時(shí)間：2023-06-14 16:36:14
導(dǎo)語(yǔ)：在數(shù)學(xué)公式和定理的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 凹凸性 求導(dǎo)公式 積分公式
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常遇到的一個(gè)問(wèn)題就是學(xué)生記不住一些常用的數(shù)學(xué)公式，或者是隨著時(shí)間的推移，將一些數(shù)學(xué)公式記錯(cuò)、記混，從而影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí).有一些學(xué)生因記不住數(shù)學(xué)公式而厭惡數(shù)學(xué)，進(jìn)而認(rèn)為數(shù)學(xué)就是套公式，他們學(xué)不好數(shù)學(xué)往往是因?yàn)橛洸蛔?shù)學(xué)公式.這些認(rèn)識(shí)雖說(shuō)具有很強(qiáng)的片面性，但從一個(gè)方面說(shuō)明數(shù)學(xué)公式的掌握在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要性.
高等數(shù)學(xué)是建立在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之上的，一般來(lái)說(shuō)，中學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)相對(duì)來(lái)說(shuō)就比較吃力.但是，高等數(shù)學(xué)相較于中學(xué)數(shù)學(xué)又有一定的獨(dú)立性.中學(xué)數(shù)學(xué)涉及的知識(shí)面較窄，因此很注重技巧，而高職的高等數(shù)學(xué)相對(duì)來(lái)說(shuō)涉及的知識(shí)面較廣，對(duì)技巧的要求少了許多，可以說(shuō)是在反反復(fù)復(fù)地使用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.因而記住這些公式就顯得尤為重要.下面我就教學(xué)中遇到的幾個(gè)難于記憶的定理、公式提出了形象化的記憶方法，希望有助于學(xué)生的學(xué)習(xí).
一、凹凸性和極值的記憶
在極值和凹凸性的章節(jié)中有以下定理：
定理2：設(shè)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么
這兩個(gè)定理涉及二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，我在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生往往會(huì)用錯(cuò)這兩個(gè)定理.為此，我們提出了用一個(gè)蹺蹺板的圖形幫助學(xué)生記憶這兩個(gè)定理.解釋如下：圖中的水平線代表0，支點(diǎn)位置為一階導(dǎo)數(shù)，蹺蹺板的兩端，一端是函數(shù)f（x），一端是二階導(dǎo)數(shù)f″（x），很明顯，當(dāng)f″（x）>0時(shí)，蹺蹺板一端高于水平面，另一端比低于水平面，可以想象為極小和凹.類似地，當(dāng)f″（x）
二、三角函數(shù)的求導(dǎo)和積分公式
三角函數(shù)的積分和求導(dǎo)公式比較多，記憶難度較大，因此是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在.即使剛開(kāi)始記住了，時(shí)間長(zhǎng)了也容易混淆.為了幫助學(xué)生記憶，我們引入如下圖形（注意第二個(gè)圖形中的負(fù)號(hào)）：
（2）積分：如果被積函數(shù)是兩個(gè)頂點(diǎn)的乘積，則結(jié)果是另外一個(gè)頂點(diǎn)：
教學(xué)實(shí)踐表明，簡(jiǎn)單的圖形在幫助學(xué)生學(xué)習(xí)方面起到了很好的作用.本文僅是拋磚引玉，希望今后能看到更多更好的相關(guān)文章.
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞：公式；定理；知識(shí)的發(fā)生；知識(shí)的發(fā)展
中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2013）36-0157-03
公式和定理揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的基本規(guī)律，具有一定的形式符號(hào)化的抽象性和概括性的特征，是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展水平發(fā)展的重要學(xué)習(xí)載體，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，是數(shù)學(xué)推理論證的重要依據(jù)。因此，公式和定理的教學(xué)是基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的重要組成部分。按照課程標(biāo)準(zhǔn)的定位，高中數(shù)學(xué)公式和定理大部分是需要達(dá)到掌握的層次，即必須明了知識(shí)的來(lái)龍去脈，領(lǐng)會(huì)知識(shí)的本質(zhì)，能從本質(zhì)上把握內(nèi)容、形式的變化，對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法也要加以掌握。
長(zhǎng)期以來(lái)，由于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，不可能再有什么創(chuàng)新，更不太可能要求學(xué)生發(fā)明創(chuàng)造新的初等數(shù)學(xué)的結(jié)論。同時(shí)，基于高考升學(xué)的壓力，數(shù)學(xué)教師普遍對(duì)定理、公式課的教學(xué)重視不夠，數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)容易產(chǎn)生“一背二套、公式加例題”的形式，在數(shù)學(xué)課堂中更多地重視“解題訓(xùn)練”，習(xí)慣了“滿堂灌”的模式，這種形式的教學(xué)往往使學(xué)生的頭腦里只留下公式、定理的外殼，而忽視他們的來(lái)龍去脈，不明確它們運(yùn)用的條件和范圍，代之以更多地靠背誦數(shù)學(xué)的結(jié)論和公式，盲目、機(jī)械地去進(jìn)行模仿，在茫茫的題海中漫游，學(xué)生不知不覺(jué)地成了知識(shí)的容器。在這樣的課堂上，學(xué)生思維的時(shí)間和空間無(wú)情地失去了，長(zhǎng)此下去，學(xué)生很用功，書本知識(shí)很純熟，但動(dòng)手能力差，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題根本不可能進(jìn)行深入的思考和探究，更不可能有創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神。
如何在新課改下的數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)中，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，提高教學(xué)效率，并大面積提高教學(xué)質(zhì)量呢？通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)做好以下幾方面的工作，從而提高定理教學(xué)的質(zhì)量。
一、知識(shí)的發(fā)生階段
在公式定理的教學(xué)中，如何一開(kāi)始就把學(xué)生的興趣調(diào)動(dòng)起來(lái)，把學(xué)生吸引住，激發(fā)他們的求知欲，是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生探索能力的關(guān)鍵。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者主要采取了如下幾種比較有效的引入方式：
1.注重與生活實(shí)際相結(jié)合。建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗(yàn)，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運(yùn)行，從自然現(xiàn)象到社會(huì)生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問(wèn)題即使他們還沒(méi)有接觸過(guò)，沒(méi)有現(xiàn)成的經(jīng)驗(yàn)，但當(dāng)問(wèn)題一旦呈現(xiàn)在面前時(shí)，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，依靠自身的認(rèn)知能力，形成對(duì)問(wèn)題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測(cè)，而是從他們的經(jīng)驗(yàn)背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè)。因此，在教學(xué)中，教師不能無(wú)視學(xué)生的這些經(jīng)驗(yàn)，另起爐灶，從外部裝進(jìn)新知識(shí)，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)他們從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。
例如，在等差數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)中，通過(guò)如下問(wèn)題引入：1682年，英國(guó)天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大彗星描繪的曲線和1531年、1607年的彗星驚人的相似，便大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76年后再度回歸。這就是著名的哈雷彗星。它的回歸周期大約是76年，請(qǐng)你查找資料，列出哈雷彗星的回歸時(shí)間表，并預(yù)測(cè)它在本世紀(jì)回歸的時(shí)間。學(xué)生通過(guò)審題分析可以很快得出結(jié)論，這個(gè)時(shí)候再提出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就水到渠成，相當(dāng)自然。
2.學(xué)會(huì)從實(shí)驗(yàn)去歸納猜想。著名數(shù)學(xué)教育家G?波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)，在定理教學(xué)時(shí)，教師也可以設(shè)置實(shí)驗(yàn)引入，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)定理。
