時間：2023-03-17 17:58:10
導語：在數(shù)學概率統(tǒng)計論文的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是一門注重理論的數(shù)學課程，在教學中讓學生掌握基本理論是必要的，但在教學過程中也不能僅僅以此作為目標。那么，一方面，在教學中我們就要做到有取有舍，基本的定理和公式要講清楚，而對于這些定理和公式的證明可以對學生降低要求，通過多舉例子，多給實際案例，讓學生學會使用這些公式和定理;另一方面，將一部分學時單獨列為實踐學時，目前數(shù)學軟件在統(tǒng)計領(lǐng)域的使用非常廣泛，比如常見的:Mtlab、SAS、SPSS等，在教學中將理論與相關(guān)數(shù)學軟件相結(jié)合，進行上機教學。讓學生通過實踐認識到本門學科在實際中如何應用，也讓學生能夠掌握一到兩門數(shù)學軟件的使用，方便他們今后專業(yè)學習。
二、結(jié)合專業(yè)，注重案例教學
在地質(zhì)類專業(yè)中，很多實際問題都直接用到了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中的內(nèi)容，比如:區(qū)間估計、假設檢驗、參數(shù)估計等，都是在地質(zhì)類專業(yè)教學中常用的數(shù)理統(tǒng)計方法。那么，我們在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的課堂教學中就可以有的放矢地將地質(zhì)類學科中的案例與數(shù)理統(tǒng)計中的這些方法相結(jié)合，把地質(zhì)學中的實際問題當作例子在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課堂中進行講解，地質(zhì)類專業(yè)的案例在很多時候就是在具備專業(yè)背景下的統(tǒng)計學的應用，用這類問題來替換課本上枯燥的數(shù)學例子，一方面可以增強課堂的趣味性，提高學生的學習興趣和積極性，另一方面也為將來學生在專業(yè)課中使用概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識打下基礎，幫助學生順利地完成從基礎課到專業(yè)課的自然過渡。
三、將數(shù)學建模的思想融入日常教學中
【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計；數(shù)學建模思想；教學改革
0.引言
概率論與數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)作為一門基礎學科，為很多專業(yè)課的學習奠定了基礎。如西方經(jīng)濟學等等。數(shù)學建模就是通過數(shù)學知識解決實際問題。將數(shù)學建模思想融入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學中，一方面能激勵學生學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課的興趣，另一方面能更好的聯(lián)系實際，解決實際問題。對于民辦院校來說，這樣大大提高了我們的教學水平，增強了的學生的學習能力和競爭能力，為民辦院校的長遠發(fā)展做出了貢獻。
1.將數(shù)學建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學
1.1課前導入時引入數(shù)學建模思想
概率論與數(shù)理統(tǒng)計比高等數(shù)學、線性代數(shù)的難度更深一些，對于學生來說更難以接受，在每一節(jié)課前采用啟發(fā)式，由淺入深，由直觀到抽象，使學生真正掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的概念，以便提高學生學習的樂趣。
1.2講授過程中引入數(shù)學建模思想
講授雖然是主要的教學方式，也可以采用討論式，適當對一些問題進行討論，這樣可以活躍課堂氣氛，激活學生思維，使授課效果更好。
1.3課后作業(yè)中引入數(shù)學建模思想
布置課外作業(yè)為了考察學生對課堂內(nèi)容的掌握程度，對問題有更深刻的理解，只有把數(shù)學方法應用到實踐中去，解決幾個實際問題，才能達到理解、鞏固和提高的效果。
2.將數(shù)學建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學的意義
2.1激發(fā)學生學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計的興趣
現(xiàn)在在學生中存在著這樣一個普遍的問題，大多數(shù)學生認為學習數(shù)學沒有任何用處，而且特別枯燥。特別是更抽象的概率論與數(shù)理統(tǒng)計，我校目前為止只有信息與工程學院、商學院與國際經(jīng)濟學院開設了概率論與數(shù)理統(tǒng)計，而且學時比較少，學生普遍認為學習這門課沒有多大的意義，通過數(shù)學建模思想的融入，讓學生自己去體會他的重要性，激發(fā)了學生學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計的興趣。
