時(shí)間：2023-03-15 14:53:35
導(dǎo)語：在數(shù)學(xué)研究論文的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)之花數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法
新課程下的教育，是關(guān)愛學(xué)生生命發(fā)展，弘揚(yáng)學(xué)生靈性的教育。新課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)是以思維能力培養(yǎng)為核心，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的理解與把握。讓學(xué)生從看似枯燥的數(shù)字、圖形和抽象的邏輯思維中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，讓數(shù)學(xué)之花在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上盡情綻放，這是我多年來在課堂教學(xué)中一直努力追求的境界。下面結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐和探索，談一談自己的一些做法和體會(huì)。
一、良好的學(xué)習(xí)情境------數(shù)學(xué)之花生長的土壤
“讓學(xué)生在生動(dòng)具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”，“讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》給我們廣大數(shù)學(xué)教師提出的教學(xué)建議。良好的學(xué)習(xí)情境是讓數(shù)學(xué)之花生長的土壤。妙地創(chuàng)設(shè)各種情境，最大限度地激發(fā)孩子的求知欲，像磁鐵把每一個(gè)孩子的心緊緊地吸在一起，把有限的課堂時(shí)空變?yōu)槿巳藚⑴c、個(gè)個(gè)思考的無限空間。
在教學(xué)《誰先走》一課時(shí)，我一開始就創(chuàng)設(shè)一個(gè)“下棋比賽誰先走”的游戲情境，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將學(xué)生帶入游戲規(guī)則是否公平的討論之中；然后通過“擲骰子”和“擲硬幣”兩個(gè)游戲活動(dòng)讓學(xué)生驗(yàn)證、體會(huì)游戲規(guī)則的公平性，修改不公平的游戲規(guī)則；再通過玩轉(zhuǎn)盤游戲，給轉(zhuǎn)盤游戲制定公平的游戲規(guī)則；最后組織學(xué)生自己設(shè)計(jì)一些對(duì)雙方都公平的游戲等，給全體學(xué)生再次參加游戲活動(dòng)的機(jī)會(huì)，并引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，關(guān)注身邊的不確定現(xiàn)象，應(yīng)用所學(xué)去解釋、解決一些簡單問題。本節(jié)課自始至終都是在各種游戲活動(dòng)的情境中發(fā)現(xiàn)問題，探究知識(shí)，解決問題，學(xué)生在玩中學(xué)，學(xué)中悟，課堂成了歡樂的海洋，原來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也可以這樣的生動(dòng)活潑、快樂有趣。
再如北師版第四冊(cè)《整理與復(fù)習(xí)（一）》是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“除法”、“混合運(yùn)算”、“方向與路線”“、生活中的大數(shù)”幾個(gè)單元之后的一節(jié)綜合復(fù)習(xí)課。在教學(xué)此課時(shí)，我針對(duì)春天來了，學(xué)生都特別喜歡外出游玩的心理特點(diǎn)，結(jié)合生活實(shí)際為學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)“淮南草莓節(jié)一日游”的教學(xué)情境，把枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)、有趣、貼近生活。在讓學(xué)生說行車路線和各個(gè)景點(diǎn)相互位置關(guān)系時(shí)復(fù)習(xí)了方向與路線這一知識(shí)點(diǎn)；接著在不同時(shí)間景區(qū)游玩人數(shù)的比較中，有效地復(fù)習(xí)了萬以內(nèi)數(shù)的讀寫法；然后在購買旅游食品這一環(huán)節(jié)巧妙的復(fù)習(xí)了四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算方法，以及運(yùn)用混合運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)來解決實(shí)際問題。整節(jié)課學(xué)生興趣盎然，在精心創(chuàng)設(shè)的一日游情境中進(jìn)行綜合的復(fù)習(xí)和運(yùn)用。良好的學(xué)習(xí)情境是數(shù)學(xué)之花生長的肥沃土壤。
二、積極的探究活動(dòng)------數(shù)學(xué)之花孕育中綻放
《新課標(biāo)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！薄皩W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程?！碧骄渴綄W(xué)習(xí)為每一層次的學(xué)生提供了選擇的空間，人人都能參與，人人都有收獲。在課堂上我根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際情況，給學(xué)生提供充分的探究活動(dòng)空間，讓學(xué)生在活動(dòng)中探究，探究中體驗(yàn)，體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)中提高。數(shù)學(xué)之花就在實(shí)踐和創(chuàng)新的過程中盡情綻放。
在教學(xué)《三角形內(nèi)角和》時(shí)，我先請(qǐng)學(xué)生測(cè)量并標(biāo)出各種不同三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后報(bào)出其中任意兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，請(qǐng)老師猜一猜第三個(gè)角是多少度，老師對(duì)答如流，準(zhǔn)確無誤。學(xué)生帶著驚奇和疑問，走進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和探索中，有的用測(cè)量后再計(jì)算的方法，有的用折紙的方法，有的把三個(gè)角撕下來，重新拼在一起，還有的用長方形對(duì)折成兩個(gè)三角形推導(dǎo)等不同的方法探究得出了三角形內(nèi)角和是180°。學(xué)生們很快揭穿了“老師總能猜對(duì)”的秘密。接下來又是一次具有挑戰(zhàn)性的探究——“根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，你能推導(dǎo)出五邊形、六邊形……一百邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？”在積極的探究活動(dòng)中，孩子們通過自己的努力，終于發(fā)現(xiàn)了多邊形內(nèi)角和等于180°×(邊數(shù)－2)的規(guī)律。課上有疑問、有猜想、有驚訝、有爭議、有沉思、有聯(lián)想……學(xué)生在探究、交流、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中處處閃現(xiàn)著智慧之花，數(shù)學(xué)之花在攀登數(shù)學(xué)高峰的征程中盡情綻放。
三、適時(shí)的激勵(lì)賞識(shí)------數(shù)學(xué)之花盛開的催化劑
德國教育家第斯多惠曾說:“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授的本領(lǐng),而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞。”可見,激勵(lì)學(xué)生,充分發(fā)揮學(xué)生的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性,營造出一種“海闊憑魚躍,天高任鳥飛”的育人氛圍是非常重要的。一句充滿期待的話語能激活一個(gè)人潛在的巨大的自信。一次成功的體驗(yàn)?zāi)芗ぐl(fā)學(xué)生濃厚地學(xué)習(xí)興趣。我始終堅(jiān)持用激勵(lì)和賞識(shí)去評(píng)價(jià)學(xué)生，我努力地尋找契機(jī)，挖掘他們內(nèi)在的潛能，真誠地贊許他們，激發(fā)他們向上的動(dòng)力?！澳愕乃季S很獨(dú)特，你能具體說說自己的想法嗎？”“你發(fā)現(xiàn)了這么重要的方法，老師為你感到驕傲！”“試一試，相信自己，老師知道你能行！”“你是個(gè)求上進(jìn)的孩子，你能夠?qū)W得更好！”……一句真誠的鼓勵(lì)，一個(gè)關(guān)注的眼神，一次溫柔地?fù)崦屨n堂變得溫情四溢，充滿生機(jī)和活力。我精心創(chuàng)設(shè)使他們都能獲得成功的機(jī)會(huì)，營造一個(gè)享受成功的氛圍，使不同學(xué)生都能品嘗到成功的喜悅和勝利的自豪。不斷的激勵(lì)，不斷的賞識(shí)，不斷地享受成功帶來的快樂和自信，培養(yǎng)了孩子們熱愛數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)的濃厚興趣，而孩子們的不斷投入，使得一朵朵數(shù)學(xué)之花在不斷的賞識(shí)和激勵(lì)中含苞欲放。
四、生活中實(shí)際應(yīng)用------數(shù)學(xué)之花絢麗多彩
論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；教學(xué)；知識(shí)；教師教育
一、數(shù)學(xué)知識(shí)研究
傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識(shí)。班級(jí)授課制成熟后，人們開始同意這樣一個(gè)原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識(shí)。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、概念、命題、法則等知識(shí)是不夠的。…除此之外，教師還要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個(gè)方式是句法性地(syntactically)，另一個(gè)方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個(gè)論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對(duì)這三個(gè)概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識(shí)稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。它是指知識(shí)從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。
主要有三個(gè)維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個(gè)數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動(dòng)：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。
對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究，拓寬了人們對(duì)教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。這些知識(shí)對(duì)于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會(huì)產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會(huì)有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個(gè)概念，怎樣定義，它會(huì)有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識(shí)還不夠。它缺少對(duì)學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對(duì)有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識(shí)與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識(shí)的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學(xué)必須考慮學(xué)生已有的知識(shí)和知識(shí)呈現(xiàn)的最佳序列。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，馬力平的知識(shí)包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識(shí)包是圍繞著一個(gè)中心概念而組織起來的一系列相關(guān)概念，是在學(xué)生的頭腦里培育這樣一個(gè)領(lǐng)域的縱向過程。(n知識(shí)包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結(jié)點(diǎn)，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內(nèi)數(shù)的加減法的知識(shí)包(圖1)。在這個(gè)知識(shí)包內(nèi)，中心概念是20至100數(shù)的“借位減法”，它是學(xué)習(xí)多位數(shù)的加減的關(guān)鍵前提。
馬力平的知識(shí)包實(shí)際上是我國內(nèi)地傳統(tǒng)的教材分析研究。這類研究結(jié)果是教學(xué)參考書的主要內(nèi)容之一。它是一種課程知識(shí)，是教師對(duì)課程的分析，比對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分析更接近教學(xué)用的數(shù)學(xué)。但它也不是教師教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)。它最多是教師對(duì)教學(xué)的考慮，沒有考慮師生互動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)需求。教師在教學(xué)時(shí)，能夠動(dòng)員起來的知識(shí)不一定符合教學(xué)情境的需要。比如教師預(yù)期的一種學(xué)生的反應(yīng)在與學(xué)生的互動(dòng)中沒有出現(xiàn)，教師以學(xué)生的這種反應(yīng)為跳板的后繼知識(shí)就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識(shí)包，與教師在課堂教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)還有一段距離，教師在教學(xué)時(shí)可能用得上，也可能用不上。教師在教學(xué)時(shí)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教材分析所能提供的內(nèi)容。
三、教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究
Ball開創(chuàng)了教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究。她通過分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識(shí)及其影響。下面以Ball的一個(gè)課例來說明其研究方法與結(jié)果。該課內(nèi)容是三年級(jí)多位數(shù)減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學(xué)生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數(shù)l7開始向后數(shù)數(shù)，一直數(shù)到32得到答案。ba認(rèn)為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對(duì)，數(shù)一下表示32的教具中剩余的沒有配對(duì)的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數(shù)一下剩余的就行了。Cassandia提供了標(biāo)準(zhǔn)的減法算法，Scan受到啟發(fā)，提供了另一種解法：16+16=32，整節(jié)課，學(xué)生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認(rèn)為，這節(jié)課教學(xué)的核心活動(dòng)是處理數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和控制課堂討論。知識(shí)的關(guān)聯(lián)涉及到在具體和符號(hào)的模式中，減法和加法是如何關(guān)聯(lián)的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關(guān)聯(lián)的、教具的表征如何轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征、Betsy的配對(duì)比較法如何轉(zhuǎn)化為Sean的向后數(shù)數(shù)的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協(xié)調(diào)，控制課堂討論首先表現(xiàn)在提供線索和解釋，推動(dòng)正確的方法的發(fā)展；其次表現(xiàn)在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學(xué)生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結(jié)論超過了三年級(jí)學(xué)生的理解能力。
Ball對(duì)這節(jié)課教師需要使用的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了歸納。除了傳統(tǒng)的教材分析提供的借位減法的符號(hào)算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識(shí)。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數(shù)的加法16+?=32)是等價(jià)的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數(shù)到32，或者M(jìn)ei的從32里拿走l6個(gè)等等。第三，教師還需要具有深刻的數(shù)學(xué)眼光去審查、分析和協(xié)調(diào)學(xué)生的多種解法。最后，教師還需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)論證的知識(shí)。通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分，其余大部分只能在分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)中才能得到。
四、啟示