以二項(xiàng)式定理的教學(xué)為例，二項(xiàng)式定理是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的典型應(yīng)用，為了引導(dǎo)學(xué)生追本溯源，把二項(xiàng)式定理的研究還原到應(yīng)用計(jì)數(shù)原理的思考上來(lái)，在本節(jié)課教學(xué)時(shí)，筆者進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)，下面是其中的部分教學(xué)設(shè)計(jì)：
問(wèn)題1：兩個(gè)粉筆盒，每個(gè)盒里各有一紅一白兩支粉筆，現(xiàn)連續(xù)抽取兩次，每個(gè)粉筆盒各抽一支粉筆，問(wèn)：有多少種不同的抽取結(jié)果？
（學(xué)生小組合作討論，得出可能結(jié)果。教師板書學(xué)生陳述的結(jié)果于黑板右側(cè)，并引導(dǎo)學(xué)生分別用分步和分類兩個(gè)原理加以說(shuō)明。）
（1）分步乘法計(jì)數(shù)原理：2×2=4。
（2）分類加法計(jì)數(shù)原理：抽取結(jié)果分為三大類。
①兩白？邛白1白2？邛1？邛C
②一白一紅？邛白1紅2？邛1
白2紅1？邛12？邛C
③兩紅？邛紅1紅2？邛1？邛C
問(wèn)題1設(shè)計(jì)意圖：從粉筆盒取粉筆生動(dòng)形象，學(xué)生比較熟悉，解決起來(lái)得心應(yīng)手。
問(wèn)題2：你能夠得出（a+b）2的展開(kāi)式嗎？（教師板書于黑板中間）
問(wèn)題3：對(duì)比取粉筆的過(guò)程，思考（a+b）2與它有什么共同之處？描述這些共同之處。（教師引導(dǎo)學(xué)生從項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的次數(shù)、各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)對(duì)（a+b）2進(jìn)行分析。）
學(xué)生小組合作，得出如下結(jié)論：
項(xiàng)數(shù)：2+1
項(xiàng)次數(shù)： 展開(kāi)項(xiàng)的各項(xiàng)均為二次，a降冪b升冪，每一項(xiàng)可記為a2-kbk，k∈{0，1，2}
各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)：a2？邛a2b0？邛C
ab？邛a1b1？邛C
b2？邛a0b2？邛C
問(wèn)題2設(shè)計(jì)意圖：把新問(wèn)題回歸到已掌握的知識(shí)上，體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系與問(wèn)題的解決；體會(huì)展開(kāi)式中系數(shù)的由來(lái)。
探究活動(dòng)一：學(xué)生獨(dú)立探究（a+b）3的展開(kāi)式，并請(qǐng)學(xué)生展示探究過(guò)程：（學(xué)生依舊選擇了取粉筆的過(guò)程，改為三個(gè)粉筆盒）
（a+b）3=C a3+C a2b+C ab2+C b3
=a3+3a2b+3ab2+b3
活動(dòng)一設(shè)計(jì)意圖：再次理解取粉筆問(wèn)題和展開(kāi)式的聯(lián)系，特別是展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)與取粉筆過(guò)程中分類計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系。
探究活動(dòng)二：請(qǐng)大家思考（a+b）n=？
（a+b）n=C an+C an-1b+C an-2b2+……+C bn n∈N*
活動(dòng)二設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想。
活動(dòng)三：請(qǐng)哪位同學(xué)能對(duì)比剛剛的（a+b）2的分析過(guò)程，分析（a+b）n的展開(kāi)式。
項(xiàng)數(shù)：n+1
項(xiàng)次數(shù)：展開(kāi)項(xiàng)的各項(xiàng)均為二次，a降冪b升冪，每一項(xiàng)可記為an-kbk
活動(dòng)三設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，再次用計(jì)數(shù)原理歸納并證明的過(guò)程。
在這一設(shè)計(jì)中，學(xué)生經(jīng)過(guò)從粉筆盒抽粉筆的實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)了（a+b）2的各項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)與計(jì)數(shù)原理應(yīng)用下的抽粉筆的結(jié)果之間的聯(lián)系，然后經(jīng)過(guò)類似實(shí)驗(yàn)得到 （a+b）3中類似的結(jié)論，由此猜想（a+b）n的展開(kāi)式，從而輕松得到二項(xiàng)展開(kāi)式定理。
3.注重知識(shí)類比引入。數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，學(xué)生可以應(yīng)用已經(jīng)掌握的公式、定理推導(dǎo)新的公式定理，也可以通過(guò)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的相同、相通之處分析，采取類似的方法。
例如，在正弦定理的教學(xué)中，部分引入的教學(xué)設(shè)計(jì)為：
問(wèn)題1：初中時(shí)，在三角形中，邊和角有什么樣的關(guān)系？
學(xué)生答：大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角。
問(wèn)題2：已知RtABC中，∠C是最大角，所對(duì)的斜邊c是最大的邊，邊和角有什么關(guān)系？
學(xué)生思考后，作圖分析，得出結(jié)論：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，■=sinA，■=sinB，所以■=■=c，又sinC=1，所以■=■=■
問(wèn)題2設(shè)計(jì)意圖：直角三角形是學(xué)生已經(jīng)掌握的三角形，學(xué)生入手比較快，解答比較容易。
問(wèn)題3：已知ABC中，A角對(duì)a邊，B角對(duì)b邊，C角對(duì)c邊，邊和角有什么關(guān)系？
學(xué)生類比問(wèn)題2的解答，作圖，分類討論得出結(jié)論：■=■=■
問(wèn)題3設(shè)計(jì)意圖：類比特殊三角形進(jìn)行推廣。
學(xué)生對(duì)直角三角形的邊角關(guān)系很熟悉，當(dāng)在直角三角形中得出結(jié)論后，再次提出新問(wèn)題，即其他三角形中是否也有類似關(guān)系？學(xué)生就很容易類比直角三角形進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論。
二、知識(shí)發(fā)展階段
1.重視推導(dǎo)和證明。掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程是一個(gè)建構(gòu)和再建構(gòu)的過(guò)程，而理解把原有知識(shí)變成更容易記和提取的知識(shí)，提高新知識(shí)的記憶程度。在傳統(tǒng)的定理教學(xué)中，學(xué)生因?yàn)椴磺宄ɡ淼膩?lái)龍去脈，對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論性的定理和公式只能生硬地記憶和套用，經(jīng)常出現(xiàn)書本例題和練習(xí)都會(huì)做，但稍有變式便無(wú)從下手的情況，這是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有理解定理。沒(méi)有理解，知識(shí)就是孤立存在，各種知識(shí)分別占用記憶單位，記憶量大，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中苦不堪言。因此，在定理教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)匾?，發(fā)現(xiàn)定理后，學(xué)生的興趣被激發(fā)，對(duì)證明、推導(dǎo)有迫切感，此時(shí)，教師要緊緊抓住這一理想狀態(tài)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮學(xué)生的主導(dǎo)作用，能由學(xué)生自己解決的推導(dǎo)過(guò)程堅(jiān)決不插手。同時(shí)，還要注意引導(dǎo)對(duì)學(xué)生推導(dǎo)進(jìn)行完善處理，注重分析推導(dǎo)方式的原因，思考有沒(méi)有別的方法，以擴(kuò)充學(xué)生的思維。學(xué)生經(jīng)過(guò)自己動(dòng)手推導(dǎo)的思考和理解，漸漸地體會(huì)到數(shù)學(xué)是一個(gè)緊密的內(nèi)部聯(lián)系的整體，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)之間非常有條理地聯(lián)系在一起，這些聯(lián)系是學(xué)習(xí)者通過(guò)努力去探索和嘗試而建立起來(lái)的，同時(shí)就建立了比較正確的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀和數(shù)學(xué)信念等。就在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及關(guān)聯(lián)有了理解，對(duì)數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用有體會(huì)時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用就會(huì)產(chǎn)生興趣，并產(chǎn)生學(xué)習(xí)更新、更深知識(shí)的欲望。
2.注重靈活應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。知識(shí)的學(xué)習(xí)是為了能運(yùn)用定理公式進(jìn)行思維解決問(wèn)題，在應(yīng)用訓(xùn)練中關(guān)注兩點(diǎn)：
（1）強(qiáng)調(diào)特例和成立條件。公式定理的成立是有一定條件的，學(xué)生學(xué)習(xí)公式定理的最大弱點(diǎn)是把公式作為萬(wàn)能公式亂用亂套。因此，在教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)公式成立的條件。例如，在a+■≥2應(yīng)用中，a是有范圍限定的，如果a的取值改變，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果改變。