2.2通過數(shù)學理論知識解決實際問題
問題一：目前我校有1萬多名學生，每天傍晚打開水的人較多，開水房經(jīng)常出現(xiàn)排長隊的現(xiàn)象，應增加多少個水龍頭才能解決這種現(xiàn)象？問題二：每天中午吃飯的人較多，飯廳經(jīng)常出現(xiàn)排隊的現(xiàn)象，應增加多少個賣飯窗口才能解決這種現(xiàn)象？以上兩個問題大多數(shù)學校都存在這種現(xiàn)狀，到底如何解決呢，通過將數(shù)學建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計，就可以解決類似這些問題。
2.3為參加全國大學生數(shù)學建模競賽做準備
在平時的課程中使學生對數(shù)學建模有了初步的認識，為每年一次的全國大學生數(shù)學建模競賽做好準備工作，使學生更好的將數(shù)學知識應用于實際問題中。去年我校首次參加了全國大學生數(shù)學建模競賽，對于首次參加競賽的民辦院校來說，我們?nèi)〉昧藘?yōu)異的成績，通過參加全國大學生數(shù)學建模競賽，所有指導老師以及參賽學生受益匪淺，有的人這樣來形容自己的感受：一次參賽，終身受益。今年計劃繼續(xù)參賽，并且加大力度，盡量使全校各二級學院的學生都能參與到這項競賽中來，通過平時課程中引入數(shù)學建模思想，為今年的參賽取得更優(yōu)異的成績增加籌碼。
2.4為畢業(yè)論文、畢業(yè)設計做好鋪墊
將數(shù)學建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學，通過課前、課中、課后三部分的引入，已經(jīng)使學生能解決簡單的實際問題，給出自己的解答過程，而數(shù)學建模的答卷不是普通意義上的考試，而是以論文的形式闡述自己的觀點和解答過程。某種意義上說一份數(shù)學建模答卷就是一份畢業(yè)論文、畢業(yè)設計。這樣大大的鍛煉了學生查閱資料的能力，寫作能力，表達能力。參加過數(shù)學建模競賽的學生，在后續(xù)的專業(yè)課學習、畢業(yè)設計（論文）等方面有良好表現(xiàn)，無論是繼續(xù)深造還是走上社會工作崗位都有更強的競爭力。
2.5培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力
創(chuàng)新是21世紀的主旋律，培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的人才是實現(xiàn)科教興國的關(guān)鍵。作為一所民辦高校，創(chuàng)新至關(guān)重要。而傳統(tǒng)的數(shù)學教學非常的枯燥無味，學生缺乏主動性，缺乏應用數(shù)學知識去解決實際問題的能力。而數(shù)學建模思想可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力、聯(lián)想能力、洞察力、數(shù)學語言的表達能力等。
3.對于民辦院校將數(shù)學建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學面臨的問題以及對應措施
我校作為一所民辦院校，各個體系還不夠完善，學生的整體水平相對比較低，把數(shù)學建模思想融入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學中，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，團隊合作能力，還是需要一段時間的。為了更好的把數(shù)學建模思想融入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學中，我們還需做以下的努力：首先學校領(lǐng)導要大力支持這項工作的開展，加大與其它學校在這方面的交流，多向其它兄弟院校學習。其次教師要提高自己的教學水平，拓展自己的知識領(lǐng)域，并在以后的教學中，把數(shù)學建模思想融入到更多課程的教學中，例如高等數(shù)學，線性代數(shù)課程等等。而民辦院校的學生底子稍微差一些，老師在講授的過程中要有足夠的耐心，要對自己的學生有信心。最后學生要從思想上對數(shù)學有一個正確的認識，做到不卑不亢，對于那些對數(shù)學感興趣的學生，學校可以開設數(shù)學實驗，數(shù)學建模等選修課供學生選擇。
4.結(jié)束語
通過大家持之以恒的努力，不僅將數(shù)學建模思想融入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學，還要繼續(xù)將數(shù)學建模思想融入到高等數(shù)學課程的教學以及線性代數(shù)課程的教學。通過數(shù)學教學的改革，不僅可以提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，為學習其它專業(yè)課打下良好的數(shù)學基礎，還可以參加全國大學生數(shù)學建模競賽并取得優(yōu)異的成績?！科]
【參考文獻】
［1］姜啟源.數(shù)學模型(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003：273.