1．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是有效教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)。它與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識(shí)、教材分析得出的數(shù)學(xué)知識(shí)是不一樣的。它具有一種教學(xué)上有用的數(shù)學(xué)理解，這種理解主要集中于學(xué)生的觀念和誤解上。學(xué)生對(duì)特定內(nèi)容的理解是有差異的，教師需要調(diào)和學(xué)生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生把知識(shí)進(jìn)一步組織，促進(jìn)學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)。
2．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)知識(shí)，它聯(lián)系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學(xué)三年級(jí)的兩位數(shù)退位減法，但是，通過對(duì)課堂教學(xué)核心數(shù)學(xué)活動(dòng)的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數(shù)學(xué)的等價(jià)、同構(gòu)、相似性和表征之間的轉(zhuǎn)化等概念。從結(jié)構(gòu)上說，前五種解法是同構(gòu)的，前五種解法和最后一種缺失加數(shù)的加法是等價(jià)的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上理清這些解法的關(guān)系，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生在不同的方法之間轉(zhuǎn)換并分清這些方法的異同，促進(jìn)學(xué)生高效地組織自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。香港的“課堂學(xué)習(xí)研究”也證實(shí)，數(shù)學(xué)專家參與的教研活動(dòng)，能提升課堂教學(xué)的有效性。
3．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)存在一定的結(jié)構(gòu)。首先是學(xué)生理解的知識(shí)。像Ball的課例所展示的，學(xué)生對(duì)退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識(shí)是教師教學(xué)的起點(diǎn)。以學(xué)生已有的知識(shí)為起點(diǎn)自下而上的講授使知識(shí)加以擴(kuò)充，把新知識(shí)與學(xué)生已經(jīng)構(gòu)成內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)的概念和方法聯(lián)系起來，這是提高教學(xué)效率的奧妙；其次是教學(xué)策略。像Ball的課例所展示的，學(xué)生的理解各種各樣，需要教師使用相應(yīng)的策略來控制課堂討論，協(xié)調(diào)不同的方法，促進(jìn)正確的方法發(fā)展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學(xué)效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識(shí)。教師需要提供線索和解釋，矯正學(xué)生的誤解，促進(jìn)學(xué)生自我評(píng)價(jià)的參與，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步精簡合理化知識(shí)；第四，課程知識(shí)。像馬力平的知識(shí)包概念所揭示的，特定課題呈現(xiàn)的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學(xué)科的橫向聯(lián)系，是教師用來教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學(xué)科各知識(shí)點(diǎn)的固著關(guān)系及其潛在距離，構(gòu)建適合學(xué)生特點(diǎn)的、具有合適梯度的結(jié)構(gòu)序列，是提高教學(xué)效率的基礎(chǔ)；最后是教學(xué)目的的統(tǒng)領(lǐng)性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對(duì)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解、信念數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論以及對(duì)特定學(xué)生最有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)的判斷。當(dāng)然，這些成分是從不同的維度來說明教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的屬性，它們之間的關(guān)系及提高課題教學(xué)效率的機(jī)制還需從課堂教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)進(jìn)一步的概念化。
由于受學(xué)校的，一般人認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是對(duì)家、工程師，或許還有家才有用的一系列技巧。這樣的教育導(dǎo)致了對(duì)這門學(xué)科的厭惡和對(duì)它的忽視。當(dāng)有人對(duì)這種狀況提出異議時(shí)，某些飽學(xué)之士可以得到權(quán)威們的支持。圣?奧古斯丁(St．Augustine)不是說過嗎：“好的基督徒應(yīng)該提防數(shù)學(xué)家和那些空頭許諾的人。這樣的危險(xiǎn)已經(jīng)存在，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)與魔鬼簽定了協(xié)約，要使精神進(jìn)入黑暗，把人投入地獄”。古羅馬法官則裁決“對(duì)于作惡者、數(shù)學(xué)家諸如此類的人”應(yīng)禁止他們“幾何技藝和參加當(dāng)眾運(yùn)算像數(shù)學(xué)這樣可惡的學(xué)問。”叔本華(Schopenhauer)，一位在現(xiàn)代史上占有重要地位的哲學(xué)家，也把算術(shù)說成是最低級(jí)的精神活動(dòng)，他之所以持這種態(tài)度，是基于算術(shù)能通過機(jī)器來運(yùn)算這一事實(shí)。
由于學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的影響，這些權(quán)威性的論斷和流行的看法，竟被認(rèn)為是正確的!但是一般人忽視數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)仍然是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧。這些技巧只不過是它微不足道的方標(biāo)題是本文譯者加的，副標(biāo)題為原標(biāo)題面：它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫一樣。
技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一定的了解，就會(huì)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。
因此，讓我們看一看20世紀(jì)人們對(duì)這門學(xué)科的態(tài)度。首先，數(shù)學(xué)主要是一種尋求眾所周知的公理法思想的。這種方法包括明確地表述出將要討論的概念的定義，以及準(zhǔn)確地表述出作為推理基礎(chǔ)的公設(shè)。具有極其嚴(yán)密的邏輯思維能力的人從這些定義和公設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出結(jié)論。數(shù)學(xué)的這一特征由17世紀(jì)一位著名的作家在論及數(shù)學(xué)和科學(xué)時(shí)，以某種不同的方式表述過：“數(shù)學(xué)家們像戀人?！姓J(rèn)一位數(shù)學(xué)家的最初的原理，那么他由此將會(huì)推導(dǎo)出你也必須承認(rèn)的另一結(jié)論，從這一結(jié)論又推導(dǎo)出其他的結(jié)論?！?/p>
僅僅把數(shù)學(xué)看作一種探求的方法，就如同把達(dá)?芬奇“最后的晚餐”看作是畫布上顏料的組合一樣。數(shù)學(xué)也是一門需要?jiǎng)?chuàng)造性的學(xué)科。在預(yù)測(cè)能被證明的時(shí)，和構(gòu)思證明的方法時(shí)一樣，數(shù)學(xué)家們利用高度的直覺和想象。例如，牛頓和開普勒就是極富于想象力的人，這使得他們不僅打破了長期以來僵化的傳統(tǒng)，而且建立了新的、革命性的概念。在數(shù)學(xué)中，人的創(chuàng)造能力運(yùn)用的范圍，只有通過檢驗(yàn)這些創(chuàng)造本身才能決定。有些創(chuàng)造性成果將在后面討論，但這里只需說一下現(xiàn)在這門學(xué)科已有八十多個(gè)廣泛的分支就夠了。
如果數(shù)學(xué)的確是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，那么驅(qū)使人們?nèi)プ非笏膭?dòng)力是什么呢?數(shù)學(xué)最明顯的、盡管不一定是最重要的動(dòng)力是為了解決因需要而直接提出的。商業(yè)和金融事務(wù)、航海、歷法的、橋梁、水壩、教堂和宮殿的建造、作戰(zhàn)武器和工事的設(shè)計(jì)，以及許多其他的人類需要，數(shù)學(xué)能對(duì)這些問題給出最完滿的解決。在我們這個(gè)工程，數(shù)學(xué)被當(dāng)作普遍工具這一事實(shí)更是毋庸置疑。數(shù)學(xué)的另外一個(gè)基本作用(的確，這一點(diǎn)在現(xiàn)代特別突出)，那就是提供現(xiàn)象的合理結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的概念、方法和結(jié)論是物的基礎(chǔ)。這些學(xué)科的成就大小取決于它們與數(shù)學(xué)結(jié)合的程度。數(shù)學(xué)已經(jīng)給互不關(guān)聯(lián)的事實(shí)的干枯骨架注入了生命，使其成了有聯(lián)系的有機(jī)體，并且還將一系列彼此脫節(jié)的觀察研究納入科學(xué)的實(shí)體之中。
智力方面的好奇心和對(duì)純思維的強(qiáng)烈興趣，激勵(lì)許多數(shù)學(xué)家研究數(shù)的性質(zhì)和幾何圖形，并且取得了富有創(chuàng)造性的成果。今天很受重視的概率論，就開始于牌賭中的一個(gè)問題——一場(chǎng)賭博在結(jié)束之前就被迫中止了，那么賭注如何分配才合理?另外一個(gè)與社會(huì)需要或科學(xué)沒有什么聯(lián)系的最突出的成就，就是由古代希臘人創(chuàng)造出來的，他們把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變成了抽象的、演繹的和公理化的思想系統(tǒng)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)科中一些最偉大的成就——射影幾何、數(shù)論、超窮數(shù)和非歐幾何，這里我只提到我們將要討論的內(nèi)容——都是為了解決純智力的挑戰(zhàn)。
進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要的趨策力是對(duì)美的追求。羅素，這位抽象數(shù)學(xué)思想的大師曾直言不諱地說：數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的才能顯示的那種完美的境地。一種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識(shí)——這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里得到。
除了完善的結(jié)構(gòu)美以外，在證明和得出結(jié)論的過程中，運(yùn)用必不可少的想象和直覺也給創(chuàng)造者提供了高度的美學(xué)上的滿足。如果美的組成和藝術(shù)作品的特征包括洞察力和想象力，對(duì)稱性和比例、簡潔，以及精確地適應(yīng)達(dá)到目的的手段，那么數(shù)學(xué)就是一門具有其特有完美性的藝術(shù)。
盡管已清楚地表明，上述所有因素推動(dòng)了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和，但是依然存在許多錯(cuò)誤的觀點(diǎn)。有這樣的指責(zé)(經(jīng)常是用來為對(duì)這門學(xué)科的忽視作辯解的)，認(rèn)為數(shù)學(xué)家們喜歡沉湎于毫無意義的臆測(cè);或者認(rèn)為數(shù)學(xué)家們是笨拙和毫無用處的夢(mèng)想家。對(duì)這種指責(zé)，我們可以立刻作出使其無言以對(duì)的駁斥。事實(shí)證明，即使是純粹抽象的，更不用說由于和工程的需要而進(jìn)行的研究了，也是有極大用處的。圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)自被發(fā)現(xiàn)二干多年來，曾被認(rèn)為不過是“富于思辨頭腦中的無利可圖的娛樂”，可是最終它卻在天文學(xué)、仿射運(yùn)動(dòng)和萬有引力定律中發(fā)揮了作用。
另一方面，一些“具有頭腦”的作家斷言：數(shù)學(xué)完全或者主要是由于實(shí)際需要，如需要建筑橋梁、制造雷達(dá)和飛機(jī)而產(chǎn)生或發(fā)展的。這種斷言也是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)已經(jīng)使這些對(duì)人類方便有用的東西成為可能，但是偉大的數(shù)學(xué)家在進(jìn)行思考和研究時(shí)卻很少把這些放在心上。有些人對(duì)實(shí)際漠不關(guān)心，這可能是因?yàn)樗麄兂晒膽?yīng)用在幾百年后才實(shí)現(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖的唯心主義數(shù)學(xué)玄想，比起貨棧職員采用“+”號(hào)和“一”號(hào)的實(shí)際行動(dòng)來(這曾使某一作家深信“數(shù)學(xué)史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)乃是由日常的社會(huì)活動(dòng)所致”)，所作的貢獻(xiàn)要大得多。確實(shí)，幾乎每一個(gè)偉大的人物所考慮的都是他那個(gè)的，流行的觀點(diǎn)會(huì)制約和限制他的思想。如果牛頓早生二百年，他很有可能會(huì)成為一位出色的神學(xué)家。偉大的思想家追求時(shí)代智力風(fēng)尚，就如同婦女在服飾上趕時(shí)髦一樣。即使是把數(shù)學(xué)作為純粹業(yè)余愛好的富有創(chuàng)造性的天才，也會(huì)去研究令專業(yè)數(shù)學(xué)家和科學(xué)家感到十分激動(dòng)的問題。但是，那些“業(yè)余愛好者”和數(shù)學(xué)家們一般并不十分關(guān)心他們工作的實(shí)用價(jià)值。
實(shí)用的、科學(xué)的、美學(xué)的和的因素，共同促進(jìn)了數(shù)學(xué)的形成。把這些做出貢獻(xiàn)、產(chǎn)生的因素中的任何一個(gè)除去，或者抬高一個(gè)而去貶低另外一個(gè)都是不可能的，甚至不能斷定這些因素中誰具有相對(duì)的重要性。一方面，對(duì)美學(xué)和哲學(xué)因素作出反應(yīng)的純粹思維，決定性地塑造了數(shù)學(xué)的特征，并且作出了像歐氏幾何和非歐幾何這樣不可超越的貢獻(xiàn)。另一方面，數(shù)學(xué)家們登上純思維的頂峰不是靠他們自己一步步攀登，而是借助于社會(huì)力量的推動(dòng)。如果這些力量不能為數(shù)學(xué)家們注入活力，那么他們就立刻會(huì)身疲力竭;然后他們就僅僅只能維持這門學(xué)科處于孤立的境地。雖然在短時(shí)期內(nèi)還有可能光芒四射，但所有這些成就會(huì)是曇花一現(xiàn)。
數(shù)學(xué)的另一個(gè)重要特征是它的符號(hào)語言。如同音樂利用符號(hào)來代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和空間形式。與日常講話用的語言不同，日常語言是習(xí)俗的產(chǎn)物，也是社會(huì)和運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)語言則是慎重地、有意地而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的、憑借數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)密性和簡潔性，數(shù)學(xué)家們就可以表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想，這些思想如果用普通語言表達(dá)出來，就會(huì)顯得冗長不堪。這種簡潔性有助于思維的效率。J．K．杰羅姆(J．K．Jerome)，為了需要求諸于代數(shù)符號(hào)，在下面一段描寫中，盡管與數(shù)學(xué)無關(guān)，卻清楚地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性和明了性：
當(dāng)一個(gè)12世紀(jì)的青年墮入情網(wǎng)時(shí)，他不會(huì)后退三步，看著他心愛的姑娘的眼睛，對(duì)他說她是世界上最漂亮的人兒。他說他要冷靜下來，仔細(xì)考慮這件事。如果他在外面碰上一個(gè)人，并且打破了他的腦袋——我指另外一個(gè)人的腦袋——于是那就證明了他的——前面那個(gè)小伙子——姑娘是個(gè)漂亮姑娘。如果是另外一個(gè)小伙子打破了他的腦袋——不是他自己的，你知道，而是另外那個(gè)人的——對(duì)第二個(gè)小伙子來說的另外一個(gè)。因?yàn)榱硗庖粋€(gè)小伙子只是對(duì)他來說是另外一個(gè)，而不是對(duì)前面那個(gè)小伙子——那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘——不是另外一個(gè)小伙子，而是那個(gè)小伙子，他……。瞧：如果A打破了月B腦袋，那么A的姑娘是一個(gè)漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個(gè)漂亮的姑娘，而B的姑娘是一個(gè)漂亮的姑娘。
簡潔的符號(hào)能夠使數(shù)學(xué)家們進(jìn)行復(fù)雜的思考時(shí)應(yīng)付自如，但也會(huì)使門外漢聽數(shù)學(xué)討論如墜五里云霧。
數(shù)學(xué)語言中使用的符號(hào)十分重要，它們能區(qū)別日常語言中經(jīng)常引起混亂的意義。例如，中使用“is”一詞時(shí)，就有多種不同的意義。在“他在這兒”(Heishere)這個(gè)句子中，“is”就表示一種物理位置。在“天使是白色的”(Anangeliswhite)這個(gè)句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無關(guān)的屬性。在“那個(gè)人正在跑”(manisrunning)這個(gè)句子中，這個(gè)詞"is”表示的是動(dòng)詞時(shí)態(tài)。在“二加二等于四"(TwoandTwoarefour)這個(gè)句子中，is的形式被用于表示數(shù)字上的相等。在“人是兩足的能思維的哺乳動(dòng)物”(Menarethetwo—leggedthinkingmammals)這個(gè)句子中，is的形式被用來斷言兩組之間的等同。當(dāng)然，在一般日常會(huì)話中引用各種各樣不同的詞來解釋is的所有這些意義，不過是畫蛇添足，因?yàn)楸M管有這些意義上的混亂，人們也不會(huì)因此產(chǎn)生什么誤會(huì)。但是，數(shù)學(xué)的精確性——它與和的精確性一樣，要求數(shù)學(xué)領(lǐng)域的者們更加謹(jǐn)慎。