（2）注重練習(xí)。依據(jù)認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)，一個(gè)完整的教學(xué)過(guò)程必須經(jīng)過(guò)“由感性的具體上升到抽象的規(guī)定”和“再由抽象的規(guī)定發(fā)展到思維中的具體”這樣兩個(gè)科學(xué)、抽象的階段，因此，定理公式的應(yīng)用訓(xùn)練不可或缺。但練習(xí)的目的在于鞏固、深化概念，形成技能，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。因此，選題要典型、靈活多樣，對(duì)題目的探討、挖掘要深入，切忌盲目的進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)。
本文從機(jī)械領(lǐng)域?qū)＠臋?quán)利要求包含數(shù)學(xué)公式的保護(hù)范圍如何理解入手，針對(duì)包含了數(shù)學(xué)公式的權(quán)利要求，重點(diǎn)探討了機(jī)械領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)如何更加準(zhǔn)確、客觀地做出新穎性/創(chuàng)造性的判斷結(jié)論。
1.權(quán)利要求包含數(shù)學(xué)公式的保護(hù)范圍的理解
《專利法》第五十九條第一款的規(guī)定：發(fā)明或者實(shí)用新型專利權(quán)的保護(hù)范圍以其權(quán)利要求的內(nèi)容為準(zhǔn)，說(shuō)明書及附圖可以用于解釋權(quán)利要求的內(nèi)容?！秾＠麑彶橹改稀分杏诌M(jìn)一步規(guī)定：通常情況下，在確定權(quán)利要求的保護(hù)范圍時(shí)，權(quán)利要求中的所有特征均應(yīng)當(dāng)予以考慮，而每一個(gè)特征的實(shí)際限定作用應(yīng)當(dāng)最終體現(xiàn)在該權(quán)利要求所要求保護(hù)的主題上。在此基礎(chǔ)上，筆者認(rèn)為“采用數(shù)學(xué)公式限定的技術(shù)特征最終體現(xiàn)在權(quán)利要求所要求保護(hù)的主題上”應(yīng)當(dāng)包含了兩個(gè)方面的含義：
1.1第一層含義：以數(shù)學(xué)公式限定的技術(shù)特征，其實(shí)質(zhì)上是限定了一組數(shù)值范圍。
1.2第二層含義：數(shù)學(xué)公式本身就代表著一種“數(shù)學(xué)規(guī)律”，反映到權(quán)利要求所要求保護(hù)的主題上即為“請(qǐng)求保護(hù)的產(chǎn)品/方法涉及到公式中的各個(gè)參數(shù)所必須遵循一種規(guī)律”。
2.包含數(shù)學(xué)公式的權(quán)利要求的新穎性/創(chuàng)造性的判斷
在進(jìn)行新穎性/創(chuàng)造性的判斷之前，筆者建議，應(yīng)當(dāng)首先根據(jù)權(quán)利要求中所采用的數(shù)學(xué)公式是否是“本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)”，分為以下兩種情況并分別加以考慮：
2.1數(shù)學(xué)公式是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)
如果權(quán)利要求包含的數(shù)學(xué)公式經(jīng)過(guò)判斷屬于本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)，例如果該數(shù)學(xué)公式是教科書、工具書或技術(shù)手冊(cè)等現(xiàn)有技術(shù)明確記載的或者是本領(lǐng)域的慣用手段，則只要檢索到任意一組符合該數(shù)學(xué)公式的具體數(shù)值點(diǎn)即可以認(rèn)為公開(kāi)了以數(shù)學(xué)公式進(jìn)行限定的技術(shù)特征，進(jìn)而得出權(quán)利要求不具備新穎性/創(chuàng)造性的結(jié)論。之所以沒(méi)有進(jìn)一步分析該數(shù)學(xué)公式的第二層含義的原因僅僅在于“該數(shù)學(xué)公式所代表的規(guī)律早已經(jīng)是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)”。因此，不需要再判斷現(xiàn)有技術(shù)是否給出第二層含義的技術(shù)啟示。下面，筆者結(jié)合案例進(jìn)行說(shuō)明：
【案例】
權(quán)利要求：一種四聯(lián)桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，所述傳動(dòng)機(jī)構(gòu)由活動(dòng)絞接的四個(gè)傳動(dòng)桿組成且共同構(gòu)成四邊形傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，其中所述四邊形的對(duì)角線的距離z滿足下述公式：Z2=X2+Y2-2XYcosA，其中x代表與對(duì)角線相鄰的長(zhǎng)桿的長(zhǎng)度，Y代表與對(duì)角線相鄰的短桿的長(zhǎng)度，A代表長(zhǎng)桿和短桿之間的夾角。
同時(shí)，權(quán)利要求中還分別限定了參數(shù)X，Y，A三個(gè)參數(shù)的數(shù)值范圍。
【案例分析】
其利用兩個(gè)桿的長(zhǎng)度和兩個(gè)桿之間的夾角計(jì)算四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度所采用的數(shù)學(xué)公式，實(shí)際上就是教科書早有記載的三角形計(jì)算邊長(zhǎng)的“余弦定理”。因此，該數(shù)學(xué)公式是本領(lǐng)域技術(shù)人員所熟知的公知常識(shí)。在此前提條件下，本領(lǐng)域技術(shù)人員只需要檢索得到任意一個(gè)長(zhǎng)桿和短桿的長(zhǎng)度以及二者之間的夾角能符合該數(shù)學(xué)公式的四邊形傳動(dòng)機(jī)構(gòu)即可，而不需要進(jìn)一步分析該數(shù)學(xué)公式的第二層含義是否已經(jīng)被現(xiàn)有技術(shù)公開(kāi)。
2.2數(shù)學(xué)公式并非是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)，如果權(quán)利要求包含的數(shù)學(xué)公式并非是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)，則現(xiàn)有技術(shù)不僅應(yīng)當(dāng)能證明公開(kāi)了上述第一層含義，還應(yīng)當(dāng)同樣能夠證明其公開(kāi)了上述第二層含義或者能證明其給出了相關(guān)技術(shù)啟示，不能僅僅根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)具體數(shù)值點(diǎn)就認(rèn)定公開(kāi)了該數(shù)學(xué)公式進(jìn)而否定其新穎性/創(chuàng)造性。下面，筆者還是結(jié)合案例并進(jìn)行一些改進(jìn)后再加以分析說(shuō)明：
【案例】
權(quán)利要求：一種四聯(lián)桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)由活動(dòng)絞接的四個(gè)傳動(dòng)桿組成且共同構(gòu)成四邊形傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，其中構(gòu)成四邊形的兩個(gè)相鄰桿之間長(zhǎng)度滿足下述公式：X=aY+b，其中X，Y各自代表?xiàng)U的長(zhǎng)度，a，b為常數(shù)。
【案例分析】
四邊形傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中各個(gè)桿之間的長(zhǎng)度關(guān)系需要滿足的上述公式并不是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)。在此基礎(chǔ)上，如何判斷該權(quán)利要求的新穎性/創(chuàng)造性，建議可從以下幾個(gè)方面考慮
2.2.1如果某一份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開(kāi)了上述數(shù)學(xué)公式，且其公開(kāi)的桿的長(zhǎng)度也滿足落入權(quán)利要求的數(shù)值范圍或部分重疊等條件，則可得出權(quán)利要求不具備新穎性/創(chuàng)造性的結(jié)論。
然而，實(shí)際情況中，本領(lǐng)域技術(shù)人員能夠獲得明確公開(kāi)了上述數(shù)學(xué)公式的現(xiàn)有技術(shù)的可能性很小，所以這種理想情況并不多見(jiàn)。
2.2.2如果某份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開(kāi)了多組完全吻合該公式的具體的數(shù)值點(diǎn)，并且對(duì)于本領(lǐng)域技術(shù)人員來(lái)說(shuō)，根據(jù)現(xiàn)有技術(shù)中公開(kāi)的該多組具體的數(shù)值點(diǎn)，即可以很容易地推導(dǎo)得出上述公式，則可以認(rèn)為該權(quán)利要求相對(duì)于現(xiàn)有技術(shù)不具備創(chuàng)造性。然而，實(shí)際情況中，現(xiàn)有技術(shù)要“分毫不差”地公開(kāi)完全吻合上述數(shù)學(xué)公式的具體的數(shù)值點(diǎn)，并且一個(gè)重要的前提條件還需要給出足夠多的點(diǎn)，該可能性也很小。
2.2.3如果某份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開(kāi)的多組具體的數(shù)值點(diǎn)并不完全吻合上述數(shù)學(xué)公式，但每一組具體數(shù)值點(diǎn)都無(wú)限逼近上述數(shù)學(xué)公式，則也應(yīng)視為與上述第（2）情況相同的情形處理。
這是因?yàn)閷?shí)際情況中，很多數(shù)學(xué)公式所對(duì)應(yīng)的直線或曲線等圖形都是通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)得到具體數(shù)值點(diǎn)后再擬合得出的。由于實(shí)驗(yàn)中存在著不可避免的誤差，因此，最終數(shù)學(xué)公式所對(duì)應(yīng)的直線或曲線等圖形是采用無(wú)限逼近點(diǎn)值的方式獲得，即不可能使所有的實(shí)際數(shù)值完全符合數(shù)學(xué)公式或完全落入擬合的曲線上。因此，如果某份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開(kāi)的多組具體的數(shù)值點(diǎn)雖然并不完全吻合上述公式，但每組具體數(shù)值點(diǎn)都無(wú)限逼近上述數(shù)學(xué)公式或?qū)?yīng)的曲線或直線等圖形，并且對(duì)于本領(lǐng)域技術(shù)人員來(lái)說(shuō)，根據(jù)該現(xiàn)有技術(shù)中公開(kāi)的多組具體的數(shù)值，采用同樣類似擬合的方式即可以推導(dǎo)得出上述數(shù)值公式，則可以認(rèn)為該權(quán)利要求不具備創(chuàng)造性。