［2］盛驟，等．概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]．北京：高等教育出版社，2002．
［3］洪永成，李曉彬.搞好數(shù)學建模教學提高學生素質(zhì)[J].上海金融學院學報，2004,3.
【關(guān)鍵詞】古典概率 中學教學 探討
遵義學院數(shù)學系同學在各個縣中學實習期間，對所在實習學校進行了教學調(diào)查。重點是調(diào)查概率統(tǒng)計這門課在中學的教學情況。通過調(diào)查他們得出了一致的結(jié)論，概率統(tǒng)計這門課，中學課本上講得較淺，導致學生易學易懂而不易解題。均一致要求作適當?shù)闹R拓展，以適應新形勢的需要。
某同學說：“近幾年高考中，談得比較多的是概率的得分率偏低，特別是古典概率方面的考題”，針對這個問題，他在實習期間，調(diào)查了遵義縣某中學的高三年級800多名學生，從中隨機抽取了50名學生，對概率統(tǒng)計的應用進行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果如下：
從上表中可以清楚看出：比例顯然不符合正態(tài)分布。該同學說：究其原因，依據(jù)同學們的反映，課本上的知識講得較淺，知識面狹窄，從而導致他們易學易懂而不易解，均要求將”等可能事件”這部分內(nèi)容作適當?shù)耐卣埂?/p>
在高考試題中，關(guān)于概率統(tǒng)計的試題也逐漸增加，而且難度超過了普通高中數(shù)學課程的標準。又一同學舉了這樣一個例子：
2005年高考湖北卷文科第21題：某會議室有5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號的燈泡的壽命為1年以上的概率為P1，壽命為2年以上的概率為P2。從使用之日起每滿一年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換。 (I)在第一次燈泡更換工作中，求不需要更換燈泡的概率和更換 2只燈泡的概率；(II)在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；(III)當P1=0.8，P2=0.3時，求在第二次燈泡更換工作中，至少需要更換4只燈泡的概率.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)。
在這道考題中，在求(Ⅱ)的解答時，其過程涉及到要求在第一次未更換燈泡，而在第二次需要更換燈泡的概率。如果設A=“該型號燈泡壽命在一年以上”，B=“該型號燈泡壽命在2年以上”，由題意得：P(A）=P1，P(B)=P2，則P()=1-P2，則P（第1次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡)= P(A )。在求P(A )中，就涉及到獨立與非獨立的問題。在公開發(fā)表的論文中，關(guān)于這一道題的這一步解，就有兩種截然不同的答案。在湖北省教育考試院主辦的《湖北招生考試》2005年6月10日出版的《2005年高考試卷與參考答案》中，認為A與是獨立的，有P(A ）=P(A)P()=P1(1－P2)，而華南師范大學數(shù)學科學院2006年出版的《中學數(shù)學研究》第一期34頁上的文章認為A與非獨立，認為B是A的子集，有P(A )=P1－P2。在這里，我們暫時不討論這兩種解答誰是誰非。大部分高中生在這種試題的面前，是束手無策的。而在高中的課本里，關(guān)于事件的獨立性，僅僅是通過具體的情景中，介紹兩個事件的相互獨立性。課本的要求僅僅是“了解”。所以許多學生在了解了高考試題的難度以后，迫切要求老師在講授概率統(tǒng)計時，作適當?shù)募由钔卣埂?/p>
又一同學在論文“伯努利概型在初等教學應用的拓展”中，闡述了她在遵義市某中學高二年級十一個班，總計七百零九名學生學習概率統(tǒng)計這部分內(nèi)容的大致情況。她發(fā)現(xiàn)學生普遍認為概率統(tǒng)計易學易懂，但不易掌握，“尤其是n重獨立重復試驗中有k次發(fā)生的概率最不易掌握”，該同學把全日制普通高級中學教科書《數(shù)學》（必修、人教版、第二冊B下）關(guān)于伯努利概型的內(nèi)容與大學教科書中有關(guān)內(nèi)容進行了比較。認為“高等數(shù)學的表述及證明為高中教材計算在n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率的計算方法奠定了理論基礎?！弊詈蟮贸鲆粋€結(jié)論：高等數(shù)學中伯努利概型對于高中的n重獨立試驗發(fā)生k次的概率具有理論指導意義。