數(shù)學(xué)語言是精確的，它是如此精確，以致常常使那些不習(xí)慣于它特有形式的人覺得莫名其妙。如果一個(gè)數(shù)學(xué)家說：“今天我沒看見一個(gè)人”(Ididnotseeonepersontoday)，那么他的意思可能是他要么一個(gè)人也沒看見，要么他看見了許多人。一般人則可能簡單地認(rèn)為他一個(gè)人也沒看見。數(shù)學(xué)的這種精確性，在一個(gè)還沒有認(rèn)識(shí)到它對(duì)于精密思維的重要性的人看來，似乎顯得過于呆板，過于拘泥于形式。然而任何精密的思維和精確的語言都是不可分割的數(shù)學(xué)風(fēng)格以簡潔和形式的完美作為其目標(biāo)，但有時(shí)由于過分地拘泥于形式上的完美和簡潔，以致喪失了精確竭力要達(dá)到的清晰。假定我們想用一般術(shù)語表述圖1所示的，我們很有可能說：“有一個(gè)直角三角形，畫兩個(gè)以該三角形的直角邊作為其邊的正方形，然后再畫一個(gè)以該三角形斜邊作為其邊的正方形，那么第二個(gè)正方形的面積就等于前面兩個(gè)正方形面積之和?！钡菦]有一個(gè)數(shù)學(xué)家會(huì)用這樣的方式來表達(dá)自己的想法。他會(huì)這樣說：“直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這種簡潔的用詞使表述更為精煉，而且這種數(shù)學(xué)表達(dá)式具有重要的意義，因?yàn)樗拇_是言簡意賅。還有，由于這種惜墨如金的做法，任何數(shù)學(xué)的讀者有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的耐心受到了極大的考驗(yàn)。
數(shù)學(xué)不僅是一種、一門或一種語言。數(shù)學(xué)更主要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識(shí)體系，其內(nèi)容對(duì)科學(xué)家、科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時(shí)著家和神學(xué)家的學(xué)說;滿足了人類探索宇宙的好奇心和對(duì)美妙的冥想;甚至可能有時(shí)以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著的進(jìn)程。
數(shù)學(xué)是一門知識(shí)體系，但是它卻不包含任何真理。與之相反的觀點(diǎn)卻認(rèn)為數(shù)學(xué)是無可辯駁的真理的匯集，認(rèn)為數(shù)學(xué)就像是信仰《圣經(jīng)》的教徒們從上帝那兒獲得最后的啟示錄一樣，這是一個(gè)難以消除的、流傳甚廣的謬論。直到1850年為止，甚至數(shù)學(xué)家們也贊同這種謬論。幸運(yùn)的是，19世紀(jì)發(fā)生的一些數(shù)學(xué)事件(這些我們隨后將進(jìn)行討論)向這些數(shù)學(xué)家表明，這種看法是錯(cuò)誤的。在這門學(xué)科中沒有真理，而且在它的一些分支中的定理與另外一些分支中的定理是矛盾的。例如，上個(gè)世紀(jì)創(chuàng)立的幾何中所確定的一些定理，與歐幾里得在他的幾何學(xué)中所證明的定理就是矛盾的。盡管沒有真理，數(shù)學(xué)卻一直給予了人類征服自然的神奇的力量。解決人類思想史上這個(gè)最大的悖論將是我們所關(guān)注的課題之一。
由于20世紀(jì)必須將數(shù)學(xué)知識(shí)與真理區(qū)分開，因此也必須將數(shù)學(xué)與區(qū)分開，因?yàn)榭茖W(xué)確在尋求關(guān)于物質(zhì)世界的真理。然而數(shù)學(xué)卻無疑地是科學(xué)的燈塔，而且還繼續(xù)幫助科學(xué)獲得在文明中所占的位置。我們甚至可以正確地宣稱，正是由于有了數(shù)學(xué)，現(xiàn)代科學(xué)才取得了輝煌的成就。但是我們將會(huì)看到，這兩個(gè)領(lǐng)域有著明顯的區(qū)別。
在最廣泛的意義上說，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地人類的物質(zhì)、道德和生活;試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的;努力去理解和控制;盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。在本書中，我們最為關(guān)心的將是這種精神的作用。
數(shù)學(xué)還有一個(gè)更加典型的特征與我們的論述密切相關(guān)。數(shù)學(xué)是一棵富有生命力的樹，她隨著文明的興衰而榮枯。它從史前誕生之時(shí)起，就為自己的生存而斗爭，這場(chǎng)斗爭經(jīng)歷了史前的幾個(gè)世紀(jì)和隨后有文字記載的幾個(gè)世紀(jì)，最后終于在肥沃的希臘土壤中扎穩(wěn)了生存的根基，并且在一個(gè)較短的時(shí)期里茁壯成長起來了。在這個(gè)時(shí)期，它綻出了一朵美麗的花——?dú)W氏幾何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔細(xì)觀察，還可以看到三角和代數(shù)學(xué)的雛形;但是這些花朵隨著希臘文明的衰亡而枯萎了，這棵樹也沉睡了一千年之久。
這就是數(shù)學(xué)那時(shí)的狀況。后來這棵樹被移植到了歐洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又獲得了在古希臘頂峰時(shí)期曾有過的旺盛的生命力，而且準(zhǔn)備開創(chuàng)史無前例的光輝燦爛的前景。如果我們將17世紀(jì)以前所了解的數(shù)學(xué)稱為初等數(shù)學(xué)，那么我們能說，初等數(shù)學(xué)與從那以后創(chuàng)造出的數(shù)學(xué)相比是徽不足道的。事實(shí)上，一個(gè)人擁有牛頓處于頂峰時(shí)期所掌握的知識(shí)，在今天不會(huì)被認(rèn)為是一位數(shù)學(xué)家。因?yàn)榕c普通的觀點(diǎn)相反，現(xiàn)在應(yīng)該說數(shù)學(xué)是從微積分開始，而不是以之為結(jié)束。在我們這個(gè)世紀(jì)，這門學(xué)科已具有非常廣泛的，以致沒有任何數(shù)學(xué)家能夠宣稱他已精通全部數(shù)學(xué)。
數(shù)學(xué)的這幅素描，盡管簡略，但卻表明數(shù)學(xué)的生命力正是根植于養(yǎng)育她的文明的社會(huì)生活之中。事實(shí)上，數(shù)學(xué)一直是文明和文化的重要組成部分，因此許多歷史學(xué)家通過數(shù)學(xué)這面鏡子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典時(shí)期的古希臘文化為例，它大約從公元前600年延續(xù)到公元前300年。由于古希臘數(shù)學(xué)家強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的推理以及由此得出的結(jié)論，因此他們所關(guān)心的并不是這些成果的實(shí)用性，而是人們?nèi)ミM(jìn)行抽象的推理，和激發(fā)人們對(duì)理想與美的追求。因此，看到這個(gè)具有很難為后世超越的優(yōu)美文學(xué)，極端理性化的，以及理想化的建筑與雕刻，也就不足為奇了。
數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的缺乏也表現(xiàn)在一個(gè)時(shí)代文明的文化里，這一點(diǎn)也是真實(shí)的?？纯戳_馬的情況吧。在數(shù)學(xué)史上，羅馬人在一定時(shí)期內(nèi)曾作出過貢獻(xiàn)，但從那以后他們就開始停滯不前了。阿基米德，最偉大的古希臘數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，在公元前221年被突然闖入的羅馬士兵殺害了，當(dāng)時(shí)他正在畫在沙盤中的幾何圖形。對(duì)此，A．N．懷特海(AlfredNorthWhitehead)說過：阿基米德死于一個(gè)羅馬士兵之手，是一個(gè)世界發(fā)生頭等重要變化的標(biāo)志;愛好抽象科學(xué)、善長推理的古希臘在歐洲的霸主地位，被重實(shí)用的羅馬取代了。洛德?比肯斯菲爾德(LordBeaconsfield)，在他的一部小說中，曾把重實(shí)用的人稱為是重復(fù)其先輩錯(cuò)誤的人。羅馬是一個(gè)偉大的民族，但是他們卻由于只重實(shí)用而導(dǎo)致了創(chuàng)造性的缺乏。他們沒有發(fā)展其祖先的知識(shí)，他們所有的進(jìn)步都局限于工程技術(shù)的細(xì)枝末葉。他們并不是那種能夠提出新觀點(diǎn)的夢(mèng)想家，這些新觀點(diǎn)能給人以更好地主宰自然界的力量。沒有一個(gè)羅馬人因?yàn)槌龄嫌跀?shù)學(xué)圖形而喪命。
事實(shí)上，西塞羅(Cicero)夸耀自己的同胞——感謝上帝——不是像希臘人一樣的夢(mèng)想家，而是把他們的數(shù)學(xué)研究派上實(shí)際用場(chǎng)的人。
一、表述教學(xué)法的結(jié)構(gòu)
運(yùn)用表述教學(xué)進(jìn)行教學(xué)，教師先向?qū)W生提供豐富的經(jīng)過精心加工編排的感性材料，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行充分的感知。然后把這些感性知識(shí)，運(yùn)用語言、操作、畫圖等方式，進(jìn)行比較集中的有序的表述。接下來，教師指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)新教材。在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生進(jìn)行初步練習(xí)。最后由教師進(jìn)行講解。概括地說，表述教學(xué)法的基本結(jié)構(gòu)，可以劃分為五個(gè)階段，即感知階段表述階段自學(xué)階段練習(xí)階段講解階段。
下面，我們結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)例，對(duì)表述教學(xué)法五個(gè)教學(xué)階段，做一些簡要的介紹。
教材內(nèi)容：菜店運(yùn)來豆角140千克，運(yùn)來黃瓜的重量是豆角的3倍。運(yùn)來豆角和黃瓜一共多少千克？（六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第五冊(cè)第44頁例3）
第一，感知階段。向?qū)W生出示圖（1）
（附圖{圖}）
啟發(fā)學(xué)生觀察思考：蘿卜的重量是白菜的幾倍？你能把蘿卜的重量計(jì)算出來嗎？怎樣計(jì)算？
出示圖（2）：
（附圖{圖}）
啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)觀察思考：圖中提出了一個(gè)什么問題？這個(gè)問題怎么解答呢？
出示圖（3）
（附圖{圖}）
提問：把這幅圖與前面兩幅圖進(jìn)行比較，哪些內(nèi)容相同？哪些內(nèi)容發(fā)生了變化？誰能根據(jù)這幅圖編出一道應(yīng)用題呢？出示所編的題目：
食堂買來30千克白菜，買來蘿卜的重量是白菜的4倍。買來白菜和蘿卜一共多少千克？
接著指導(dǎo)學(xué)生以題為主，題圖對(duì)照，進(jìn)行深入分析。
（1）這道題的問題是什么？
（2）最基本的算法是什么呢？（或者問，只用一步把問題算出來，該怎么算呢？或者問，知道了哪兩個(gè)條件，就可以把問題直接算出來呢？）
（3）根據(jù)題中所給的條件，能用一步計(jì)算把問題直接算出來嗎？
（4）需要先算出哪個(gè)數(shù)量？
（5）下一步該怎么算呢？
在老師的啟發(fā)下，學(xué)生依靠表象，對(duì)題目的數(shù)量關(guān)系以及計(jì)算方法有了正確的理解，感知階段基本結(jié)束，開始轉(zhuǎn)入第二個(gè)階段。
第二，表述階段。這是整個(gè)表述教學(xué)法的關(guān)鍵階段，要求學(xué)生把所感知的內(nèi)容，用自己的語言，進(jìn)行比較集中而又有系統(tǒng)的表述，以此為手段，促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的理解。在前面的感知階段，教師一邊引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，一邊將感知的重點(diǎn)內(nèi)容寫成如下板書：
（1）求什么？
（2）怎么算？（＝）
（3）能用一步計(jì)算直接算出來嗎？為什么？
（4）先算什么？
（5）再算什么？
我們把上面這種編排有序的題目，叫做表述題目，也叫表述提綱。利用表述提綱的導(dǎo)向作用，能使表述的難度大為降低，所以，就連中差生也能講得比較清楚和系統(tǒng)。
第三、自學(xué)階段。進(jìn)入自學(xué)階段，一般的做法是，利用小黑板或投影等手段，先由教師出示例題，盡量避免讓學(xué)生直接閱讀書上的例題，其用意在于將例題與題后的算理分析、算式解答等教材的內(nèi)容分開，以便收集和了解學(xué)生真實(shí)的反饋信息。教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立地進(jìn)行分析講解，因?yàn)檫@是對(duì)新知識(shí)能否理解的重要標(biāo)志，也是學(xué)生參與學(xué)習(xí)的重要過程。在講解之后，大家都想列出算式進(jìn)行具體的計(jì)算解答，都急于想獲得自學(xué)的“勞動(dòng)果實(shí)”，所以，教師應(yīng)及時(shí)組織學(xué)生解答題目。把題目算完以后，再讓學(xué)生打開課本閱讀教材，進(jìn)行自我對(duì)照和校正。要使學(xué)生明確，他們?cè)谧詫W(xué)階段的主要任務(wù)是，看一看自己理解的思路，與書上所解釋的是不是一致。自己表述的語句，有書上分析的那么準(zhǔn)確簡煉嗎？再看一看列式計(jì)算有什么差錯(cuò)沒有。如果有錯(cuò)誤，要求學(xué)生盡量做到自己去分析比較，找出原因并加以改正。
整個(gè)自學(xué)階段，可分四步進(jìn)行：（1）出示例題；（2）分析講解；（3）列式解答；（4）看書對(duì)照。通過自學(xué)，當(dāng)學(xué)生看到自己能夠“獨(dú)立”地解答問題時(shí)，成功的喜悅便會(huì)油然而生。這時(shí)，他們非常希望再做一些題目，證明他們真正把新知識(shí)學(xué)到手了。于是，轉(zhuǎn)入第四個(gè)階段的時(shí)機(jī)成熟了。
第四，練習(xí)階段。教師選擇書上的練習(xí)題（第44頁練習(xí)十六第1題），組織學(xué)生進(jìn)行書面練習(xí)。與此同時(shí)，也可以挑選上、中、差三類學(xué)生上講臺(tái)去板演，教師加強(qiáng)巡回觀察，了解學(xué)生對(duì)新知識(shí)掌握的情況。練習(xí)之后要組織學(xué)生進(jìn)行講解、討論和訂正，主要講解題目的數(shù)量關(guān)系和解題思路。對(duì)不同的解題方法，要啟發(fā)學(xué)生展開討論，或品評(píng)優(yōu)劣，或分辨正誤，使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解與掌握，得到進(jìn)一步的鞏固和提高。
總的來說，整個(gè)練習(xí)階段，是讓學(xué)生運(yùn)用剛學(xué)到的新知識(shí)，獨(dú)立地解答應(yīng)用題的過程，通過練習(xí)以及練習(xí)后的討論，教師能比較準(zhǔn)確地了解到哪些學(xué)生已經(jīng)真正理解并掌握了新知識(shí)，哪些學(xué)生還有“夾生飯”，這就給教師在下一步教學(xué)中，怎樣調(diào)查與補(bǔ)救提供了可靠的依據(jù)。
第五，教師講解。這是表述教學(xué)法的結(jié)尾階段。首先，要對(duì)學(xué)生們?cè)诰毩?xí)中獲得的學(xué)習(xí)成效，給予充分的肯定。其次，要對(duì)新授知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行歸納與整理。第三，對(duì)學(xué)生在練習(xí)階段出現(xiàn)的錯(cuò)誤，給予輔導(dǎo)和糾正，對(duì)易錯(cuò)、易混、易忘的問題，給以指點(diǎn)或強(qiáng)調(diào)，使已出現(xiàn)的錯(cuò)誤，消滅于萌芽之中，而對(duì)尚未出現(xiàn)又極易發(fā)生的差錯(cuò)，引起警覺，防患于未然?？傊?，教師的講解，既應(yīng)對(duì)本堂課的新知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，又應(yīng)為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)鋪平道路。
表述教學(xué)法的五個(gè)階段，是一個(gè)有機(jī)的整體，它構(gòu)成了表述教學(xué)法的基本框架。教學(xué)有法而又無定法，表述教學(xué)法的五個(gè)階段，根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)與不同的教學(xué)內(nèi)容和條件，是可以靈活調(diào)整或適當(dāng)增刪的。
二、表述教學(xué)法的特點(diǎn)
1、符合小學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。小學(xué)生的思維正處在以具體形象思維為主要形式向以抽象邏輯思維為主要形式逐步過渡的階段。對(duì)小學(xué)生來說，在這個(gè)過渡階段中，最好的媒價(jià)是什么呢？那就是客觀事物的具體形象；最主要的過渡渠道是什么呢？那就是引導(dǎo)學(xué)生利用多種感官對(duì)這些具體形象進(jìn)行綜合性的感知。我們以小學(xué)生特有的這種認(rèn)識(shí)規(guī)律和表述教學(xué)法的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理相對(duì)照比較，就會(huì)很容易地了解到，表述教學(xué)法是符合小學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律的。例如，教學(xué)這樣的應(yīng)用題：草地上有8只羊，又來了3只，一共有多少只羊？（義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第一冊(cè)第65頁第4題）教學(xué)中，先向?qū)W生出示模仿題的圖片：一塊草地上，有8只黑兔子在吃草。提問：草地上有幾只兔子？教師在圖片上又貼出3只白兔。提問：又跑來了幾只兔子？哪個(gè)小朋友能把看到的情況說一說？誰能按這幅圖的內(nèi)容提出一個(gè)問題來？我們從學(xué)生多種回答中，選出“一共有多少只兔子？”繼續(xù)進(jìn)行討論：“誰能把圖上的內(nèi)容和這個(gè)問題，連在一起說一說？”教師向?qū)W生強(qiáng)調(diào)指出：同學(xué)說的“草地上有8只黑兔，又跑來了3只白兔，一共有幾只兔子？”這幾句話，寫下來就是一道應(yīng)用題。提問：要算出一共有幾只兔子，應(yīng)該把哪兩個(gè)數(shù)合起來呢？（做“合”的手勢(shì)）用什么方法計(jì)算是“合”呢？（重復(fù)“合”的手勢(shì)）怎樣列式呢？接著引導(dǎo)學(xué)生由模仿題向書上的例題過渡：如果圖上畫的都是羊，你會(huì)列式計(jì)算嗎？然后讓學(xué)生看書上的例題，再進(jìn)行討論。
從上面簡單的敘述中，我們可以清楚地看出，表述教學(xué)法的主要教學(xué)程序，體現(xiàn)了一條這樣的線索：感知表象抽象。對(duì)于傳統(tǒng)的教學(xué)程序，可以說這是一種新的突破。正是由于它符合兒童的認(rèn)識(shí)規(guī)律，所以我們運(yùn)用表述教學(xué)法，能取得比較滿意的教學(xué)效果。