[關(guān)鍵詞]：中學(xué)數(shù)學(xué) 觀察法 有效教學(xué)
科學(xué)始于好奇，發(fā)現(xiàn)始于觀察。觀察是一種有計(jì)劃、有目的、持久的知覺(jué)活動(dòng)，是孩子們科學(xué)探究的起點(diǎn)，是人們認(rèn)識(shí)世界的開(kāi)始。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程離不開(kāi)觀察，通過(guò)觀察認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、揭示數(shù)學(xué)的規(guī)律、探求數(shù)學(xué)方法。在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用觀察來(lái)收集材料、發(fā)現(xiàn)新事物、探求解題方法與途徑，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，提高教學(xué)效果有很大作用。
一、創(chuàng)設(shè)情境，在觀察中理解數(shù)學(xué)概念
數(shù)學(xué)概念是客觀事物或現(xiàn)象的數(shù)學(xué)關(guān)系、空間形式的基本屬性在人們頭腦中的反映。教材中有許多數(shù)學(xué)概念，在實(shí)際生活中都可以發(fā)現(xiàn)它的現(xiàn)實(shí)原型。所以，在教學(xué)過(guò)程中，密切聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原型，從學(xué)生接觸過(guò)或認(rèn)識(shí)過(guò)的事物去創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察，就能夠使學(xué)生比較容易地理解、接受數(shù)學(xué)概念，理解數(shù)學(xué)概念。
例如，在引入正、負(fù)數(shù)概念之前，我有意識(shí)地讓學(xué)生觀察“零上2℃，零下1℃”、“高于1.5米，低于0.5米”、“前進(jìn)1步，后退2步”等具有相反意義的量，從而使學(xué)生了解引進(jìn)新的數(shù)來(lái)表示這種實(shí)際問(wèn)題的必要性，易于接受正、負(fù)數(shù)的概念：像2，1.5，1…這樣的數(shù)叫做正數(shù)，它們都比0大，在正數(shù)前面加上“－”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，如-1，-0.5，-2…。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中也常常通過(guò)觀察數(shù)學(xué)對(duì)象的“形”，來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)。如為了研究一些函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、周期性、奇偶性等），就可觀察這些函數(shù)的圖象。
二、自主探究，在觀察中推導(dǎo)計(jì)算公式
數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，數(shù)學(xué)公式的形成，既離不開(kāi)細(xì)致的觀察，也離不開(kāi)合情的推理。因此，在教學(xué)中，我們?cè)谏朴谝龑?dǎo)學(xué)生去觀察、善于讓學(xué)生體驗(yàn)觀察帶來(lái)快樂(lè)的基礎(chǔ)上，注意引導(dǎo)學(xué)生去自主探究、去推導(dǎo)計(jì)算公式，往往會(huì)有意想不到的收獲。
例如，在教學(xué)“圓錐的側(cè)面積”時(shí)，我先讓學(xué)生制作一個(gè)圓錐形紙帽，再讓學(xué)生將制作好的圓錐形紙帽的側(cè)面展開(kāi)，接著讓學(xué)生觀察圖形前后的變化。通過(guò)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的形狀是一個(gè)扇形，并且發(fā)現(xiàn)了該扇形半徑的長(zhǎng)度等于展開(kāi)前圓錐母線的長(zhǎng)度，扇形的弧長(zhǎng)相當(dāng)于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，圓錐的側(cè)面積就是展開(kāi)后扇形的面積。聯(lián)系扇形面積計(jì)算公式：S扇形=12×扇形弧長(zhǎng)×扇形半徑。這樣，學(xué)生很自然就推導(dǎo)出圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式：S圓錐側(cè)=12×圓錐底面圓周長(zhǎng)×圓錐母線長(zhǎng)，若圓錐底面圓半徑為R，母線長(zhǎng)為l，該公式記為S圓錐側(cè)=12×2πR×l=πRl。由此一來(lái)，學(xué)生對(duì)公式的理解以及運(yùn)用就水到渠成，不僅會(huì)計(jì)算圓錐的側(cè)面積，而且對(duì)與圓錐有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題也能償試著將圓錐展開(kāi)后通過(guò)觀察后得到解決。
這樣，通過(guò)學(xué)生的做一做、看一看、想一想，讓學(xué)生自主探究，體驗(yàn)成功的快樂(lè)，讓不好懂、不易懂、不好記、不易記的知識(shí)變成易懂易記的知識(shí)。
三、設(shè)計(jì)問(wèn)題，在觀察中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理
數(shù)學(xué)中的定理，是數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系的一種反映或描述，而數(shù)學(xué)對(duì)象之間的許多關(guān)系是從對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的直接觀察中得來(lái)的。在數(shù)學(xué)定理的教學(xué)中，我們不妨精心設(shè)計(jì)一些問(wèn)題，讓學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)定理，當(dāng)一回“科學(xué)家”。
例如，在“角平分線的性質(zhì)定理”的教學(xué)中，我是這樣引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)該定理的：
1.老師：同學(xué)們，大家知道，許多定理都是用發(fā)現(xiàn)它的人的姓氏來(lái)命名的，如勾股定理，外國(guó)人稱之為畢達(dá)哥拉斯定理。你們想發(fā)現(xiàn)定理，想用自己的姓氏來(lái)命名定理嗎？（這段引言的目的是激發(fā)學(xué)生的探索欲望。）
2.幻燈片顯示∠AOB及其平分線OC。
3.提問(wèn)與練習(xí)。
①角平分線的定義是什么？
②在練習(xí)本上任意畫∠AOB，再畫出這個(gè)角的平分線OC；
③點(diǎn)到直線的距離定義是什么？
④在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P，畫出點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離PD、PE，再在OC上任取另一點(diǎn)Q，畫出點(diǎn)Q到∠AOB的兩邊的距離QM、QN。
4.指導(dǎo)學(xué)生觀察并實(shí)驗(yàn)。
①分別觀察點(diǎn)P、Q到∠AOB兩邊的距離的大小關(guān)系，并測(cè)量驗(yàn)證；
②再在∠AOB的平分線OC上任取一些不同的點(diǎn)，觀察并測(cè)量驗(yàn)證這些點(diǎn)到∠AOB兩邊的距離的大小關(guān)系；
③將∠AOB沿OC對(duì)折，線段PD、PE能重合嗎？線段QM、QN呢？
5.引導(dǎo)學(xué)生猜想：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。
6.引導(dǎo)學(xué)生論證，并指出這是角平分線的性質(zhì)定理。
學(xué)生通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)猜想論證，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，很好地體驗(yàn)了成功的喜悅，嘗試了當(dāng)一回“科學(xué)家”的快樂(lè)。
此外，對(duì)于線段的垂直平分線定理、垂徑定理、圓周角定理等，都可以在觀察中發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生在觀察中不知不覺(jué)地接受定理，理解定理，愉快地完成學(xué)習(xí)任務(wù)。
四、合作交流，在觀察中尋找解題突破口
數(shù)學(xué)解題需要透過(guò)觀察去認(rèn)識(shí)本質(zhì)，找出問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律。教學(xué)習(xí)題時(shí)，開(kāi)展小組合作，讓學(xué)生邊觀察邊交流，有助于尋找解題的突破口，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和開(kāi)拓性，從而開(kāi)闊學(xué)生的解題視野。
例如,計(jì)算(1-122)(1-132)(1-142)…(1-120072)(1-120082)
對(duì)于這道題，很多同學(xué)不善于觀察，難于找到突破口，盲目地先算括號(hào)里面的算式，使問(wèn)題復(fù)雜化，運(yùn)算量增大，無(wú)法算出結(jié)果。在學(xué)生冥思苦想之際,我引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展小組合作，去觀察算式中的規(guī)律，并交流觀察結(jié)果，學(xué)生通過(guò)細(xì)心觀察，發(fā)現(xiàn)了每個(gè)小括號(hào)里的算式都是1與一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方的差，分?jǐn)?shù)的分母依次為2，3，4，…2007，2008，且細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)1=12，因此，該算式每個(gè)括號(hào)里都隱藏著一個(gè)平方差公式。這樣，就可將每個(gè)括號(hào)里的多項(xiàng)式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，于是原式= (1-12)×(1+12)×(1-13)×(1+13)…×(1-12007)×(1+12007)×(1-12008)×(1+12008) =12×32×23×43×34…20062007×20082007×20072008×20092008。
再觀察上式，又可發(fā)現(xiàn)第2個(gè)分?jǐn)?shù)與第3個(gè)分?jǐn)?shù)互為倒數(shù)，它們的乘積為1，第4個(gè)分?jǐn)?shù)與第5個(gè)分?jǐn)?shù)互為倒數(shù)…，由此可得原式=12×1×1…×20092008=20094016。