另一同學利用實習期間，對遵義縣一些中學作了調(diào)查，在畢業(yè)論文“對高中數(shù)學等可能性事件的探討”中說：“在調(diào)查時，我發(fā)現(xiàn)高中生在解決概率問題時，總是容易犯一些分析問題不足的錯誤”。“我認為這是因為學生在最開始學習概率時，對‘等可能性事件的概率’問題沒有能夠深刻地認識理解。”
高中數(shù)學的定義：
一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱一個基本事件，通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成，如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1/n。如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率: P(A)=m/n。大學里，把“等可能性事件的概率”問題歸為有限等可能概型——古典概型，其定義為：設古典概型的所有基本事件為:，事件A含有其中的m個基本事件，則定義事件A的概率，P(A)=m/n。其中n是基本事件的總數(shù)，m是A包含的基本事件數(shù)。然后他根據(jù)高中學生的反映，評價說：“其實，大學里對‘等可能性事件的概率’的定義比中學里的定義還要簡單” 該同學進一步地說：“集合是高中生進入高中后最先學習的數(shù)學知識”，如果把集合的知識重新定義“等可能性事件的概率”，問題會更清楚。下面是他重新下的定義：“如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，那么這n個基本事件就組成一個集合I(I為全集)；且集合I中所有元素出現(xiàn)的可能性都相等，那么每個元素（基本事件）出現(xiàn)的概率都是。如果某個事件A含有m個元素（結(jié)果），即A為全集I的一個子集，那么事件A的概率就為：P(A)=m/n”。
以上就這些同學的調(diào)查，寫的畢業(yè)論文。我們可以看出，同學們這次利用實習，進行了專項調(diào)查，獲得了豐收的碩果。筆者同意他們的看法，初等教育的概率統(tǒng)計部分內(nèi)容，應該作適當?shù)耐卣梗汛髮W的內(nèi)容與中學的內(nèi)容有機結(jié)合起來。
高中數(shù)學課程是義務教育后普通高級中學的一門主要課程，它包含了數(shù)學中最基本的內(nèi)容。是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎課程。高中數(shù)學課程對于認識數(shù)學與自然，數(shù)學與人類社會的關(guān)系，認識數(shù)學的科學價值，文化價值，提高分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎性的作用。高中數(shù)學課程有助于學生認識數(shù)學的應用價值，增強應用意識，形成解決簡單實際問題的能力。高中數(shù)學課程是學習高中物理，化學，技術(shù)等課程和進一步學習的基礎。同時，它為學生的終身發(fā)展，形成科學的世界觀，價值觀奠定基礎，對提高全民族素質(zhì)具有重要意義。
參考文獻
[1]湖北招生考試[J].《2005年高考試題與參考答案》．2005-06-10.
1.進一步細化原有教學計劃，調(diào)整教學內(nèi)容，彰顯專業(yè)特色。
對原有教學大綱及計劃做了仔細的分析與討論，適時調(diào)整課程內(nèi)容，結(jié)合學生所在專業(yè)的特點，精選教學內(nèi)容，進一步細化原有教學計劃。由于各專業(yè)知識體系不同，教師如何講授可以使學生在有限的時間內(nèi)獲取足夠的工程數(shù)學知識，為后繼的專業(yè)課程打下堅實的基礎，需要教師對學生專業(yè)課程的大致內(nèi)容要了解，從而對教學內(nèi)容進行優(yōu)化整合，刪除一些不必要內(nèi)容，增加工程應用實例，進一步細化原有的授課計劃。我院信息工程系的通信專業(yè)、電氣自動化專業(yè)課程是與工程數(shù)學結(jié)合最緊密的專業(yè)，《微波技術(shù)基礎》、《天線技術(shù)基礎》、《數(shù)字信號處理》、《信號與系統(tǒng)》、《信息論》、《數(shù)字信號處理》、《電磁場理論》、《自動控制原理》等課程大量的問題都歸結(jié)為工程數(shù)學和高等數(shù)學的知識。