2、符合小學(xué)生的學(xué)習(xí)心理。小學(xué)生學(xué)習(xí)心理的特征是好奇、好勝、好動(dòng)、好問，運(yùn)用表述教學(xué)法，往往能比較好地滿足小學(xué)生這種心理趨向和要求，因此也就自然會(huì)收到良好的教學(xué)效果。例如，教學(xué)這樣一道題目：二年級(jí)一班有男生22人，女生18人，平均分成4組，每組有幾人？（六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第五冊(cè)第46頁例4）教師先組織學(xué)生進(jìn)行學(xué)具操作：每人擺兩堆小方木塊，一堆擺5塊，另一堆擺7塊。提問：要把這兩堆木塊分成4小堆，而且要使每小堆的塊數(shù)都一樣多，你們會(huì)分嗎？怎么分？動(dòng)手試試看。學(xué)生們對(duì)這類操作活動(dòng)很感興趣，當(dāng)學(xué)生把這兩堆木塊合在一起再進(jìn)行均分時(shí)，教師及時(shí)提問：這些木塊是怎么得到的？為什么要把原來的兩堆木塊并在一起呢？一共有多少塊？怎樣才能算出每小堆的塊數(shù)呢？具體的學(xué)具操作，能把求平均數(shù)的算理簡單明了地反映出來，給學(xué)生留下深刻的印象。
再比如講解長方體棱的概念，教師做切蘿卜的演示，學(xué)生們看得分外專注。先橫切一刀，問：被切開的地方出現(xiàn)了什么？（一個(gè)平面）再縱切一刀，問：又出現(xiàn)了什么？（又出現(xiàn)了一個(gè)平面）追問：仔細(xì)看一看，還出現(xiàn)了什么？（還出現(xiàn)了一條邊）這條邊是哪個(gè)面上的邊？（屬于兩個(gè)面共有的）它在什么地方？（兩個(gè)面相交的地方）教師告訴學(xué)生：在長方體上，像這樣的邊，它有個(gè)漂亮的名字－－棱。問：你們能把棱的含義說出來嗎？這時(shí)，學(xué)生對(duì)棱的概念將會(huì)有確切的理解。
在感知階段，我們可以利用圖片、線段圖、實(shí)物、學(xué)具、音像材料等多種直觀手段進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，這些方式富有兒童情趣，深受學(xué)生的喜愛。由此可見，表述教學(xué)法的成效，與兒童學(xué)習(xí)心理有著密切的聯(lián)系。
3、能充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。用現(xiàn)代教學(xué)論思想來分析，在教與學(xué)這一對(duì)矛盾中，學(xué)生是處于主導(dǎo)地位的。所以在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。只有這樣，才能讓學(xué)生變消極被動(dòng)地接受知識(shí)為積極主動(dòng)地獲取知識(shí)。
運(yùn)用表述教學(xué)法，從開始的感知階段，學(xué)生就會(huì)被生動(dòng)形象的教學(xué)內(nèi)容所吸引，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。在表述階段，他們需要開動(dòng)腦筋，積極主動(dòng)地把諸多感性材料“內(nèi)化”為“自己的知識(shí)”，進(jìn)而組織數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述。表述促使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，發(fā)生了“質(zhì)”的變化，為自學(xué)課本奠定了基礎(chǔ)。通過自學(xué)課本，學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，心中覺得更有“底數(shù)”了。所以會(huì)引起他們獨(dú)自解答問題的興趣，他們躍躍欲試，并充滿了信心。練習(xí)之后，他們又迫切希望得到教師的肯定和鼓勵(lì)?？傊?，運(yùn)用表述教學(xué)法，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生紿終處于主動(dòng)獲取知識(shí)的狀態(tài)，這正是讓學(xué)生參加到知識(shí)形成過程中的具體體現(xiàn)。
4、能有效地培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。有人說，未來的文盲不是沒有知識(shí)的人，而是不會(huì)學(xué)習(xí)的人。這話講得很好。我們的教學(xué)，不僅要讓學(xué)生“學(xué)會(huì)”，而且更重要的是要讓學(xué)生“會(huì)學(xué)”，這已是我們廣大教師的共識(shí)?？梢?，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力是整個(gè)教學(xué)改革的主要目的之一。
運(yùn)用表述教學(xué)法培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，效果十分明顯。感知階段，要善于培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察能力要連貫有序，盡量為學(xué)生進(jìn)行表述創(chuàng)造良好的輔助和分析推理能力。語言是思維的載體。常有這樣的情形，理解了的知識(shí)，不一定能講清楚，而能講清楚的知識(shí)，則一定是理解了的。這正如愛因斯坦所說：“一個(gè)人的智力發(fā)展和他形成概念的方法，在很大程度上是取決于語言的。”可見，表述訓(xùn)練是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展尤其是邏輯思維發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生能力和智力的重要途徑，也正是表述教學(xué)法的“強(qiáng)項(xiàng)”。
表述教學(xué)法還體現(xiàn)了讓學(xué)生先自學(xué)，先試練，教師后輔導(dǎo)，后講解的教學(xué)思想。就表述教學(xué)法的整體設(shè)計(jì)原理來講，就是一個(gè)自學(xué)體系。因此，長期運(yùn)用表述教學(xué)法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力是十分有利的。
5、能有效地提高中差生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。在中差生中，尤其是差生，他們學(xué)生上感到吃力，成績低下。究其原因，一是基礎(chǔ)差，即原有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)往往“殘缺不全”，形不成一個(gè)“健全”的網(wǎng)絡(luò)，所以在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，他們的“同化”與“順應(yīng)”能力很差。另一個(gè)原因是他們不知道怎樣去思考問題，不知道怎樣去自學(xué)課本。再看表述教學(xué)法，它能向?qū)W生提供大量的感性材料，不僅引起了他們的興趣與注意，還能有效地為他們?cè)O(shè)計(jì)出“低坡度”的學(xué)習(xí)途徑。比如在表述階段，講什么內(nèi)容，按怎樣的順序講，都有比較具體明確的要求，加之教師的啟發(fā)輔導(dǎo)，使差生感到“知道往哪兒去想”，“心理明白應(yīng)當(dāng)說些什么？表述教學(xué)法強(qiáng)調(diào)自學(xué)課本和當(dāng)堂獨(dú)立練習(xí)，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)程序，作業(yè)大多是在課堂上完成，消除了差生在課下抄襲別人作業(yè)的條件，這對(duì)培養(yǎng)差生的自學(xué)習(xí)慣，也是一種促進(jìn)。
三、運(yùn)用表述教學(xué)法應(yīng)注意的一些問題
首先，在感知階段，主要應(yīng)處理好以下幾點(diǎn)：（1）向?qū)W生提供的感性材料，一定要突出教材的重點(diǎn)和難點(diǎn)。例如教學(xué)這樣的題目：一個(gè)林場(chǎng)用噴霧器給樹噴藥，2臺(tái)噴霧器4小時(shí)噴100棵。照這樣計(jì)算，5臺(tái)噴霧器6小時(shí)可以噴多少棵？（六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第九冊(cè)第45頁例5）重點(diǎn)是要理解“照這樣計(jì)算”的具體含義是什么？究竟應(yīng)當(dāng)照什么樣的標(biāo)準(zhǔn)來計(jì)算呢？知道這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)后，又應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算呢？針對(duì)這個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，可以利用圖解示意的辦法，啟發(fā)學(xué)生觀察分析，這樣能夠收到較好的教學(xué)效果。（2）向?qū)W生出示的感性材料，要力求簡單、形象、生動(dòng)，目的是讓學(xué)生觀察后容易理解題中的數(shù)量關(guān)系；容易弄清題的算理與方法。（3）出示的例題，要和書上的例題基本相仿，為的是便于學(xué)生在自學(xué)課本時(shí)，能順利地進(jìn)行知識(shí)的正向遷移，獲得良好的自學(xué)效果。
在表述階段應(yīng)注意的問題是：（1）要向?qū)W生提供表述提綱，使學(xué)生明確需要對(duì)哪些內(nèi)容或哪幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行表述，提綱要少而精，語句要簡而明，排列條件。（2）指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行表述，可根據(jù)不同的教學(xué)要求，按以下幾個(gè)層次，有選擇地進(jìn)行：①每個(gè)學(xué)生按照表述提綱，以自問自答的方式進(jìn)行練習(xí)。②分成小組或同桌之間，互問互答。③教師提問，學(xué)生回答。④由一個(gè)學(xué)生按照表述提綱，從頭到尾進(jìn)行講解。⑤不用看表述提綱就能系統(tǒng)而又流暢地進(jìn)行分析講解。教師要鼓勵(lì)學(xué)生力爭達(dá)到最后兩種要求。（3）對(duì)學(xué)生的表述，要及時(shí)給予評(píng)價(jià)（初練時(shí)，要求不可太高，要逐步培養(yǎng)和鍛煉，要多加鼓勵(lì)與表揚(yáng)），要使學(xué)生意識(shí)到，這是一項(xiàng)必不可少的基本功。既要鼓勵(lì)學(xué)生用自己的話來進(jìn)行分析講解，更要鼓勵(lì)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言，表述出自己的見解來，在傳統(tǒng)的教學(xué)方法中，也有讓學(xué)生分析講解的要求，但是，從教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的角度來看，從內(nèi)容到質(zhì)量，從形式到時(shí)間，都缺乏明確的要求和具體的落實(shí)措施。我們?cè)谡n堂經(jīng)常見到的是少數(shù)優(yōu)等生為“主角”，進(jìn)行“表演式”的講解，中等生成了無足輕重的“配角”，差生幾乎是“聽眾”?，F(xiàn)在，從教學(xué)結(jié)構(gòu)上專門設(shè)計(jì)安排了表述這個(gè)階段，突出了表述的地位與作用，這對(duì)于克服上述缺陷，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的能力、抽象概括能力、邏輯思維能力等，都具有明顯的促進(jìn)作用。
在自學(xué)階段中，要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立地讀書學(xué)習(xí)。學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)猶如渡河，應(yīng)鍛煉他們自己學(xué)會(huì)鋪路、搭橋的本領(lǐng)，直達(dá)未知的彼岸。因此，在自學(xué)過程中，關(guān)鍵的問題是落實(shí)“真正的獨(dú)立”，要把這部分時(shí)間“完全”交給學(xué)生使用，力戒因不必要的擔(dān)心而向?qū)W生瑣碎地補(bǔ)充指導(dǎo)，要突出地強(qiáng)調(diào)個(gè)人看書鉆研，讓學(xué)生有充分的機(jī)會(huì)，憑借自己的能力去消化新的知識(shí)，自我建構(gòu)新的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。
在練習(xí)階段中，先讓學(xué)生做基本練習(xí)，從書上的練習(xí)中，選擇與例題的結(jié)構(gòu)基本相同的題目進(jìn)行初步練習(xí)，練習(xí)的數(shù)量要少，重點(diǎn)放在學(xué)懂學(xué)會(huì)方面。教師要注意收集分析學(xué)生在練習(xí)中反饋出來的各種信息，對(duì)于具有普遍性的問題，要及時(shí)給以點(diǎn)拔、輔導(dǎo)或糾正，對(duì)于少數(shù)差生，應(yīng)加強(qiáng)個(gè)別指導(dǎo)。
全日制義務(wù)教育新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶”，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生“在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！边@實(shí)際上從一個(gè)角度要求數(shù)學(xué)教師，要重視學(xué)生的認(rèn)知學(xué)習(xí)。但在實(shí)際教學(xué)中，還未重視認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究運(yùn)用。尤其到了復(fù)習(xí)階段，連續(xù)不斷的向?qū)W生發(fā)放復(fù)習(xí)試卷和機(jī)械地向?qū)W生布置復(fù)習(xí)題給予強(qiáng)化，以達(dá)到反應(yīng)結(jié)果。或者在平時(shí)教學(xué)中，讓學(xué)生死記一些結(jié)論，不注重“有意義的學(xué)習(xí)”。學(xué)生的學(xué)習(xí)似乎還停留在“S—R”階段。這種簡單的操作方法在短時(shí)間內(nèi)能使考試成績上去，但代價(jià)是學(xué)生沉重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，并造成學(xué)生思維僵化，不利于培養(yǎng)“發(fā)展型”人才，與素質(zhì)教育背道而馳。如學(xué)生對(duì)于絕對(duì)值概念，只知道│a│是a絕對(duì)值，而不明白它的真正內(nèi)涵。沒有通過學(xué)生生活中已建立起來的認(rèn)知概念與數(shù)學(xué)內(nèi)容的新認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行聯(lián)結(jié)。結(jié)果是造成對(duì)絕對(duì)值概念理解的是似而非。本文就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的聯(lián)結(jié)問題及導(dǎo)向策略上作一些探索。
二、關(guān)于聯(lián)結(jié)理論
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是什么過程？“人類的學(xué)是以一定的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)為前提，是在聯(lián)想的基礎(chǔ)上，更好地理解和掌握新知的?！雹贁?shù)學(xué)學(xué)習(xí)也不例外，這里的聯(lián)想即為知識(shí)的聯(lián)結(jié)過程。
關(guān)于聯(lián)結(jié)，理論上的研究，目前有兩大派別。一是以美國心理學(xué)家桑代克為代表的聯(lián)結(jié)主義的行為學(xué)習(xí)理論。二是以美國心理學(xué)家布魯納和奧蘇伯爾為代表的認(rèn)知學(xué)派學(xué)習(xí)理論。桑代克的主要觀點(diǎn)是，學(xué)習(xí)就是作嘗試錯(cuò)誤。如果把當(dāng)今的學(xué)習(xí)刺激設(shè)為S，學(xué)習(xí)反應(yīng)設(shè)為R，學(xué)習(xí)就是S—R的聯(lián)結(jié)過程。它是在動(dòng)物實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出的，是一種盲目的嘗試。通過不斷嘗試，出現(xiàn)錯(cuò)誤，不斷矯正，從中學(xué)會(huì)知識(shí)和技能。
而認(rèn)知學(xué)派認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是知覺的重新組合，這種知覺經(jīng)驗(yàn)變化過程不是簡單的“S—R”過程，而是突然的“頓悟”，強(qiáng)調(diào)“情景的整體關(guān)系”。而以美國心理學(xué)家托而曼為代表的觀點(diǎn)進(jìn)一步認(rèn)為，在S與R之間應(yīng)該有一個(gè)“中間變量”，即認(rèn)知和目的，學(xué)習(xí)是期待，就是對(duì)環(huán)境的認(rèn)知。因而，學(xué)習(xí)過程是一個(gè)S—O—R的過程。布魯納和奧蘇伯爾還把它進(jìn)行了發(fā)展為現(xiàn)代認(rèn)知理論，認(rèn)為“學(xué)習(xí)就是類目即及其編碼系統(tǒng)的形成。”②它不僅批評(píng)S—R直接、機(jī)械的聯(lián)結(jié)，而且提出學(xué)習(xí)存在一個(gè)認(rèn)識(shí)過程，是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重新組合。強(qiáng)調(diào)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用，也強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)材料本身的內(nèi)在聯(lián)系。把內(nèi)在聯(lián)系的材料和學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)起來，新舊知識(shí)發(fā)生作用，新材料在學(xué)生的頭腦中達(dá)成“內(nèi)化”，學(xué)會(huì)了對(duì)“S—O—R”中的“O”的捕捉，成為真正的意義的聯(lián)結(jié)，或者說學(xué)生對(duì)新材料有了深刻地理解和超越。
顯然，在不同的時(shí)代，上述理論對(duì)數(shù)學(xué)教育都有積極的貢獻(xiàn)。但時(shí)至今日，在數(shù)學(xué)教育中，我們不能不重視，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要的應(yīng)該是認(rèn)知學(xué)習(xí)，它是一個(gè)建立學(xué)生心理內(nèi)部學(xué)習(xí)機(jī)制的過程。這里要明白三點(diǎn)：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一要利用學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，二要重視學(xué)生一定年齡階段的心理發(fā)展水平，三要充分考慮不直接參與的情感、意志、興趣等問題。
三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩種聯(lián)結(jié)思想剖析
下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，說明“S—R”與認(rèn)知結(jié)構(gòu)連結(jié)之間的各自意義。
例：如圖，已知在O內(nèi)接ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，E是AC的延長線上一點(diǎn)，AE=AB，連結(jié)DE交O于P，延長ED交O于Q.求證：AP=AQ.