一、巧用方法，激發(fā)閱讀欲望
閱讀是學(xué)生學(xué)習(xí)的前提與基礎(chǔ)，但要想讓學(xué)生自主閱讀，則需要讓學(xué)生產(chǎn)生閱讀的興趣與欲望。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要采取有效策略，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀興趣，從而激發(fā)學(xué)生自主閱讀欲望。
首先，巧設(shè)問(wèn)題情境，誘發(fā)閱讀的動(dòng)力。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，問(wèn)題情境是喚起學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的有效手段，也是激發(fā)學(xué)生閱讀興趣的重要途徑。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要圍繞教學(xué)內(nèi)容，充分考慮學(xué)生的年齡與心理特點(diǎn)，選取適宜的材料（如數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)故事等），設(shè)置豐富多樣、有趣生動(dòng)的問(wèn)題情境（如認(rèn)知沖突情境、矛盾情境、懸念情境、選擇情境、復(fù)習(xí)情境等），引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，使學(xué)生進(jìn)入思維興奮狀態(tài)，產(chǎn)生閱讀欲望，主動(dòng)閱讀，探究問(wèn)題，解決問(wèn)題。如教學(xué)“黃金分割”時(shí)，教師利用多媒體展示和“黃金分割”有關(guān)的視頻或圖片，如東方明珠塔的視頻、芭蕾舞演員圖片，并提出問(wèn)題：①東方明珠塔是世界第三高塔，有兩個(gè)球體，假設(shè)你是設(shè)計(jì)師，會(huì)將球體安放于哪一位置呢？②芭蕾舞演員為何要踮起腳？這些為何會(huì)給人以平衡、和諧、美的感覺(jué)呢？這些都與“黃金分割”有關(guān)，那么什么是“黃金分割”呢？“黃金分割”在日常生活中還有哪些應(yīng)用呢？若要解決上述問(wèn)題，學(xué)生需要閱讀教材，提煉信息。這樣，利用問(wèn)題情境，誘發(fā)學(xué)生閱讀的積極性，學(xué)會(huì)通過(guò)自主閱讀獲取知識(shí)。
其次，組織閱讀交流活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生的閱讀興趣。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生能力不同、基礎(chǔ)不同，他們的閱讀能力與自制程度有所不同，閱讀效果也不盡相同。在集體學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生之間會(huì)相互影響，如果學(xué)生處于濃厚的閱讀氛圍中，自然而然地會(huì)進(jìn)行閱讀。因此，為了進(jìn)一步提高學(xué)生的閱讀熱情，教師可以不定期地組織閱讀交流會(huì)，讓同學(xué)們交流討論，相互分享自己的閱讀體會(huì)與經(jīng)驗(yàn)。這樣，既可以提高學(xué)生閱讀的積極性，又可以在相互啟發(fā)與促進(jìn)中提高閱讀的興趣與能力。另外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文、讀書筆記。讀寫結(jié)合，既可以強(qiáng)化閱讀的效果，也有助于學(xué)生形成良好的閱讀習(xí)慣。
二、指導(dǎo)方法，提高閱讀能力
在初中階段，雖然學(xué)生有了一定的自學(xué)能力，能夠進(jìn)行自主閱讀，但有些學(xué)生由于閱讀的方法不正確，費(fèi)時(shí)耗力，導(dǎo)致閱讀效率不高，而影響閱讀興趣。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要在日?；顒?dòng)中巧妙地滲透對(duì)學(xué)生的方法指導(dǎo)，以提高學(xué)生的閱讀能力。
第一，指導(dǎo)預(yù)習(xí)，使學(xué)生形成正確的閱讀習(xí)慣。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可利用課前幾分鐘，要求學(xué)生自主預(yù)習(xí)，并指導(dǎo)預(yù)習(xí)方法，從而促進(jìn)學(xué)生閱讀能力的提升。對(duì)于一些內(nèi)容較為簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)材料，教師可預(yù)留預(yù)習(xí)時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀。當(dāng)然，為了提高閱讀效率，教師應(yīng)盡量根據(jù)知識(shí)要點(diǎn)、重點(diǎn)與難點(diǎn)制定相應(yīng)的預(yù)習(xí)提綱或思考題，讓學(xué)生明確閱讀目標(biāo)，有方向地進(jìn)行閱讀與思考，初步感知數(shù)概念、數(shù)學(xué)公式等，并提出自己的疑惑。如教學(xué)負(fù)數(shù)時(shí)，教師可留出一定的預(yù)習(xí)時(shí)間。要求學(xué)生閱讀課本內(nèi)容，初步了解正、負(fù)數(shù)的概念，并說(shuō)說(shuō)生活中還有哪些相反意義的量。另外，教師還可以先要求學(xué)生閱讀材料，然后提問(wèn)，檢測(cè)學(xué)生閱讀效果，從而更有針對(duì)性地指導(dǎo)學(xué)生閱讀方法。
第二，在知識(shí)教學(xué)中，滲透對(duì)學(xué)生閱讀方法的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)知識(shí)包括概念、定理、數(shù)學(xué)應(yīng)用題、幾何知識(shí)等，對(duì)于不同知識(shí)的閱讀，其方法也有所不同。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要將閱讀指導(dǎo)貫穿于不同的知識(shí)中。如在教學(xué)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式等基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效閱讀的技巧與方法：理解定義、公式中的相關(guān)符號(hào)、數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，并了解其邏輯關(guān)系，把握語(yǔ)言文字、數(shù)學(xué)符號(hào)與相應(yīng)圖形的轉(zhuǎn)化，透徹地理解數(shù)學(xué)定義、公式等知識(shí)。如勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。再如教師可以以圖形直觀地呈現(xiàn)各類特殊四邊形之間的關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)定義的理解。同時(shí)，還要注意知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
一、重視在概念、定義教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維
數(shù)學(xué)中的定義是通過(guò)揭示其本質(zhì)而來(lái)的，定義都是充要條件，均為可逆的。所以，其命逆題也是成立的。因此，定義即是某一個(gè)數(shù)學(xué)概念的判定方法，也是這一概念的性質(zhì)。在教學(xué)中應(yīng)充分利用這一特征，尤為注意定義的逆用解決問(wèn)題。在定義的教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解定義本身及其應(yīng)用外，還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生逆向思考，從而加深對(duì)定義的理解與拓展。
如絕對(duì)值是這樣定義的：“正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零”除了從正向去理解計(jì)算，還要教學(xué)生逆向去理解，如“計(jì)算︱5︱=？︱-5︱=？”，這是從正向去理解計(jì)算，“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于5，這個(gè)數(shù)是多少？”這是逆向去理解計(jì)算。
二、重視數(shù)學(xué)公式、法則、性質(zhì)的可逆性教學(xué)
數(shù)學(xué)公式本身是雙向的，由左至右和由右至左同等重要，但習(xí)慣上講究由左至右或化繁為簡(jiǎn)的順序。為了防止學(xué)生只能單向運(yùn)用公式，教師應(yīng)通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo)、公式的形成過(guò)程與公式的形式進(jìn)行對(duì)比，探索公式能否逆向運(yùn)用，從而培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力和逆用公式，鼓勵(lì)他們別出心裁地去解決問(wèn)題，在“活”字上下工夫。
公式從左到右及從右到左，這樣的轉(zhuǎn)換正是由順向思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力的體現(xiàn)。因此，當(dāng)講授完一個(gè)公式及其應(yīng)用后，緊接著舉一些公式的逆應(yīng)用的例子，可以開(kāi)闊學(xué)生的思維空間。
三、重視引導(dǎo)學(xué)生探討命題（定理）的逆命題
每個(gè)定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，經(jīng)過(guò)證明后成立即為逆定理。在平面幾何中，許多的性質(zhì)與判定都有逆定理。因此教學(xué)時(shí)應(yīng)重視定理和逆定理，強(qiáng)調(diào)其可逆性與相互性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理證明的能力很有幫助。例如：“互為余角”的定義教學(xué)中，可采用以下形式：∠A+∠B=90°，∠A、∠B互為余角（順向思維），∠A、∠B互為余角?！螦+∠B=90°（逆向思維）。
當(dāng)然，在平常的教學(xué)中，教師本身應(yīng)明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時(shí)給學(xué)生以訓(xùn)練。如：平行線的性質(zhì)與判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定等，注意它的條件與結(jié)論的關(guān)系，加深對(duì)定理的理解和應(yīng)用，重視逆定理的教學(xué)對(duì)開(kāi)闊學(xué)生思維視野，活躍思維大有益處。