在微波傳輸中傳輸線的矩陣解、矩形波導、園波導等傳輸線方式分析，微波網(wǎng)絡分析中無耗互異網(wǎng)絡特性分析、密碼通信中的加密、解密，微波負載元件、微波連接元件、阻抗匹配元件、功率分配元件等特性分析等問題，都用到了線性方程組求解、求解特征值、特征向量、矩陣的求逆、將矩陣對角化等《線性代數(shù)》的知識。在《信息論》中，信號的輸入與輸出中信道的傳遞概率等問題就是利用《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中離散隨機變量的條件概率、全概率公式、貝葉斯公式等知識?！毒€性代數(shù)》與《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的矩陣理論與樣本均值與方差的結(jié)合用于《圖像處理》中的變換核分析。所以在講解工程數(shù)學這些知識點時要注重解題技巧及如何解決專業(yè)課程的相關(guān)問題，弱化一些工程數(shù)學本身的理論推導。
2.工程數(shù)學理論知識與實際應用（數(shù)學建模）的有效結(jié)合。
在課程中增加數(shù)學實驗教學，像MatLab、Mathematics語言內(nèi)容，結(jié)合專業(yè)背景，設計了幾個實際問題《密碼的設計、解碼與破譯》、《信息的度量與應用》、《交通流問題》。通過實際工程問題建立數(shù)學建模，借助數(shù)學軟件對實際問題進行研究分析，將線性代數(shù)的矩陣論、概率統(tǒng)計中的多元回歸分析及數(shù)據(jù)擬合、誤差分析等工程數(shù)學的知識完美結(jié)合，這樣可以直接將理論教學與數(shù)學實驗相連接，幫助學生及時從實踐中加強對理論的理解，取得了非常好的教學效果。
3.結(jié)合專業(yè)制定合理的考核方式，鼓勵學生進行專業(yè)探索。
隨著教學改革的深入展開，教學內(nèi)容、方法和手段都發(fā)生了變化，因此考試內(nèi)容及方法也應與之相適應?？荚噧?nèi)容要能較為全面地反映教改的效果以及學生對課程知識的掌握情況，更主要的是要能夠有效地體現(xiàn)出學生的綜合素質(zhì)。課題組改變了傳統(tǒng)的“一張卷子是大頭”模式，改變了傳統(tǒng)只參考作業(yè)、課堂表現(xiàn)作為平時成績的方式，在現(xiàn)有考核方式中，顯現(xiàn)了學生在處理專業(yè)問題時運用工程數(shù)學知識的能力，從而更加綜合地測評了學生學習成果。具體如下：（1）在平時成績的評定中，除了常規(guī)的考試方式，任課老師還可以根據(jù)教學內(nèi)容，聯(lián)系相關(guān)的專業(yè)問題設計幾個開放性題目，學生可以根據(jù)興趣選擇題目，查找相關(guān)資料，并對計算的結(jié)果進行數(shù)據(jù)分析，結(jié)合實際給出可行性建議，最后以論文的形式上交，教師給予評分，作為考核成績的一部分。（2）教師采取了綜述報告和科技演講兩個方式進行測試作為學生期末成績的附加分，學生可以自由選擇。綜述報告中能夠深層次地檢測學生對該課程的理解及相關(guān)應用?？萍颊撐难葜v可以很大程度提高學生的學習能力、創(chuàng)新能力、專業(yè)探索能力、實踐能力。
二、結(jié)論
【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計;抽樣調(diào)查;教學改革
1.教學現(xiàn)狀
1.1教材分析
概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門研究隨機現(xiàn)象客觀規(guī)律的學科，由隨機現(xiàn)象的普遍性決定了該學科應用的廣泛性。在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學、科技、經(jīng)濟等領(lǐng)域得到廣泛應用。在國外一些發(fā)達國家，幾乎所有大學生都必須學習該學科。我國也越來越重視該學科的學習。
調(diào)查發(fā)現(xiàn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計所采用的教材，多為茆詩松、程依明、濮曉龍編寫的教材。該教材前四章為概率論部分，主要敘述各種概率分布及其性質(zhì)，后四章為數(shù)理統(tǒng)計部分，主要敘述各種參數(shù)估計與假設檢驗。該教材編寫從實例出發(fā)，圖文并茂，通俗易懂，注重講清楚基本概念與統(tǒng)計思想，強調(diào)各種方法的應用，適合初次接觸概率統(tǒng)計的讀者閱讀。
1.2調(diào)查結(jié)果分析