按“S—R”的行為主義聯(lián)結(jié)理論，可以讓學(xué)生直接操作。這時(shí)，學(xué)生可能不去仔細(xì)審題。由圖形“先入為主”，不斷嘗試，不斷碰壁，然后再回頭去審題。在點(diǎn)、線、角、三角形、圓的離散圖形中不斷產(chǎn)生錯(cuò)誤。偶而碰上解題思路，才得到問題的解決。之后，再不去認(rèn)識(shí)、總結(jié)。下次在碰上此題，又重新錯(cuò)誤嘗試。顯然，這樣的問題解決法，造成精力的極大浪費(fèi)，所學(xué)知識(shí)也難以鞏固。平時(shí)，我們老師經(jīng)常說：“此題我讓學(xué)生解過，還做不出！”原因在于“S—R”聯(lián)結(jié)不是“有意義的學(xué)習(xí)”，沒有找出新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，沒有建立學(xué)生的新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
而利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論思考，首先是認(rèn)真審題，進(jìn)入“上位學(xué)習(xí)”③，對(duì)自己提問：
1、見過這個(gè)問題嗎？見過與其類似的問題嗎？用到那些基礎(chǔ)知識(shí)？（圖類似？還是條件類似？還是結(jié)論類似？）
2、見過與之有關(guān)的問題嗎？（能利用它的某些部分嗎？能利用它的條件嗎？能利用它的結(jié)論嗎？引進(jìn)什么輔助條件，以便利用？）
以此，把原建立的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的全等三角形、圓周角性質(zhì)、等腰三角形的判定等舊知加以調(diào)運(yùn)。在此基礎(chǔ)上，使學(xué)生進(jìn)入“下位學(xué)習(xí)”④
然后，盯住目標(biāo)——始終盯住要證的結(jié)論AP=AQ。就是要明確方向，哪怕中間狀態(tài)不斷變化，但始終與目標(biāo)比較，及時(shí)調(diào)整自己的思路，建立“認(rèn)知地圖”⑤，以不迷失方向。其基本框架如下：
有什么方法能夠達(dá)到目標(biāo)？（1、達(dá)到的目標(biāo)的前提是什么？2、能實(shí)現(xiàn)其中的某個(gè)前提嗎？3、實(shí)現(xiàn)這個(gè)前提還應(yīng)該怎么辦？）
如上題，我們不妨采用逆向分析進(jìn)行探索。這是認(rèn)知策略的其中一條有效途徑：
AP=AQ（目標(biāo)）
∠AQP=∠APQ（前提）
以下為實(shí)現(xiàn)前提需找中間量，
即∠AQP=中間量=∠APQ.這時(shí),逆向分析無法進(jìn)行,此時(shí)一般就是添輔助線的時(shí)候,轉(zhuǎn)化圓周角∠AQP,連結(jié)BP,即有
∠AQP=∠ABP.
因此,只要證明∠ABP=∠APQ.
由于∠ABP=∠ABC+∠PBC,∠APQ=∠E+∠PAC,
而∠PBC=∠PAC,所以,只要證∠ABC=∠E,即證ABC≌AED.
(以下略)
這樣，學(xué)生在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)思維水平基礎(chǔ)上發(fā)展他的聯(lián)想思維，使新舊知識(shí)加以聯(lián)結(jié)，找到證題方法，達(dá)到解決問題，建立起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
因此，我們?cè)诮虒W(xué)中，一定要把精力化在建立學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的工夫上，善始善終加以引導(dǎo)。少用或不用“S—R”這種“嘗試錯(cuò)誤”的機(jī)械方法，多用科學(xué)成功的嘗試，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真尋求“中間變量”，努力使學(xué)生的新舊知識(shí)加以聯(lián)結(jié)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷提高。
四、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)聯(lián)結(jié)的教學(xué)策略
事實(shí)上就學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決，無論是數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)技能的掌握，還是數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，都是學(xué)習(xí)者由未知到已知的聯(lián)結(jié)過程，即“S—R”的聯(lián)結(jié)過程，重要的是尋求“中間變量O”，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所謂數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生通過自己主動(dòng)的認(rèn)識(shí)而在頭腦里建立起來的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。可以這樣說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的聯(lián)結(jié)過程，就是數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)的過程，學(xué)會(huì)自覺主動(dòng)的尋求“中間變量”。最終達(dá)到解決問題的目的的過程。那么，在這一過程中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)究竟有那些規(guī)律可循？說具體一點(diǎn)有那些主要途徑，這里談一些粗淺的認(rèn)識(shí)。
策略之一：以數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)
學(xué)習(xí)過程就其本質(zhì)而言是一種認(rèn)識(shí)活動(dòng)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，首先應(yīng)明確：數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是由數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來的；要建立學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，首先必須以數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，進(jìn)行開發(fā)、利用，從而轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。著重把握以下三個(gè)方面：
（1）加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體聯(lián)系。數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，各知識(shí)相互聯(lián)系，教學(xué)中教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的組織應(yīng)能促進(jìn)學(xué)生從前后聯(lián)系上下照應(yīng)的角度對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體性構(gòu)建從而在頭腦中形成經(jīng)緯交織的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這是一種“情景的整體關(guān)系”。對(duì)于一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)該感知有效的信息。如在本文第二部分的例題分析中提出的第1、第2個(gè)問題，就是尋求有效信息，找其聯(lián)結(jié)點(diǎn)；對(duì)于“準(zhǔn)類”的一塊知識(shí)，要注意縱向聯(lián)結(jié)。如函數(shù)，初一年級(jí)學(xué)習(xí)一次式、一元一次方程、二元一次方程組時(shí)，就要向?qū)W生滲透函數(shù)思想，初二學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)，要回首前面知識(shí)與函數(shù)的聯(lián)系，并在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，自然與二次函數(shù)聯(lián)結(jié)作準(zhǔn)備。到了初三，初中數(shù)學(xué)的“四個(gè)二次”（二次式、二次方程、二次不等式、二次函數(shù)）有機(jī)地綜合聯(lián)結(jié)；對(duì)于一章知識(shí)，要讓學(xué)生逐步自己小結(jié)，構(gòu)成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，輸入大腦，形成數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
（2）注意揭示數(shù)學(xué)思維過程。數(shù)學(xué)被稱為“思維的體操”，但是數(shù)學(xué)的思維價(jià)值和智力價(jià)值是潛在的，決不是自然形成的，也不是靠教師下達(dá)指令能創(chuàng)造出來的，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)精心創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生積極思維，其間應(yīng)注意兩個(gè)環(huán)節(jié)：①制造認(rèn)知沖突——充分揭示學(xué)生的思維過程，即使新的需要與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)水平之間產(chǎn)生認(rèn)知沖突。傳統(tǒng)的教學(xué)在教師分析討論解題時(shí)，往往思路理想化、技巧化、脫離學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，忽視了學(xué)生的思維活動(dòng)，導(dǎo)致學(xué)生一聽就懂，一做即錯(cuò)。學(xué)生無法達(dá)到真正的連結(jié)。為此，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)中，為了使學(xué)生聯(lián)結(jié)中，必須充分估計(jì)知識(shí)方面的缺陷和學(xué)的思維心理障礙，揭示他們的思維過程，從反面和側(cè)面引起學(xué)生的注意和思考，使他們?cè)诘教幣榔饋恚谡J(rèn)知沖突中加強(qiáng)聯(lián)結(jié)。②稚化自身思維——充分揭示教師的思維過程。即教師啟發(fā)引導(dǎo)要與學(xué)生的思維同步，切不可超前引路，越俎代皰。如果教師在教學(xué)中，對(duì)于各類問題，均能“一想即出，一做就對(duì)”，尤其是幾何證明題，輔助線新手拈來，或者把自己的解題過程直接拋給學(xué)生，使學(xué)生產(chǎn)生思維惰性，遇到新的問題情景，往往束手無策。只有通過教師的多種方式的啟發(fā)，稚化自身，象學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程一樣展開教學(xué)，把自己認(rèn)識(shí)問題的思維過程充分展示，接近學(xué)生的認(rèn)知?jiǎng)輵B(tài)，學(xué)生才能真正體會(huì)、感受到數(shù)學(xué)知識(shí)所包含的深刻的思維和豐富的智慧。③開發(fā)解題內(nèi)涵——充分揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的思維過程。在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)中，除了學(xué)生、教師的思維活動(dòng)外，還存在著數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)，即數(shù)學(xué)的發(fā)展思維過程。這種過程與經(jīng)過邏輯組織的理論體系是不同的。如果將課本內(nèi)容照搬到課堂上學(xué)生就無法領(lǐng)略到數(shù)學(xué)家精湛的思維過程。學(xué)生要吸取更多的營養(yǎng)，必須經(jīng)自身的探索去重新發(fā)現(xiàn)。這就需要教師幫助學(xué)生開發(fā)數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵，努力使學(xué)生的整理性思維方式變?yōu)樘剿餍运季S方式，有效地使學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
（3）有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法。所謂數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本觀點(diǎn)，它包括數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)思想是教學(xué)思維的“軟件”，是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生過程的提煉、抽象、概括和提升，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律更一般的認(rèn)識(shí)，它蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)知識(shí)之中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生去挖掘。而挖掘的過程就是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成的過程，也就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最佳連結(jié)過程。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思維的“硬件”，它們是數(shù)學(xué)知識(shí)不可分割的兩部分。如字母代數(shù)思想、集合映射思想、方程思想、因果思想、遞推思想、極限思想、參數(shù)思想、變換思想、分類思想等。數(shù)學(xué)方法包括一般的科學(xué)方法——觀察與實(shí)驗(yàn)、類比與聯(lián)想、分析與綜合、歸納與演繹、一般與特殊，還有具有數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的具體方法——配方法、換元法、屬性結(jié)合法、待定系數(shù)法等等Æ。這就要求在數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，必須注重?cái)?shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法的有機(jī)滲透，讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)問題或現(xiàn)象進(jìn)行分析、歸納、綜合、概括和抽象等。只有這樣，才能有助于學(xué)生一個(gè)活的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成?，F(xiàn)舉一例：
例：如圖，在線段AB上有三個(gè)點(diǎn)C1，C2，C3，問圖中有多少條線段？若線段AB上有99個(gè)點(diǎn)，則有多少條線段？AC1C2C3B
探索分析：①如果一條一條數(shù)，這是一種思想方法；②如果AB上有99個(gè)點(diǎn)就得另辟溪徑；③假如一開始要你對(duì)后一種比較復(fù)雜的情況作出回答，就必須回到簡單情況去考慮，這就是一般到特殊、簡單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法，也就是“以退求進(jìn)”的變換思想；
當(dāng)有1個(gè)點(diǎn)C1時(shí)，有線段AC1，AB，C1A，共有2+1=3條；
當(dāng)有2個(gè)點(diǎn)C1C2時(shí)，有線段AC1，AC2，AB，C1C2，C1B，C2B，共有3+2+1=6條；
當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)C1C2C3時(shí)，有線段AC1，AC2，AC3，AB，C1C2，C1C3，C1B，C2C3，C2B，C3B共有4+3+2+1=10條；
當(dāng)有99個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有線段100+99+98+……+3+2+1=5050條.
這里用到了重要的歸納思想。
策略之二：以學(xué)生的層次性出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)
一方面，認(rèn)知結(jié)構(gòu)總是在學(xué)生頭腦中進(jìn)行建構(gòu)的。學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的主動(dòng)性，自覺性是建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的精神力量；另一方面，認(rèn)知結(jié)構(gòu)總是不斷發(fā)生變化的，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)是構(gòu)建新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，新認(rèn)知結(jié)構(gòu)是原認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與完善。因此教師應(yīng)積極探索在課堂教學(xué)中根據(jù)學(xué)生實(shí)際按層次引導(dǎo)他們?nèi)?gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
（1）對(duì)整體水平較高的班級(jí)集體，由于學(xué)生有較豐富的知識(shí)積累，具有較強(qiáng)的形成“思維鏈”的能力，因而可采用快（教學(xué)節(jié)奏）、多（問題系列）、變（習(xí)題豐富多變）等思路進(jìn)行教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和獨(dú)創(chuàng)性。促進(jìn)以高效快速建構(gòu)。
（2）對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)和發(fā)展水平中等的班級(jí)集體，教師應(yīng)以課本為本，按教材本身的內(nèi)在邏輯有序地組織教學(xué)，理清知識(shí)體系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，注意方法指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力和應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。
（3）對(duì)整體水平較低的班級(jí)集體，重在考慮以下策略：①采用“小步子”方式循序漸進(jìn)，經(jīng)?！盎仡^觀望”，調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和內(nèi)容的難易度以符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)；②盡可能多地利用多種手段（例如：形象生動(dòng)的語言或多種教學(xué)媒體的輔助）激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生思維；③對(duì)學(xué)生因新舊知識(shí)銜接不良難以遷移時(shí)，及時(shí)制定有針對(duì)性的復(fù)習(xí)對(duì)策，通過提問、書面作業(yè)、補(bǔ)充輔導(dǎo)等幫助學(xué)生過渡，以取得整體水平的提高。現(xiàn)舉一例課堂實(shí)錄片段，特別適用數(shù)學(xué)整體水平較低的的學(xué)生：
例：課題——無理數(shù)。學(xué)生學(xué)了有理數(shù)后，不能有效地容納無理數(shù)概念，即學(xué)生用“同化”的過程形成新概念，只能通過“順應(yīng)”的過程達(dá)到無理數(shù)概念的形成。對(duì)于基礎(chǔ)較差的班級(jí)學(xué)生，若直接用“無盡不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)”死灌，感到抽象，學(xué)生難以理解。我們不妨用形象生動(dòng)的教學(xué)情景，從感知著手：教師上課進(jìn)教室，手拿一個(gè)骰子。上課開始，教師問學(xué)生：“這是一件什么東西？”學(xué)生感到詫異：“老師怎么把賭具拿到教師里來，這不是搓麻將用的嗎！”引起學(xué)生一片好奇心。接著教師把一位同學(xué)請(qǐng)到講臺(tái)前進(jìn)行拋骰子，教師作好記錄，黑板上跳出一串?dāng)?shù)：2.25361554261……，這時(shí)，教師問學(xué)生：“無盡的投下去，結(jié)果出現(xiàn)的數(shù)能循環(huán)出現(xiàn)嗎？”由于這是學(xué)生直接感知到的，又貼近實(shí)際，學(xué)生很自然地得出了無理數(shù)的概念。這是一種巧妙的聯(lián)結(jié)，是行之有效的策略。
總之，從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)本身不同層次學(xué)生來說，創(chuàng)設(shè)聯(lián)結(jié)的“最近發(fā)展區(qū)”，引導(dǎo)他們樂于構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)這一導(dǎo)向策略，體現(xiàn)了因材施教，因人施教的原則。