四、注意逆向思維能力的培養(yǎng)
1.在解題中進(jìn)行逆向思維能力的培養(yǎng)
我們知道，解數(shù)學(xué)題最重要的是尋求解題思路，這就需要我們解題之前，綜合運(yùn)用分析和綜合或先順推，后逆推；或者先逆推，后順推；或者邊順推邊逆推，以求在某個(gè)環(huán)節(jié)達(dá)到統(tǒng)一，從而找到解題途徑。由此可見(jiàn)，探求解題思路的過(guò)程也存在著思維的可逆性，它們相輔相成，互相補(bǔ)充，以達(dá)到此路不通彼路通的效果。中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的逆運(yùn)算、否命題、反證法、分析法、充要條件等都涉及到思維的逆向性，在數(shù)學(xué)解題中，通常是從已知到結(jié)論的思維方式，然而有些數(shù)學(xué)總是按照這種思維方式則比較困難，而且常常伴隨有較大的運(yùn)算量，有時(shí)甚至無(wú)法解決，在這種情況下，只要我們多注意定理、公式、規(guī)律性例題的逆用，正難則反，往往可以使 問(wèn)題簡(jiǎn)化，經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。
2.教學(xué)設(shè)計(jì)中進(jìn)行逆向思維教學(xué)的運(yùn)用
教學(xué)設(shè)計(jì)是中不僅注意反映教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)，還要注意到對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，特別要注意逆向思維的運(yùn)用。因此經(jīng)常逆向設(shè)問(wèn)，以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)。
同時(shí)教師應(yīng)經(jīng)常地、有意識(shí)地從正反兩反面探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)立統(tǒng)一中去把握數(shù)學(xué)對(duì)象，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。
教師在總結(jié)思維過(guò)程時(shí)應(yīng)告訴學(xué)生有的問(wèn)題從“正面”不易解答時(shí)，從其“反面”思考往往有突破性效果。通過(guò)分析啟發(fā)很容易掌握，既激發(fā)了學(xué)生解題興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生正確思維方法和良好的思維習(xí)慣，思維能力逐步提高。因式分解一章教材本身就明確提出了“因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系”，教學(xué)中抓住“互逆”、“反過(guò)來(lái)”這條主線，就能讓學(xué)生真正理解因式分解的意義，并得到逆向思維的訓(xùn)練從而提高思維能力。
3.鞏固對(duì)逆向思維的理解和掌握
一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的重要作用
初中數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很重要的意義，所以數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到應(yīng)有的重視。通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化，能夠了解到數(shù)學(xué)家的奮斗歷程，在數(shù)學(xué)上杰出的貢獻(xiàn)和數(shù)學(xué)家在科研上刻苦鉆研的精神。數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)研究上認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木?，以及刻苦鉆研的態(tài)度，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，讓學(xué)生在潛意識(shí)中愿意向這些數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)，從而使自己在數(shù)學(xué)上也能取得優(yōu)異的成績(jī)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化可以提升學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，幫助學(xué)生記憶數(shù)學(xué)內(nèi)容。在中國(guó)的歷史上也有很多著名的數(shù)學(xué)家，如祖沖之、華羅庚、陳景潤(rùn)等，他們?yōu)閿?shù)學(xué)做出了很多貢獻(xiàn)。例如，祖沖之曾將圓周率π確定到小數(shù)點(diǎn)后七位，當(dāng)時(shí)處于世界上的領(lǐng)先水平，是我國(guó)數(shù)學(xué)歷史上的杰出成就。教師通過(guò)講解這些數(shù)學(xué)文化，可以豐富課堂上的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)。
二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的現(xiàn)狀分析
新課程背景下，數(shù)學(xué)文化正逐漸走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，但是教師對(duì)于數(shù)學(xué)文化的重視程度不夠，弱化了對(duì)數(shù)學(xué)文化的教學(xué)。而對(duì)于學(xué)生而言，由于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上對(duì)于數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用比較少，久而久之也就忽視了這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。兩方面原因?qū)е聰?shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透非常有限，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的了解程度也就少之又少。課堂教學(xué)中只注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)而弱化對(duì)數(shù)學(xué)文化的滲透。教師在數(shù)學(xué)課堂，對(duì)于數(shù)學(xué)的教學(xué)主要是數(shù)學(xué)技能的培養(yǎng)，教學(xué)目的主要圍繞提升學(xué)生的解題能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。數(shù)學(xué)文化在課本上的體現(xiàn)也在次于理論知識(shí)的位置，所以，數(shù)學(xué)文化不能得到足夠的重視，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)忽視數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)。
三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐途徑
1.從課堂抓起，滲透數(shù)學(xué)文化
要提高初中生的數(shù)學(xué)文化儲(chǔ)備，不能只停留在口頭上，要在實(shí)踐中不斷提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)能力，就要求教師在教學(xué)中，采取科學(xué)合理的途徑幫助學(xué)生進(jìn)行提高，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)文化進(jìn)行不斷的滲透，使學(xué)生在潛移默化中受到影響。要讓學(xué)生了解更多的數(shù)學(xué)文化，就要挖掘教材中可用的材料，將數(shù)學(xué)文化與教材內(nèi)容結(jié)合，通過(guò)數(shù)學(xué)文化來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。例如，在學(xué)習(xí)幾何“三角形”這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以在課程開(kāi)始之前，給學(xué)生講解勾股定理的由來(lái)，以及勾股定理在中國(guó)的發(fā)展史等內(nèi)容，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)。
2.講解數(shù)學(xué)名家故事，鍛煉學(xué)生意志
教師在講解每一部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容之前，都可以用一段簡(jiǎn)短的時(shí)間為學(xué)生講解一個(gè)著名的數(shù)學(xué)家刻苦鉆研的事例或者一些數(shù)學(xué)家的名人軼事。通過(guò)這些內(nèi)容的講解，可以增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)家的了解，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)意志。并且講解這些內(nèi)容也使數(shù)學(xué)課堂變得更加豐富多彩，可以有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。例如，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在數(shù)學(xué)上有很多偉大的成就。他在青年求學(xué)的過(guò)程中非?？炭?，他熱愛(ài)學(xué)習(xí)，經(jīng)常是書不離手。曾經(jīng)有一次，因?yàn)樗€書的日期到了，但是書還差一點(diǎn)沒(méi)有讀完，他就在還書的路上一邊走，一邊讀，他讀書非常專注，以至于下雨了都渾然不知。這樣專注的學(xué)習(xí)態(tài)度是值得所有學(xué)生學(xué)習(xí)的，他的故事對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)也會(huì)有很大的啟發(fā)，激勵(lì)學(xué)生努力學(xué)習(xí)，提高自己。
3.開(kāi)展數(shù)學(xué)文化角，進(jìn)行課外延伸
