xué)生還是沒有找到理想的解決方法。當(dāng)學(xué)生們紛紛表示疑惑時(shí)，我告訴大家，只要認(rèn)真聽今天的課，自然會(huì)找到結(jié)論。大家聽了都非常興奮，對(duì)于課堂產(chǎn)生了濃厚的興趣及求知欲。
二、 重視學(xué)習(xí)方法，傳授學(xué)生互助合作學(xué)習(xí)的“要訣”
學(xué)生只有掌握了正確的學(xué)習(xí)方法與合作方式，合作過程才能真正起到它的作用。教學(xué)過程中教師首先要引導(dǎo)學(xué)生找到問題的重點(diǎn)，并且讓學(xué)生掌握正確的解決問題的方法。有了這些良好的工具后學(xué)生在此基礎(chǔ)上再來展開互助合作，合作的效果將會(huì)非常好，學(xué)生們?cè)诤献鲗W(xué)習(xí)的過程中也會(huì)有更多的收獲。合作的重點(diǎn)應(yīng)放在解決問題的方法上，掌握了方法，學(xué)生才能舉一反三，教學(xué)才體現(xiàn)出其價(jià)值，碰到類似的問題自然能迎刃而解。
例如，在教學(xué)“有理數(shù)的加法”時(shí)，學(xué)生有必要掌握相應(yīng)的運(yùn)算方法及技巧，但這些又不是那么容易掌握。老師如果只是教條性地將方法灌輸給學(xué)生，學(xué)生當(dāng)時(shí)會(huì)用，過后三、 強(qiáng)化合作指導(dǎo)，奠定學(xué)生互助合作素養(yǎng)的“基石”
很多時(shí)候，學(xué)生們?cè)谡归_合作學(xué)習(xí)時(shí)教師的指引是很重要的。對(duì)于很多重難點(diǎn)的合作學(xué)習(xí)過程，學(xué)生們很可能一時(shí)找不到合適的解決問題的方法與思路，這時(shí)就容易進(jìn)入一些誤區(qū)或者思維產(chǎn)生僵化。這時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)及時(shí)給予學(xué)生正確的指引，只有將學(xué)生從誤區(qū)中領(lǐng)出來，讓他們換個(gè)思維模式，學(xué)生才能對(duì)于教學(xué)要點(diǎn)有更好地領(lǐng)悟與認(rèn)識(shí)。現(xiàn)代教學(xué)中，老師已經(jīng)逐漸從傳統(tǒng)教學(xué)體系中的主導(dǎo)者演變?yōu)橐龑?dǎo)者，課堂教學(xué)越來越強(qiáng)調(diào)學(xué)生的參與性及主動(dòng)思考能力，因此合作學(xué)習(xí)這種教學(xué)方式越來越被推崇。課堂教學(xué)中學(xué)生在展開合作學(xué)習(xí)時(shí)教師的作用也是不容忽視的，只有教師在旁邊細(xì)心觀察才能及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生遇到的問題，進(jìn)而幫助學(xué)生從不正確的思路中走出來。