策略之三：以學(xué)生發(fā)展為目標(biāo)，使學(xué)生自主地構(gòu)建新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)
根據(jù)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)來構(gòu)思教學(xué)策略較好地解決了知識(shí)與能力的關(guān)系，但是，教學(xué)的根本問題乃是人的問題。面向二十一世紀(jì)的中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該看到：學(xué)生的學(xué)習(xí)主要不只是為適應(yīng)當(dāng)前的環(huán)境，而是為適應(yīng)今后發(fā)展的需要。從當(dāng)前看，學(xué)生的學(xué)習(xí)容易成為一個(gè)被動(dòng)的接受過程；從未來看，他們的學(xué)習(xí)又有待于發(fā)展到完全獨(dú)立而主動(dòng)的自學(xué)階段，因些，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點(diǎn)是要培養(yǎng)起獨(dú)立積極學(xué)習(xí)的態(tài)度和自我教育，自我發(fā)展的自主的、能動(dòng)的、創(chuàng)造性的能力。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立，最后歸根到底，不是依賴教師去建構(gòu)，更不是簡單的聯(lián)結(jié)，而是要求學(xué)生離開教師后，能自己主動(dòng)地建構(gòu)。因此以“人的發(fā)展”為主題，進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略的探討和構(gòu)思是一種趨勢(shì)。
“人的發(fā)展”是課堂教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，而課堂教學(xué)如何促進(jìn)人的發(fā)展呢？必須以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力為突破口，獨(dú)立學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是強(qiáng)調(diào)學(xué)生的獨(dú)立思考。傳統(tǒng)的教學(xué)模式是先教后學(xué)，即課堂教學(xué)在先，學(xué)生復(fù)習(xí)作業(yè)在后。然而獨(dú)立學(xué)習(xí)將這種天經(jīng)地義的教學(xué)關(guān)系（或順序）顛倒過來，先學(xué)后教，即學(xué)生首先必須獨(dú)立學(xué)習(xí)，然后再進(jìn)行課堂教學(xué)。在課堂教學(xué)中應(yīng)著重解決學(xué)生在獨(dú)立學(xué)習(xí)中遇到的問題。中央教科所盧仲衡先生倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)自學(xué)法、北京師范大學(xué)裴娣娜教授的自主發(fā)展性教學(xué)、上海華東師范大學(xué)葉瀾教授的“自主教學(xué)”、江蘇特級(jí)教師邱學(xué)華先生的嘗試教學(xué)法、江蘇洋思中學(xué)的“先練后學(xué)”教學(xué)模式等等，不失為使學(xué)生自覺構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效連結(jié)途徑。因此，此時(shí)的課堂教學(xué)是在獨(dú)立學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，其教學(xué)策略則應(yīng)側(cè)重在以下幾個(gè)方面：①通過檢查閱讀筆記和作業(yè)本以及課堂小測(cè)驗(yàn)或提問來了解學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的情況；②反映和解決學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)中存在的主要問題。關(guān)鍵在于教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)存在的問題進(jìn)行分析歸類，將大部分問題在分析過程中得以解決，小部分問題則通過質(zhì)疑，討論來解決；③教師應(yīng)充分尋找學(xué)生思維的閃光點(diǎn)，讓學(xué)生充分表現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)表自己的獨(dú)立見解。同時(shí)教師留心尋找學(xué)生的創(chuàng)見，作為深化課堂教學(xué)的契機(jī)，使全班同學(xué)共同受益。④小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，要求學(xué)生按照自己的思路的方法把小結(jié)內(nèi)容記入閱讀筆記。
小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備怎樣的教學(xué)語言素質(zhì)呢？
小學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)語言素質(zhì)包括以下兩方面的內(nèi)容：一是具備較高的文化知識(shí)素質(zhì)，它包括對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的深度，要想給學(xué)生一碗水，教師就要有一桶水。沒有廣博的知識(shí)，就不可能有科學(xué)的教學(xué)語言，就不可能吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力。前蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》一書中，在談教師的教育素養(yǎng)時(shí)寫道：“只有當(dāng)教師的知識(shí)視野比學(xué)校教學(xué)大綱寬廣得無可比擬的時(shí)候，教師才能成為教育過程真正的能手、藝術(shù)家和詩人?！?/p>
二是教師本身的素質(zhì)，一名教師只有文化知識(shí)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，教師是一個(gè)綜合能力比較強(qiáng)的職業(yè)。教師本身的素質(zhì)包括：1.表達(dá)能力；2.教態(tài)；3.說好普通話的能力；還有最為重要的就是：必須熱愛教師這個(gè)職業(yè)，必須熱愛學(xué)生。
一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)語言應(yīng)科學(xué)、嚴(yán)密
數(shù)學(xué)是科學(xué)性和邏輯性很強(qiáng)的一門學(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)好中學(xué)數(shù)、理、化的基礎(chǔ)，也是今后學(xué)好科學(xué)文化知識(shí)的基礎(chǔ)；因此，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)語言應(yīng)該是科學(xué)和嚴(yán)密的。
有的教師教學(xué)語言不夠科學(xué)，也不夠嚴(yán)密。例如：在教學(xué)“三角形的初步認(rèn)識(shí)”這節(jié)課時(shí)，當(dāng)教師對(duì)三角形下定義時(shí)，說：“由三條邊組成的圖形是三角形?！边@是不嚴(yán)密的，因?yàn)槿龡l邊組成的圖形可能是三條不相交的直線。這樣說才是正確的：“由三條邊圍成的圖形是三角形。”
有的教師在教學(xué)“長方形、正方形和平行四邊形的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課中，在比較長方形和正方形的異同點(diǎn)時(shí)，學(xué)生說，“相同點(diǎn)是長方形和正方形的四個(gè)角也都是直角；不同點(diǎn)是長方形的對(duì)邊相等，而正方形的四條邊都相等?！北容^異同點(diǎn)的目的是什么呢？教師不清楚，學(xué)生也就不清楚了。接下來教師一定要問：“長方形和正方形有什么關(guān)系呢？”可是教師沒有問，學(xué)生也不知道。正方形是特殊的長方形，也就是正方形包含在長方形中。接下來學(xué)平行四邊形，比較平行四邊形和長方形的異同點(diǎn)，相同點(diǎn)是對(duì)邊相等，不同點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)角不是直角，而長方形的四個(gè)角都是直角。最重要的是平行四邊形和長方形有什么關(guān)系？長方形、正方形和平行四邊形有什么關(guān)系？教師沒有問。為什么把長方形、正方形和平行四邊形放在一起認(rèn)識(shí)，而不把長方形、三角形和圓放在一起認(rèn)識(shí)呢？因?yàn)殚L方形、正方形和平行四邊形有包含關(guān)系，正方形是特殊的長方形，長方形是特殊的平行四邊形，它們又都是特殊的四邊形，還可以畫一個(gè)示意圖。而這節(jié)課教師只講了這三種圖形都是四邊形，它們各自的特點(diǎn)，它們之間的異同點(diǎn)，它們之間的關(guān)系也是最重要的，教師沒有問，也沒有講。教師只有把舊知識(shí)和新知識(shí)聯(lián)系起來，教給學(xué)生一個(gè)完整的知識(shí)體系，這樣才能使學(xué)生頭腦中的知識(shí)形成一個(gè)完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這樣的知識(shí)才是完整的、科學(xué)的和嚴(yán)密的。
二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)語言應(yīng)準(zhǔn)確、精煉
有些教師不注意自己的教學(xué)語言，隨意性很大，例如，在教學(xué)“長方形、正方形和平行四邊形的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課中，復(fù)習(xí)一道判斷四個(gè)角是不是直角的題，教師出示的題目是“判斷出直角”，這話很不規(guī)范、很不準(zhǔn)確。應(yīng)該說，“判斷下面每個(gè)角，哪個(gè)是直角？”
有些教師就比較注意自己的教學(xué)語言，在課堂上語言比較精煉，沒有多余的話。在教學(xué)“三角形的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課中，教師問完好以后，接著說：“先拿三根小棒，圍一個(gè)圖形，誰愿意到前面來做？”單刀直入，開門見山，直入課題，沒有浪費(fèi)學(xué)生寶貴的時(shí)間。有的教師話就比較多，語言不夠精煉。問完好以后，她說：“今天，我們要在這里上一節(jié)數(shù)學(xué)課。大家看一下，教室里來了很多領(lǐng)導(dǎo)和老師，還有校長，希望同學(xué)們就象在自己班級(jí)上課一樣不要害怕，積極思考，主動(dòng)發(fā)言，讓領(lǐng)導(dǎo)和老師們看一看，好不好？”沒用的話，與這堂課的知識(shí)內(nèi)容沒有關(guān)系的話，請(qǐng)不要說，不要浪費(fèi)大家的時(shí)間，上課的時(shí)間多么寶貴，就40分鐘??！
三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)語言應(yīng)形象生動(dòng)、有啟發(fā)性
教師形象生動(dòng)的語言，帶有啟發(fā)性的語言，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)。例如：長春市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)鞠孟賢老師，在講“兩步計(jì)算應(yīng)用題”時(shí)，她把兩步計(jì)算應(yīng)用題中的間接條件，用一個(gè)非常形象的字“藏”來代替，她說：“這里還有一個(gè)條件，藏起來了，誰能把它找出來？”學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被這一生動(dòng)的字調(diào)動(dòng)起來了，他們都想自己找出來。
再如教師在講“小數(shù)的性質(zhì)”這節(jié)課中，教師上課的第一句話就說：“你們?nèi)ミ^商店買過學(xué)習(xí)用品嗎？”一句話就把學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣調(diào)動(dòng)起來了，因?yàn)橘I學(xué)習(xí)用品和他們的生活太貼近了。教師接著說：“文具盒5元，圓珠筆1元6角，你們會(huì)不會(huì)寫？”讓學(xué)生動(dòng)筆寫，這樣有兩種不同的寫法：5元，5.00元；1.6元，1.60元。教師又接著說：“同樣的錢為什么用不同的形式表示？你們想不想知道？”這誘人的加之親切的語言，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，全班學(xué)生都盯著教師想知道為什么。
我們聽過不少這樣的課，課堂氣氛沉悶，教師說的話很多，而且重復(fù)的話很多，多數(shù)學(xué)生沒有發(fā)言的機(jī)會(huì)，只有個(gè)別幾個(gè)“好”學(xué)生才有發(fā)言的機(jī)會(huì)，全班學(xué)生沒有動(dòng)起來，所以課堂氣氛沉悶。我們要求教師在課堂上，要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)地位，讓學(xué)生主動(dòng)的學(xué)習(xí)，主動(dòng)的獲得知識(shí)。教師在課堂上，應(yīng)提出一些啟發(fā)性的問題，尤其是在新舊知識(shí)的連接點(diǎn)上，讓學(xué)生積極思考，如果大多數(shù)學(xué)生沒有想出來，那么可以讓學(xué)生前后桌討論一下，讓全體學(xué)生都有發(fā)表自己意見的機(jī)會(huì)，這樣課堂氣氛絕不會(huì)沉悶了。
四、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)語言應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性
教師在課堂上，應(yīng)該經(jīng)常用一些鼓勵(lì)性的語言，使學(xué)生能夠自覺主動(dòng)的學(xué)習(xí)。例如，在講“一位數(shù)除三位數(shù)”的教學(xué)中，教師出示題：428÷2，教師說：“根據(jù)這道題的特點(diǎn)和一位數(shù)除兩位數(shù)的計(jì)算方法，你有勇氣獨(dú)立完成這道題嗎？”當(dāng)全班學(xué)生都做對(duì)時(shí)，教師又說：“你們真聰明！”這樣的語言對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性是很大的鼓舞和推動(dòng)，而且?guī)熒那楦械玫桨l(fā)展?！袄蠋煂?duì)我們真好，我可喜歡學(xué)數(shù)學(xué)了?！薄拔曳浅Ｔ敢鈱W(xué)數(shù)學(xué)?！?/p>
有很多教師愿意把學(xué)生分為好學(xué)生、中等學(xué)生和差學(xué)生，這是從學(xué)習(xí)成績來分的。但是，我們最好不要這樣分，這樣會(huì)傷他們自尊心的。我們不妨這樣分：對(duì)學(xué)習(xí)有興趣的，積極主動(dòng)學(xué)習(xí)的學(xué)生；對(duì)學(xué)習(xí)興趣不大，但比較聽話，老師讓我學(xué)，我就學(xué)，被動(dòng)學(xué)習(xí)的學(xué)生；再就是對(duì)學(xué)習(xí)一點(diǎn)興趣也沒有，或?qū)W習(xí)有困難的學(xué)生。學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，對(duì)學(xué)習(xí)不感興趣的學(xué)生和被動(dòng)學(xué)習(xí)的學(xué)生，有時(shí)會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)采取冷漠的態(tài)度，教師就要以滿腔的熱情去溫暖這些冷漠的心，讓他們逐漸解凍，恢復(fù)活力。
在課堂上，經(jīng)常會(huì)看到這樣的情景：當(dāng)一名學(xué)生正確的回答了教師提出的問題或一名平時(shí)不愛發(fā)言的學(xué)生把問題回答正確，教師會(huì)說：“同學(xué)們，鼓勵(lì)他！”全班同學(xué)會(huì)熱烈的、帶有節(jié)奏的鼓掌；有的老師還會(huì)用親切的語調(diào)說：“回答得非常好！”“李聰，今天表現(xiàn)得真好！”我想：就這樣一句話，會(huì)使這名同學(xué)全天都能愉快地學(xué)習(xí)，甚至，從此以后，他就非常喜歡數(shù)學(xué)了。
教育家赫洛克作了一個(gè)有名的實(shí)驗(yàn)，他把學(xué)生分成四個(gè)組，學(xué)習(xí)同一難度的內(nèi)容，第一組為受表揚(yáng)組，經(jīng)常受到表揚(yáng)，成績扶搖直上。第二組為受譴責(zé)組，責(zé)備經(jīng)常不斷，這些責(zé)備，開始起點(diǎn)作用，后來就“?！绷?，成績就持續(xù)下降。第三組為被忽視組，只是在一旁靜聽前兩組所受到的表揚(yáng)與譴責(zé)，自己既得不到直接的表揚(yáng)，也不遭受直接的譴責(zé)，學(xué)習(xí)成績比前兩組都差。第四組為控制組，既不給予任何表揚(yáng)與譴責(zé)，也不讓他們聽到對(duì)前兩組的表揚(yáng)與譴責(zé)，學(xué)習(xí)成績最差。由此赫洛克得出結(jié)論說：“獎(jiǎng)懲都是必要的，不給予獎(jiǎng)懲會(huì)引起學(xué)習(xí)下降，而獎(jiǎng)勵(lì)比懲罰對(duì)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用更大。
教師要善于表揚(yáng)學(xué)生，尤其是對(duì)學(xué)習(xí)沒有興趣的學(xué)生和學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生。有的老師會(huì)說，這樣的學(xué)生沒有優(yōu)點(diǎn)，怎么表揚(yáng)他呢？做一個(gè)細(xì)心的教師，只要發(fā)現(xiàn)學(xué)生有一點(diǎn)點(diǎn)進(jìn)步，那怕是微不足道的，你也應(yīng)該及時(shí)的表揚(yáng)他，鼓勵(lì)他，使他感到我也有優(yōu)點(diǎn)，我也能進(jìn)步。如上課時(shí)，當(dāng)你提出比較簡單的問題時(shí)，讓他回答，及時(shí)表揚(yáng)他、鼓勵(lì)他，“他回答得非常正確，進(jìn)步很大?！边€有的學(xué)生上課舉手發(fā)言，即使他回答錯(cuò)了，你也要鼓勵(lì)他，“看他能大膽發(fā)言了，雖然問題回答得不完全正確，但是他已有了很大的進(jìn)步，我相信下一次他一定能把問題回答正確?！睂?duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生或不愛發(fā)言的學(xué)生來說，老師能表揚(yáng)他、鼓勵(lì)他，他當(dāng)然非常高興，甚至非常自豪，由此他會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，會(huì)認(rèn)真的聽課，積極的發(fā)言，這樣他的學(xué)習(xí)成績會(huì)很快地提高。
五、教學(xué)語言要用標(biāo)準(zhǔn)的普通話，克服方言
有的教師一定要問：又不是語文課，數(shù)學(xué)課為什么還要用標(biāo)準(zhǔn)的普通話呢？我省有的地區(qū)普遍有地方口語，就是平翹舌分不清。如：14，他們發(fā)“十市”。我國很早以前就提倡說普通話，這里說的普通話是標(biāo)準(zhǔn)的普通話。我們到南方一些省市聽課，老師和學(xué)生們說的都是普通話，而且都很標(biāo)準(zhǔn)。我省有幾個(gè)地區(qū)有地方口語，要改變家鄉(xiāng)的面貌，首先從教師做起。教師說的不是標(biāo)準(zhǔn)的普通話，這樣會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。
教師發(fā)音是否準(zhǔn)確，也標(biāo)志著教師的業(yè)務(wù)水平。發(fā)音不夠準(zhǔn)確的教師，可以查字典，請(qǐng)教發(fā)音準(zhǔn)確的教師，師生之間可以及時(shí)糾正；學(xué)生發(fā)言時(shí)，如果發(fā)音不準(zhǔn)，老師和學(xué)生都可以及時(shí)糾正。
六、教師自然得體的教態(tài)是無聲的教學(xué)語言
教師的教態(tài)一般是指，教師的外表、說話的表情以及說話的語調(diào)等等。
教師的教態(tài)非常重要，我們一般要求教師表情親切，語調(diào)適中。教師笑盈盈地面龐，親切的目光，使學(xué)生感到老師可敬可親。這樣老師和學(xué)生之間的距離拉近了，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)、自覺地學(xué)習(xí)。遼源第一實(shí)驗(yàn)小學(xué)吳敏老師的教態(tài)就是非常自然的，她的聲音也非常美，聽她講課就是一種享受。而且她和學(xué)生的感情也很好，課堂氣氛很活躍，學(xué)生敢想敢說，他們不害怕老師，說錯(cuò)了，老師也不會(huì)批評(píng)他們，經(jīng)常這樣訓(xùn)練，學(xué)生的語言表達(dá)能力和思維能力都能得到提高。
還有吉林市第一實(shí)驗(yàn)小學(xué)陳曉梅老師，她的教態(tài)也非常自然得體。
我們也聽過一些這樣的課，教師板著面孔，說什么話，都是一種語調(diào)。語言沒有錯(cuò)誤，復(fù)習(xí)、新課、練習(xí)，一步是一步，課堂氣氛死氣沉沉，好象學(xué)生都在聽講，其實(shí)學(xué)生的思維已不知飛向何方了。
（一）