最好的滲透數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐途徑，就是以學(xué)生為主體，教師可以通過(guò)開(kāi)展數(shù)學(xué)文化角的方式，進(jìn)行課外延伸，這樣可以培養(yǎng)閱讀習(xí)慣，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解。例如，可以將班級(jí)文化墻的一部分作為數(shù)學(xué)文化板塊，讓同學(xué)們制作關(guān)于自己最喜歡的數(shù)學(xué)家的故事，或者名人軼事、數(shù)學(xué)公式來(lái)源等。再如，可以在課堂上帶領(lǐng)學(xué)生探訪一些歷史名題。如高斯也是一位偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)用技巧的算法快速算出從一到一百的和就是很好的例子，對(duì)于學(xué)生進(jìn)行數(shù)字規(guī)律的學(xué)習(xí)有很大的啟發(fā)作用。
四、結(jié)語(yǔ)
數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)的重要組成部分，與數(shù)學(xué)有不可分割的關(guān)系。通過(guò)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以更加了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，以及數(shù)學(xué)公式的由來(lái)?，F(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，是歷代數(shù)學(xué)工作者努力的結(jié)晶，是數(shù)學(xué)的靈魂所在，是需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中了解的內(nèi)容。通過(guò)數(shù)學(xué)文化的滲透，可以加深學(xué)生的學(xué)習(xí)印象，幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行理解和記憶，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高有重要的意義。教師在教學(xué)中應(yīng)該注意對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)課堂中更多地滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生不僅學(xué)到數(shù)學(xué)技能，更認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)精神。
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一、經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程
新課標(biāo)指出：抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要關(guān)注概念實(shí)際背景與形成過(guò)程。教師在概念教學(xué)時(shí)，切忌直截了當(dāng)?shù)鼐投x講定義，應(yīng)更多地從概念的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程中為學(xué)生提供思維情景，讓他們通過(guò)觀察、比較、概括，由特殊到一般，由具體到抽象，這樣才能保證學(xué)生理解和掌握新概念，而且也能使他們的抽象思維得到發(fā)展。
如數(shù)軸概念的教學(xué)，由于該概念涉及數(shù)形結(jié)合的思想，初一的學(xué)生要掌握這個(gè)概念有些難度，教師先出示下列問(wèn)題：小張家向東走20米是書店，向西走30米是少年宮。若規(guī)定向東走為正，向西走為負(fù)，那么，小張從家出發(fā)，走到書店應(yīng)記作什么？走到少年宮記作什么？溫度計(jì)顯示零上20℃，零下3℃，你如何用有理數(shù)表示？
教師接著要求學(xué)生將上述兩個(gè)問(wèn)題分別用簡(jiǎn)單形象的圖示方法來(lái)描述它們，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提煉出它們的共同屬性：
①能用圖線表示事物的數(shù)量特征（可用同一直線上的線段來(lái)刻劃），②度量的起點(diǎn)（0℃和小張家），③度量的單位（溫度計(jì)每格表示1℃），④有表示相反意義的方向（向東為正，向西為負(fù)；零上為正，零下為負(fù)）。
這樣就啟發(fā)學(xué)生用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，對(duì)于“表示相反意義的方向”用箭頭“”表示正方向，從而引進(jìn)“數(shù)軸”的概念。這樣做既符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，給學(xué)生留下深刻持久的印象，同時(shí)也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們積極參與教學(xué)活動(dòng)，有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和素質(zhì)的提高。
二、感受數(shù)學(xué)公式、定理、法則的發(fā)現(xiàn)過(guò)程
數(shù)學(xué)公式、定理、法則是從現(xiàn)實(shí)世界的空間形式或數(shù)量關(guān)系中抽象出來(lái)的。教師在向?qū)W生講授某個(gè)定理、公式，一般不要一開(kāi)始便直接把定理、公式“塞給”學(xué)生，而應(yīng)盡量通過(guò)創(chuàng)設(shè)一定的情景引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體的事物（數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)模型）進(jìn)行觀察、測(cè)量、計(jì)算等實(shí)踐活動(dòng)，來(lái)猜測(cè)定理、公式的具體內(nèi)容。如“積的乘方”法則的教學(xué)可設(shè)計(jì)為：先計(jì)算(2×3)2與22×32，比較它們的結(jié)果是否相等？再計(jì)算(－2×3)2與(－2)2×32，比較它們的結(jié)果是否相等？根據(jù)上面的算式，猜想(ab)2與a2b2是否相等？并給出說(shuō)明。類似地提出：計(jì)算(2×3)3與23×33，比較它們的結(jié)果是否相等？再計(jì)算(－2×3)3與(－2)3×33，比較它們的結(jié)果是否相等？然后要求學(xué)生寫出類似問(wèn)題并加以計(jì)算，根據(jù)上面的算式，猜想(ab)3與a3b3是否相等？并給出說(shuō)明。有了上述問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生猜想(ab)n的結(jié)果（n是正整數(shù)）。這樣，通過(guò)回憶復(fù)習(xí)舊知識(shí)，了解新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，親身體驗(yàn)到知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，加深了學(xué)生對(duì)定理本質(zhì)的理解，也促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化與發(fā)展。
三、體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解法及拓廣的探索過(guò)程
著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞的解題表強(qiáng)調(diào)解題的四個(gè)步驟，其中解題方法的探索和解題后的反思這兩個(gè)步驟往往為我們的教師所忽略，很多教師缺乏解題方法的探索過(guò)程，使學(xué)生對(duì)題目的解法感到突然，覺(jué)得老師的方法妙，但就是不知道是如何想出來(lái)的？因此，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及拓廣問(wèn)題的方法，切忌“掐頭去尾，燒中段”的解題教學(xué)模式。同時(shí)由于很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法具有多樣性，因此，教師要留給學(xué)生思考的空間，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的看法，從多角度、多側(cè)面思考問(wèn)題。
例如，在講二元一次方程組的解的時(shí)候，我是這樣引入的：現(xiàn)有足夠的2元和1元的錢，要將1張10元的錢換成2元和1元的零鈔，問(wèn)有多少種換法？同學(xué)們一下子興奮起來(lái)，通過(guò)討論，提出了這樣的方案：設(shè)換二元的x張，換1元的y張，列方程2x+y=10，解這個(gè)方程的非負(fù)整數(shù)解有6種換法。這樣學(xué)生對(duì)二元一次方程的解有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想。當(dāng)我們學(xué)了“數(shù)據(jù)的收集”后，讓每個(gè)學(xué)習(xí)小組寫一份調(diào)查報(bào)告，學(xué)生興趣很濃，有的調(diào)查“班級(jí)同學(xué)每月零花錢的使用情況”，有的調(diào)查“每個(gè)家庭每月塑料袋的使用情況”，有的調(diào)查“每個(gè)同學(xué)的疊被情況”。然后專門用一課時(shí)在多媒體教室展示成果，學(xué)生熱情很高，學(xué)生再也不認(rèn)為數(shù)學(xué)是高深莫測(cè)的東西了。
這樣通過(guò)將課本例題的改造，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論并從多個(gè)角度解決問(wèn)題，又通過(guò)類比、引申、推廣提出新的問(wèn)題并加以解決，既能有效地掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)，又能培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的方法和策略。
四、重視過(guò)程教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題
教師加強(qiáng)過(guò)程教學(xué)時(shí)必須力求把數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的最重要的思想方法揭示出來(lái)，將這些深層知識(shí)由潛形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轱@形態(tài)，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的朦朧感受轉(zhuǎn)變?yōu)槊魑?、理解和掌握，并領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。
關(guān) 鍵 詞：高中數(shù)學(xué) 教學(xué)質(zhì)量 有效途徑