中學(xué)是大學(xué)的基礎(chǔ)，大學(xué)教育要想有一個(gè)好的開端，就必須提高中學(xué)教育的質(zhì)量和水平。就中學(xué)教師來說，人人都希望自己的教育與教學(xué)活動(dòng)能高效率，但這并非易事，它涉及到方方面面的諸多因素，如自己的工作能力、教育的大環(huán)境與小環(huán)境等主客觀原因，無論如何，學(xué)習(xí)、掌握、借鑒各種優(yōu)秀的教育、教學(xué)方法則是非常必要的。作為一名數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該了解國內(nèi)外先進(jìn)的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，找出各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，然后根據(jù)中學(xué)的實(shí)際情況，吸收他人教學(xué)方法的長處，使自己的教學(xué)更上一個(gè)新的臺(tái)階，從而促進(jìn)中學(xué)教學(xué)方法的不斷完善和發(fā)展。
國內(nèi)外中學(xué)數(shù)學(xué)施教的對(duì)象都是中學(xué)生，年齡段在13-18歲，心理發(fā)展階段屬于青少年期，他們具有相似的心理和認(rèn)知水平，教學(xué)內(nèi)容大同小異，所要達(dá)到的目標(biāo)和遵循的原則基本一致；正是由于在施教對(duì)象、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等方面具有共同性，因此中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在著可比性。比較中西方中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)有如下的相似之處：
(1)教學(xué)程序基本一致。各國中學(xué)數(shù)學(xué)講授新課基本上采用這樣的程序：老師提出問題，學(xué)生自學(xué)預(yù)習(xí)：學(xué)生在老師的指導(dǎo)下理解所學(xué)的內(nèi)容；鞏固所學(xué)的內(nèi)容；檢測(cè)所學(xué)的知識(shí)。
(2)講授法是各國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)普遍采用的基本方法。不論中國還是美國，或者西方其他發(fā)達(dá)國家，數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授基本上是以講授法為主，其他方法為輔助。
(3)普遍重視啟發(fā)式教學(xué)。第二次世界大戰(zhàn)后各國都進(jìn)行了程度不同的教學(xué)方法改革，中學(xué)教學(xué)也不例外。通過教育改革各國都重視如何提高學(xué)生素質(zhì)、培養(yǎng)能力的教學(xué)，尤其重視啟發(fā)式教學(xué)思想在學(xué)科教學(xué)中的應(yīng)用。①
從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際來看，我國的教學(xué)方法與西方發(fā)達(dá)國家的相比，存在著差別，主要表現(xiàn)在：
(1)教師與學(xué)生在教學(xué)過程中關(guān)系和作用不同。中國大部分的教學(xué)方法都是以老師為中心，有“重教輕學(xué)”的傾向，在教學(xué)過程中大都是采取灌輸式的教學(xué)方法。這主要是我國長期的應(yīng)試教育導(dǎo)致的。盡管我國的教育改革努力向素質(zhì)教育的方向發(fā)展，但由于中考、高考對(duì)學(xué)生的影響仍然很大，使得大多數(shù)學(xué)校教育自覺或不自覺地滑向了題海戰(zhàn)術(shù)、應(yīng)試教育。這樣的教學(xué)方法雖然有利于學(xué)生記住數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式，在一定程度上掌握了較深、較難的數(shù)學(xué)知識(shí)。但弊端是很明顯的，它不能很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，束縛了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。而國外特別是發(fā)達(dá)國家的教學(xué)方法重視學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)，注意探索學(xué)生的好奇心；多采用啟發(fā)式教學(xué)方法，注重應(yīng)用教育，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)展。在教學(xué)過程中講究自愿，學(xué)生享受學(xué)習(xí)的充分自由，學(xué)習(xí)比較輕松愉快。
數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生與老師的關(guān)系不同也造成教學(xué)氣氛有明顯的差異。發(fā)達(dá)國家中，老師和學(xué)生基本上是朋友關(guān)系，可以互相自由地交往、交流，教師在教學(xué)過程中起輔導(dǎo)提示的作用。課堂上老師有目的地讓學(xué)生討論，學(xué)生可以自由出入，有時(shí)老師甚至可以別出心裁地把課本搬到野外與學(xué)生們一起在明媚的陽光下、柔和的清風(fēng)中愉悅地學(xué)習(xí)。這種教學(xué)方法能促進(jìn)學(xué)生積極開動(dòng)腦筋，增加對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，減輕學(xué)生壓力，造成歡快的教學(xué)氣氛，但中國學(xué)生長期以來處于嚴(yán)格的課堂管理中，強(qiáng)調(diào)教室、強(qiáng)調(diào)自己的座位，老師也不敢放開，擔(dān)心過分放松，會(huì)造成課堂上活潑有余、嚴(yán)肅不足和自由散漫的混亂場(chǎng)面，因?yàn)閷W(xué)習(xí)到底不是娛樂。同時(shí)由于中國傳統(tǒng)思想習(xí)慣不同，在嚴(yán)重“尊師”思想的影響下造成了老師與學(xué)生之間存在不可逾越的“鴻溝”，在教學(xué)過程中教師往往過分嚴(yán)肅，學(xué)生過分緊張，再加上數(shù)學(xué)不同于文科，故事性的內(nèi)容少，更加使學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣，學(xué)生很容易感到疲憊懈怠，致使一部分學(xué)生特別是差生把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)成是服“若役”。
(2)對(duì)培養(yǎng)能力與個(gè)性發(fā)展的重視程度不同。在發(fā)達(dá)國家中強(qiáng)調(diào)個(gè)性的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生自由發(fā)展，因而分層次個(gè)體教學(xué)方法使用得比較多。比如他們?cè)诮谈闹刑岢龅姆菍W(xué)校論的教學(xué)方法，及計(jì)算機(jī)程序教學(xué)法（把所要學(xué)的知識(shí)編成程序，讓學(xué)生面對(duì)計(jì)算機(jī)自學(xué)）。這些方法強(qiáng)調(diào)自學(xué)，注重因材施教，能較好地培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力，滿足不同學(xué)生學(xué)習(xí)的需要。但這樣的教學(xué)方法也存在一定的弊端，如使學(xué)生很少聽到老師主動(dòng)的講解，難以與同學(xué)進(jìn)行互相幫助，互相影響；此外使學(xué)生很少接觸到課本以外的數(shù)學(xué)知識(shí)，影響學(xué)生的社會(huì)化。我國一般采用的教學(xué)方法大多是集中型吃“大鍋飯”的統(tǒng)一的教學(xué)。這樣的教學(xué)方法雖然有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)，有利于教師全面考慮、統(tǒng)籌安排，教師易于把握節(jié)奏。但是容易造成優(yōu)差生的嚴(yán)重分化，教學(xué)沒有針對(duì)性，不利于因材施教，實(shí)際上忽視了個(gè)性的差異。
在國外的數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重對(duì)學(xué)生的了解和溝通。如美國一些學(xué)校使用的教學(xué)日記法，學(xué)生以日記的形式記錄教學(xué)中的思維過程、心理狀況，使學(xué)生與教師能經(jīng)常通過日記進(jìn)行交談，教師易于了解學(xué)生的認(rèn)知水平、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、興趣及個(gè)人思維風(fēng)格等非智力因素的個(gè)體差異，教師能從學(xué)生的這些資料中綜合出各種學(xué)生的成就抱負(fù)水平、焦慮水平、意志水平，從而設(shè)計(jì)出教學(xué)方案，提高教學(xué)水平。而我國教師過分注重智力因素，相對(duì)忽視了非智力因素，教師和學(xué)生的交流少，自然而然在他們之間形成隔膜，老師對(duì)學(xué)生的心理、情感、動(dòng)機(jī)、興趣難以了解，無法得到反饋，學(xué)生的焦慮、交際需要等得不到及時(shí)的滿足。導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高。教師的教學(xué)具有很大盲目性。②
(3)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)教育的思想存在差異。國外的教學(xué)方法一般注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。重視應(yīng)用數(shù)學(xué)教育，具體反映在注重?cái)?shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)中采用的例子盡量來源于現(xiàn)實(shí)生活。如日本的CRM教學(xué)法（復(fù)合的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)法），在教學(xué)過程中選取一些學(xué)生熟悉的事物，針對(duì)其中所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行討論和探索，最后得出結(jié)論。這種教學(xué)方法深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，有利于培養(yǎng)他們利用數(shù)學(xué)眼光看問題和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，培養(yǎng)了用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力，學(xué)生畢業(yè)后能較好地適應(yīng)社會(huì)的需要。當(dāng)然如果過分地聯(lián)系難免有牽強(qiáng)附會(huì)之嫌。我國的教育目標(biāo)雖然說重視應(yīng)用教育，但至今未有與之協(xié)調(diào)的教學(xué)方法，事實(shí)上成了紙上談兵，仍然只是從數(shù)學(xué)本身的結(jié)構(gòu)出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，造成曲高和寡的情形。另一方面，中國當(dāng)前的教育方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力非常有效，善解題是中國教學(xué)方法中比較突出的特點(diǎn)，這從數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中取得的突出成績可以看出。
(4)教學(xué)中使用的工具和教學(xué)媒體也存在著差異。國外由于經(jīng)濟(jì)和科技發(fā)達(dá)，直觀教學(xué)手段有了極大提高，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)及各類教學(xué)媒體普遍被使用。隨著我國教育的改革，中國也力爭改善教學(xué)手段，如多媒體教學(xué)，但由于經(jīng)濟(jì)、科技等方面的原因，多媒體的普及遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是近期可以實(shí)現(xiàn)的。③
（二）
當(dāng)前我國的教育改革在極力推進(jìn)由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育的轉(zhuǎn)軌，因而以后教學(xué)的關(guān)鍵是如何提高學(xué)生的素質(zhì)。所謂的全面素質(zhì)可以概括為“四素質(zhì)三能力”，即：文化科學(xué)素質(zhì)、思想道德素質(zhì)、身體心理發(fā)展素質(zhì)、勞動(dòng)技術(shù)素質(zhì)等四素質(zhì)和邏輯思維能力、應(yīng)用能力、創(chuàng)造能力等三能力。故通過中外數(shù)學(xué)教學(xué)方法的比較，結(jié)合我國的實(shí)際情況，按照素質(zhì)教育的要求，我認(rèn)為改進(jìn)教學(xué)方法應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手：(1)重視教師和學(xué)生的交流，改善教師與學(xué)生的關(guān)系，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的全面了解，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性；(2)重視能力的培養(yǎng)，真正做到使學(xué)生的素質(zhì)全面發(fā)展；(3)改進(jìn)教學(xué)方法必須與改革考試制度相聯(lián)系，不破除升學(xué)率的壓力，就無法使教師與學(xué)生從考試的繁重負(fù)擔(dān)中解放出來。必須改變考試凌駕于教學(xué)之上，考試是“指揮棒”的不合理狀況，使考試成為教學(xué)的檢測(cè)手段，起輔助教學(xué)的作用。
教學(xué)有法，但無定法，世界上沒有一種放之四海而皆準(zhǔn)的教學(xué)方法，因而對(duì)任何好的教學(xué)法都不能完全照搬，而應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況，吸取合理的思想和有效的成分，創(chuàng)立一套合符實(shí)際的教學(xué)方法；在教學(xué)中不要固守一兩種教學(xué)方法，而要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容、不同的學(xué)生采取相應(yīng)的教學(xué)方法，因材、因人施教是教學(xué)方法的唯一出發(fā)點(diǎn)。
主要參考文獻(xiàn)
①王子興主編《數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論》，南寧：廣西師范大學(xué)出版社
[鍵字]件數(shù)學(xué)教學(xué)效果
人類已進(jìn)入信息時(shí)代，以計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)為核心的現(xiàn)代信息技術(shù)正在越來越深刻地改變著我們的工作方式和學(xué)習(xí)方式。所謂多媒體課件，簡單地說就是利用數(shù)字處理技術(shù)和視聽技術(shù)，以計(jì)算機(jī)為中心，按照教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，將文字、語音、圖像等多種媒體信息集成在一起，以實(shí)現(xiàn)對(duì)教學(xué)材料的存儲(chǔ)、傳遞、加工、轉(zhuǎn)換和檢索的一種現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)手段。由于它圖、文、聲、像并茂，能夠?qū)崿F(xiàn)人機(jī)頻繁地多種交互控制，方便輔助教學(xué)，所以越來越受到人們的重視。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時(shí)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用多媒體課件進(jìn)行輔助教學(xué)，利用其圖、文、聲、像并茂的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)具體的教學(xué)情境，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以使抽象的教學(xué)內(nèi)容具體化、清晰化，可以開拓學(xué)生的思路、增強(qiáng)思維靈活性，還可以有效地發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使他們積極參與教學(xué)過程，從而提高教學(xué)質(zhì)量，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)過程。
一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
一堂好課好比一本趣味盎然的好書，開篇就該引起讀者的興趣。課上，巧妙成功的開頭，能有效地激發(fā)學(xué)生的求知欲，使他們的注意力很快地集中到教學(xué)內(nèi)容上去，學(xué)生在輕松愉悅的氛圍中由被動(dòng)變主動(dòng)，暢游課堂，學(xué)習(xí)新知識(shí)。
例如，我在上一節(jié)數(shù)學(xué)歸納法的課時(shí)，我可以讓學(xué)生先看看電腦投影機(jī)上的先后出現(xiàn)的幾張撲克牌紅桃2,紅桃3,紅桃4,,然后蓋住一張牌讓學(xué)生猜它是什么牌，學(xué)生馬上有很多猜是紅桃紅桃5，當(dāng)我用鼠標(biāo)點(diǎn)開這張牌時(shí)發(fā)現(xiàn)它是張牌確實(shí)是紅桃5，他們很開心，然后我蓋住一張牌讓學(xué)生猜它是什么牌，學(xué)生馬上有很多猜是紅桃6，而當(dāng)我用鼠標(biāo)點(diǎn)開這張牌時(shí)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)它是一張黑桃Q,這時(shí)我及時(shí)由不完全歸納法的不足引入數(shù)學(xué)歸納法的概念。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法就有了極大的學(xué)習(xí)興趣，使我這堂課上的很活躍。
像這樣，在課堂伊始，讓學(xué)生欣賞一段動(dòng)畫，傾聽一段音樂來引入課題，能極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，喚醒他們的有意注意，在活躍的課堂上，學(xué)生的心會(huì)一直被教師引導(dǎo)著，使教學(xué)過程順利進(jìn)行，從而提高教學(xué)效率。
二、變抽象為直觀，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)
由于多媒體課件形象具體，動(dòng)靜結(jié)合，聲色兼?zhèn)?，所以在課堂上恰當(dāng)?shù)丶右赃\(yùn)用，可以變抽象為具體，調(diào)動(dòng)學(xué)生各種感官協(xié)同作用，解決教師難以講清，學(xué)生難以聽懂的內(nèi)容，從而有效地實(shí)現(xiàn)精講，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。
比如我在講數(shù)學(xué)歸納法的概念時(shí)，我首先讓同學(xué)們看一段多米若骨牌倒下的動(dòng)畫，然后讓同學(xué)們歸納出要所有的骨牌倒下，骨牌必須滿足哪幾個(gè)條件，當(dāng)學(xué)生們歸納出第一、要第一張牌倒下，第二、要每張牌倒下后它后面的牌一定能倒下，這時(shí)我們就能推斷所有的牌一定會(huì)倒下，這時(shí)我就歸納出證明中的關(guān)鍵兩步，第一、當(dāng)n=n0（例如n=1或n=2等）時(shí)結(jié)論正確，第二、假設(shè)n=k（k∈n*且k>n0）時(shí)結(jié)論正確,證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。然后讓學(xué)生對(duì)比著兩者來理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，及其在證明中運(yùn)用兩步走的方法的原因，再通過幾個(gè)實(shí)例練習(xí)后，讓學(xué)生通過一個(gè)直觀的動(dòng)畫深刻理解了數(shù)學(xué)歸納法這個(gè)較抽象的概念。
又如在上一節(jié)折疊問題專題課中一道題
下面左圖為一個(gè)簡單多面體的表面展開圖（沿圖中虛線折疊可還原），則這個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為個(gè)
學(xué)生對(duì)于這個(gè)立體圖形沒有一個(gè)形象的思維，但是通過電腦動(dòng)畫演示整個(gè)折疊過程，最后結(jié)果如右上圖，學(xué)生馬上就可以知道答案是七個(gè)角。
另外在的一個(gè)教三視圖課堂中，如果要求學(xué)生們通過觀察下圖左邊三個(gè)側(cè)面圖想象實(shí)物圖象，這是比較難的事，但是如果通過如圖的各個(gè)對(duì)應(yīng)面閃爍動(dòng)畫演示，學(xué)生就很容易理解。
動(dòng)靜結(jié)合，引發(fā)了學(xué)生的思維，提高了學(xué)生的注意力，融化了知識(shí)的難點(diǎn)。
三、調(diào)整學(xué)生情緒，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性
實(shí)驗(yàn)心理學(xué)家Treichler做過兩個(gè)著名的實(shí)驗(yàn)。一個(gè)是關(guān)于人類獲取信息的途徑。他通過大量的實(shí)驗(yàn)證實(shí)，人類獲取的信息83.5%來自視覺，11%來自聽覺，3%來自嗅覺，1.5%來自觸覺，1%來自味覺，可以看出，人們通過聽覺和視覺獲得的信息占其所獲得總信息的94%；另一個(gè)實(shí)驗(yàn)是關(guān)于知識(shí)保持即記憶持久性。結(jié)果是，人們一般能記住自己閱讀內(nèi)容的10%，聽到內(nèi)容的20%，看到內(nèi)容的30%，聽到和看到內(nèi)容的50%，在交流過程中自己所說內(nèi)容的70%。另外，記憶率的研究結(jié)果表明相同的結(jié)論。心理學(xué)家研究記憶率發(fā)現(xiàn)，對(duì)同樣的學(xué)習(xí)材料，單用聽覺，三小時(shí)后能保持所獲取知識(shí)的60%，三天后則下降為15%；單用視覺，三小時(shí)后能保持70%，三天后降40%；如果視覺、聽覺并用，三小時(shí)后能保持90%，三天后可保持75%。
因此，如果在教學(xué)的過程中，能同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生的視覺、聽覺、觸覺等多種感知器官參與感知活動(dòng)，從而會(huì)有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和接受。
計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大媒體處理功能使我們現(xiàn)代課堂教學(xué)有了新的發(fā)展，用計(jì)算機(jī)制作的課件實(shí)現(xiàn)了文字、圖形、聲音、動(dòng)畫及活動(dòng)影像等多種媒體間的互相配合和協(xié)調(diào)呈現(xiàn)，把電視機(jī)所具有的視聽合一功能與計(jì)算機(jī)的交互功能結(jié)合在一起，產(chǎn)生出一種更合乎自然的交流環(huán)境和方式，直接訴諸學(xué)生的多種感官，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用多種感官積極參與媒體的活動(dòng)，使學(xué)生由知識(shí)的被動(dòng)接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、探索者。在教學(xué)過程中有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，形成學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，更積極有效的接受知識(shí)。
在多媒體計(jì)算機(jī)交互式學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生還可以按自己的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、興趣來選擇自己所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，選擇適合自己水平的練習(xí)，甚至能夠選擇教學(xué)模式。這種主動(dòng)參與性為使學(xué)生發(fā)揮積極性、獲得有效認(rèn)知?jiǎng)?chuàng)造了很好的條件
四、運(yùn)用多媒體課件教學(xué)，增加課堂的信息容量
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)授課中,由于教師可利用的教學(xué)手段少，而數(shù)學(xué)概念抽象而枯燥，學(xué)生接受的刺激單調(diào)，呆板，往往興趣不濃，課堂效率不高，容量當(dāng)然就小。利用CAI的先進(jìn)技術(shù)，課堂教學(xué)就可以變得生動(dòng)活潑。
首先，計(jì)算機(jī)的信息存貯量大、處理迅速，具有方便的人機(jī)交互功能。我們?cè)诜治鰯?shù)學(xué)概念時(shí)，可設(shè)計(jì)一些與概念相關(guān)情境，從多個(gè)角度、不同層次考察，學(xué)生就可以全方位的把握概念的內(nèi)涵和外延。同時(shí)在展示問題時(shí)，設(shè)置“飛入”、“百葉窗”、“螺旋”等動(dòng)畫效果和“打字”、“機(jī)關(guān)槍”、“爆炸”等聲音效果，或把重點(diǎn)、難點(diǎn)的內(nèi)容設(shè)成彩色文字，以刺激學(xué)生的視覺和聽覺，加深學(xué)生的印象，使學(xué)生很好地記憶和理解數(shù)學(xué)概念。
其次，利用計(jì)算機(jī)的模擬功能，可使抽象內(nèi)容形象化，靜止內(nèi)容動(dòng)感化，枯燥內(nèi)容生動(dòng)化，重點(diǎn)內(nèi)容突出化，為學(xué)生創(chuàng)造生動(dòng)、活潑、直觀、有趣的教學(xué)條件，可極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，便于學(xué)生形成有意注意，消除學(xué)習(xí)的疲勞和緊張。這樣做既有助于學(xué)生良好的心理品質(zhì)的形成，又使學(xué)生獲取準(zhǔn)確、深刻的直觀感知，從而形成完整的理性認(rèn)識(shí)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。比如在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換的教學(xué)時(shí)，通過幾何畫板生動(dòng)的動(dòng)畫功能演示出y=sinx變換成圖象的相位、周期、振幅的變化的全過程，變課本上死板的畫面為栩栩如生的動(dòng)畫，使學(xué)生獲得充分的感性認(rèn)識(shí)，從而加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握。對(duì)學(xué)生而言，課堂教學(xué)中運(yùn)用CAI手段，形成多角度、多層次的信息剌激，能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶和理解，縮短學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握時(shí)間，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，擴(kuò)展了學(xué)生的知識(shí)面，在提高課堂容量的同時(shí)，提高教學(xué)效益。特別是上高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課時(shí)，因?yàn)楹芏嘀R(shí)都是學(xué)習(xí)過了，所以學(xué)生主要需要的就是大量的做練習(xí)，這時(shí)如果運(yùn)用多媒體課件就可以節(jié)省許多的板書時(shí)間，而且可以通過形象的圖形及動(dòng)畫使得解題過程更易理解，從而節(jié)省了講解題目的時(shí)間，最終可以使得一節(jié)課的題目容量大大增加。
五、通過多媒體課件，讓學(xué)生多了一種自學(xué)途徑
一、數(shù)學(xué)知識(shí)研究
傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識(shí)。班級(jí)授課制成熟后，人們開始同意這樣一個(gè)原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識(shí)。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、本畢業(yè)論文由整理提供概念、命題、法則等知識(shí)是不夠的?！酥猓處熯€要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個(gè)方式是句法性地(syntactically)，另一個(gè)方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個(gè)論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對(duì)這三個(gè)概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識(shí)稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。它是指知識(shí)從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。
主要有三個(gè)維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個(gè)數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動(dòng)：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。
對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究，拓寬了人們對(duì)教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。這些知識(shí)對(duì)于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會(huì)產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會(huì)有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個(gè)概念，怎樣定義，它會(huì)有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識(shí)還不夠。它缺少對(duì)學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對(duì)有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識(shí)與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識(shí)的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學(xué)必須考慮學(xué)生已有的知識(shí)和知識(shí)呈現(xiàn)的最佳序列。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，馬力平的知識(shí)包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識(shí)包是圍繞著一個(gè)中心概念而組織起來的一系列相關(guān)概念，是在學(xué)生的頭腦里培育這樣一個(gè)領(lǐng)域的縱向過程。(n知識(shí)包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結(jié)點(diǎn)，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內(nèi)數(shù)的加減法的知識(shí)包。在這個(gè)知識(shí)包內(nèi)，中心概念是20至100數(shù)的“借位減法”，它是學(xué)習(xí)多位數(shù)的加減的關(guān)鍵前提。
馬力平的知識(shí)包實(shí)際上是我國內(nèi)地傳統(tǒng)的教材分析研究。這類研究結(jié)果是教學(xué)參考書的主要內(nèi)容之一。它是一種課程知識(shí)，是教師對(duì)課程的分析，比對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分析更接近教學(xué)用的數(shù)學(xué)。但它也不是教師教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)。它最多是教師對(duì)教學(xué)的考慮，沒有考慮師生互動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)需求。教師在教學(xué)時(shí)，能夠動(dòng)員起來的知識(shí)不一定符合教學(xué)情境的需要。本畢業(yè)論文由整理提供比如教師預(yù)期的一種學(xué)生的反應(yīng)在與學(xué)生的互動(dòng)中沒有出現(xiàn)，教師以學(xué)生的這種反應(yīng)為跳板的后繼知識(shí)就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識(shí)包，與教師在課堂教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)還有一段距離，教師在教學(xué)時(shí)可能用得上，也可能用不上。教師在教學(xué)時(shí)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教材分析所能提供的內(nèi)容。
三、教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究
Ball開創(chuàng)了教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究。她通過分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識(shí)及其影響。下面以Ball的一個(gè)課例來說明其研究方法與結(jié)果。該課內(nèi)容是三年級(jí)多位數(shù)減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學(xué)生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數(shù)l7開始向后數(shù)數(shù)，一直數(shù)到32得到答案。ba認(rèn)為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對(duì)，數(shù)一下表示32的教具中剩余的沒有配對(duì)的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數(shù)一下剩余的就行了。Cassandia提供了標(biāo)準(zhǔn)的減法算法，Scan受到啟發(fā)，提供了另一種解法：16+16=32，整節(jié)課，學(xué)生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認(rèn)為，這節(jié)課教學(xué)的核心活動(dòng)是處理數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和控制課堂討論。知識(shí)的關(guān)聯(lián)涉及到在具體和符號(hào)的模式中，減法和加法是如何關(guān)聯(lián)的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關(guān)聯(lián)的、教具的表征如何轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征、Betsy的配對(duì)比較法如何轉(zhuǎn)化為Sean的向后數(shù)數(shù)的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協(xié)調(diào)，控制課堂討論首先表現(xiàn)在提供線索和解釋，推動(dòng)正確的方法的發(fā)展；其次表現(xiàn)在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學(xué)生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結(jié)論超過了三年級(jí)學(xué)生的理解能力。
Ball對(duì)這節(jié)課教師需要使用的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了歸納。除了傳統(tǒng)的教材分析提供的借位減法的符號(hào)算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識(shí)。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數(shù)的加法16+?=32)是等價(jià)的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數(shù)到32，或者M(jìn)ei的從32里拿走l6個(gè)等等。第三，教師還需要具有深刻的數(shù)學(xué)眼光去審查、分析和協(xié)調(diào)學(xué)生的多種解法。最后，教師還需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)論證的知識(shí)。
通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分，其余大部分只能在分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)中才能得到。
四、啟示
1．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是有效教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)。它與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識(shí)、教材分析得出的數(shù)學(xué)知識(shí)是不一樣的。它具有一種教學(xué)上有用的數(shù)學(xué)理解，這種理解主要集中于學(xué)生的觀念和誤解上。學(xué)生對(duì)特定內(nèi)容的理解是有差異的，教師需要調(diào)和學(xué)生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生把知識(shí)進(jìn)一步組織，促進(jìn)學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)。
2．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)知識(shí)，它聯(lián)系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學(xué)三年級(jí)的兩位數(shù)退位減法，但是，通過對(duì)課堂教學(xué)核心數(shù)學(xué)活動(dòng)的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數(shù)學(xué)的等價(jià)、同構(gòu)、相似性和表征之間的轉(zhuǎn)化等概念。從結(jié)構(gòu)上說，前五種解法是同構(gòu)的，前五種解法和最后一種缺失加數(shù)的加法是等價(jià)的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上理清這些解法的關(guān)系，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生在不同的方法之間轉(zhuǎn)換并分清這些方法的異同，促進(jìn)學(xué)生高效地組織自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。香港的“課堂學(xué)習(xí)研究”也證實(shí)，數(shù)學(xué)專家參與的教研活動(dòng)，能提升課堂教學(xué)的有效性。
3．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)存在一定的結(jié)構(gòu)。首先是學(xué)生理解的知識(shí)。像Ball的課例所展示的，學(xué)生對(duì)退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識(shí)是教師教學(xué)的起點(diǎn)。以學(xué)生已有的知識(shí)為起點(diǎn)自下而上的講授使知識(shí)加以擴(kuò)充，把新知識(shí)與學(xué)生已經(jīng)構(gòu)成內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)的概念和方法聯(lián)系起來，這是提高教學(xué)效率的奧妙；其次是教學(xué)策略。像Ball的課例所展示的，學(xué)生的理解各種各樣，需要教師使用相應(yīng)的策略來控制課堂討論，協(xié)調(diào)不同的方法，促進(jìn)正確的方法發(fā)展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學(xué)效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識(shí)。教師需要提供線索和解釋，矯正學(xué)生的誤解，促進(jìn)學(xué)生自我評(píng)價(jià)的參與，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步精簡合理化知識(shí)；第四，課程知識(shí)。像馬力平的知識(shí)包概念所揭示的，特定課題呈現(xiàn)的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學(xué)科的橫向聯(lián)系，是教師用來教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學(xué)科各知識(shí)點(diǎn)的固著關(guān)系及其潛在距離，構(gòu)建適合學(xué)生特點(diǎn)的、具有合適梯度的結(jié)構(gòu)序列，是提高教學(xué)效率的基礎(chǔ)；最后是教學(xué)目的的統(tǒng)領(lǐng)性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對(duì)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解、信念數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論以及對(duì)特定學(xué)生最有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)的判斷。當(dāng)然，這些成分是從不同的維度來說明教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的屬性，它們之間的關(guān)系及提高課題教學(xué)效率的機(jī)制還需從課堂教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)進(jìn)一步的概念化。超級(jí)秘書網(wǎng)