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，一方面要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生具備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的素養(yǎng)；另一方面，要通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，培養(yǎng)學(xué)生能力，發(fā)展智力，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的方面，引起高度重視，在諸多能力中，思維能力是核心。
提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程。這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用。
說(shuō)到考試能力，根本點(diǎn)就是要把學(xué)生在能力上的這種個(gè)體差異，通過(guò)試卷中的試題組合這種間接的測(cè)量方式，以分?jǐn)?shù)的量化形式體現(xiàn)出來(lái)?？荚嚹芰?，就是要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。
那么如何通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力從而提高教學(xué)質(zhì)量昵？
一、培養(yǎng)邏輯思維能力、推理論證能力
數(shù)學(xué)思維的敏捷性，主要反映了正確前提下的速度問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面可以考慮訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算速度，另一方面要盡量使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)，提高所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象程度。因?yàn)樗莆盏闹R(shí)越本質(zhì)、抽象程度越高，其適應(yīng)的范圍就越廣泛，檢索的速度也就越快。另外，運(yùn)算速度不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解程度的差異，而且還有運(yùn)算習(xí)慣以及思維概括能力的差異。
因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)時(shí)刻向?qū)W生提出速度方面的要求，另外還要使學(xué)生掌握速算的要領(lǐng)。例如，每次上課時(shí)都可以選擇一些數(shù)學(xué)習(xí)題，讓學(xué)生計(jì)時(shí)演算；結(jié)合教學(xué)內(nèi)容教給學(xué)生一定的速算要領(lǐng)和方法；常用的數(shù)字，如20以內(nèi)自然數(shù)的平方數(shù)、10以內(nèi)自然數(shù)的立方數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、n、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的數(shù)學(xué)公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有關(guān)公式、對(duì)數(shù)和指數(shù)的有關(guān)公式、三角函數(shù)的有關(guān)公式、各種面積、體積公式、基本不等式、排列數(shù)和組合數(shù)公式、二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)的有關(guān)公式、斜率公式、直線、二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程等等，都要做到應(yīng)用自如。實(shí)際上，速算要領(lǐng)的掌握和熟記一些數(shù)據(jù)、公式等，在思維活動(dòng)中是一個(gè)概括的過(guò)程，同時(shí)也訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，而數(shù)學(xué)技能的泛化就成為能力。
數(shù)學(xué)思維功能僵化現(xiàn)象在學(xué)生中是大量存在的，這與學(xué)生平時(shí)所受的思維訓(xùn)練有很大關(guān)系。教師在教學(xué)過(guò)程中過(guò)分強(qiáng)調(diào)程式化和模式化；例題教學(xué)中給學(xué)生歸納了各種類型，并要求學(xué)生按部就班地解題，不許越雷池一步；要求學(xué)生解答大量重復(fù)性練習(xí)題，減少了學(xué)生自己思考和探索的機(jī)會(huì)，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)模仿、套用模式解題。灌輸式的教學(xué)使學(xué)生的思維缺乏應(yīng)變能力。因此，為了培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性，應(yīng)當(dāng)增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的變化性，為學(xué)生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使學(xué)生在面臨問(wèn)題時(shí)能夠從多種角度進(jìn)行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。教學(xué)實(shí)踐表明，變式教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性有很大作用，在概念教學(xué)中，使學(xué)生用等值語(yǔ)言敘述概念，數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，要求學(xué)生掌握公式的各種變形，都有利于培養(yǎng)思維的靈活性。
二、培養(yǎng)抽象概括能力和選擇判斷能力
數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的“過(guò)程”與“結(jié)果”的平衡，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過(guò)程，而不是只注意數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果。這里，“經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過(guò)程”的含義是什么呢？我們認(rèn)為，其實(shí)質(zhì)是要讓學(xué)生有機(jī)會(huì)通過(guò)自己的概括活動(dòng)，去探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律。
必須指出的是，抽象概括能力的培養(yǎng)，不論采取何種教學(xué)方法，關(guān)鍵是要有正確的教學(xué)思想，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，把教學(xué)真正建立在學(xué)生自己的獨(dú)立探索、思考、理解的基礎(chǔ)上，真正給學(xué)生以獨(dú)立探索的機(jī)會(huì)，使他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中有充分的自由思想空間，使學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷數(shù)學(xué)概括的全過(guò)程。但是，在教學(xué)實(shí)踐中，要做到這些并不容易，教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力往往并不完全信任，他們總怕學(xué)生出錯(cuò)，總怕學(xué)生會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，總想攙扶著學(xué)生，甚至不惜去代替學(xué)生思維。而這些做法與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力的要求是背道而馳的，也是與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本來(lái)面目不相符合的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)概括的自身特點(diǎn)出發(fā)，在使用抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表述數(shù)學(xué)定義、定理或原理之前，通過(guò)可觀察的（實(shí)物、圖形、圖表等等）、描述性的、可親身體驗(yàn)的形式來(lái)傳播新的思想，從而引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們自己去試驗(yàn)、構(gòu)造，用他們自己的語(yǔ)言去闡述和解釋，通過(guò)自己的獨(dú)立思維活動(dòng)來(lái)學(xué)習(xí)知識(shí)。要為學(xué)生創(chuàng)造一種環(huán)境，使他們?cè)谄渲邪缪葑灾骰顒?dòng)的角色，有發(fā)揮自己的聰明才智進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，能自己去尋找需要的證據(jù)，獲得能夠反映自身特點(diǎn)的
對(duì)數(shù)學(xué)原理的解釋，在他們自己的水平上完成對(duì)數(shù)學(xué)原理的概括過(guò)程。我們應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)當(dāng)作一種科學(xué)探索的過(guò)程（當(dāng)然，它是在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的），而不要把它當(dāng)成是一種語(yǔ)言、一種高度抽象的理論。應(yīng)當(dāng)努力促使學(xué)生形成自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解，并能用自己的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這種理解，而不要只是追求所謂的精確性。因?yàn)樵趯W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，精確而沒(méi)有理解，理解但不精確的現(xiàn)象都不少見(jiàn)。通過(guò)死記硬背而一字不差地重述一個(gè)定理，在任何時(shí)候都不能與理解一個(gè)定理劃上等號(hào)。
因此，在課堂教學(xué)中，只有以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力為重點(diǎn)，才能實(shí)際提高數(shù)學(xué)課的教學(xué)質(zhì)量。
參考文獻(xiàn)：
[1]鄒湘梅：《培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的探索》[J]安徽教育2003；