筆者對周口師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院2011級、2012級、2013級應用統(tǒng)計學專業(yè)學生進行了關(guān)于該課程教學情況的抽樣調(diào)查問卷：共發(fā)放問卷100份，回收100份。調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)：本課程在應用統(tǒng)計學專業(yè)占有重要地位，學生很重視對該課程的學習;授課教師在上課時著重全講細講，忽略培養(yǎng)學生的能動性和參與性，忽略培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，導致學生只知道重要，而不知道如何重要;目前該課程重視理論推導、知識的傳授、課堂教學，不重視應用能力培養(yǎng)和課外實踐，學生在學習過程中普遍感覺困難。因此，如何提高教學效果，培養(yǎng)學生的各方面能力成為了當今地方高校教育改革的重點課題。
1.3教師面臨的問題
對于授課教師來說，也面臨很多問題：教師講課思路沿襲傳統(tǒng)的教學方法，注重邏輯推理;教材中理論部分比重多，相對實用的方法少;實驗條件差，教學遠離計算機，不能配合相應的統(tǒng)計軟件進行教學;新進教師專業(yè)素養(yǎng)不夠高，不能很好的在傳授知識的同時，傳授概率統(tǒng)計思想，對教學造成困難。
2.教學改革及效果
2.1依據(jù)專業(yè)特點，精選教材及教學內(nèi)容
通過對各種概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材對比發(fā)現(xiàn)其內(nèi)容大都包括如下三部分：概率論基礎、數(shù)理統(tǒng)計、輔助軟件。教師在選取教材時應從教材內(nèi)容、例子、習題著手。其中，內(nèi)容應由淺入深，便于理解;例子和習題應接近生活。
2.2聯(lián)系實際，提高學生學習興趣
愛因斯坦有句名言：“興趣是最好的老師?！币虼?，激發(fā)學生學習該課程的興趣，消除學生對學習該課程的恐懼心理至關(guān)重要。首先，開好第一節(jié)課可以通過向?qū)W生介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計的起源、發(fā)展及現(xiàn)狀，激發(fā)學生學習興趣。其次，在教學中引入一些實例進課堂，幫助學生了解問題的實際背景，便于他們理解抽象的理論概念。不僅提高學生對該課程的興趣，而且培養(yǎng)了學生解決實際問題的能力。
2.3結(jié)合多媒體和網(wǎng)絡平臺，拓寬教學空間和時間
“黑板+粉筆”的傳統(tǒng)教學方法已過時，不利于培養(yǎng)學生的思維能力和創(chuàng)新意識。多媒體和網(wǎng)絡技術(shù)開始進入課堂教學。多媒體教學使教學生動形象、豐富多彩、直觀易懂。同時，建立網(wǎng)絡課程平臺，實現(xiàn)資源共享。教師在課下應該建設該課程的課程網(wǎng)頁，連接相關(guān)知識和參考資料，了解最新發(fā)展和動態(tài)。通過課程主頁、web、E-mail等，把教師的講授從課堂拓展到課外，把學生的學習從黑板拓展到網(wǎng)絡，把教學的方式從課堂的面對面拓展到網(wǎng)絡的心對心。要重視統(tǒng)計軟件包的使用，特別要注重概率論與數(shù)理統(tǒng)計的思想與計算機實驗的有機結(jié)合。這不僅有助于學生理解概率統(tǒng)計思想和快速實現(xiàn)論證計算，而且拓寬了教學空間和時間。
2.4將數(shù)學建模思想融入教學過程，提高學生解決實際問題的意識和能力
數(shù)學建模作為數(shù)學與其它學科交叉組合產(chǎn)生的一個新興學科，隨著計算機在生活中的廣泛應用而日益重要。由于隨機現(xiàn)象的普遍性，在該課程中的很多地方可以融入數(shù)學模型，例如體育彩票、保險精算、投資理財?shù)葐栴}。
近幾年，地方院校越來越重視全國大學生數(shù)學建模競賽。分析近些年的題目，競賽涉及的概率統(tǒng)計知識越來越多。由此可見，要使學生更好的掌握概率統(tǒng)計知識，提高解決實際問題的能力，將數(shù)學建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學過程非常重要。
2.5改進考核方法，提高學生學習主動性
公正合理的考核機制，有利于準確評價學生對課程的掌握程度。筆者所在院校采用的考核方法已由純考試成績改為：學生成績=平時成績（30%）+考試成績（70%）。其中，學生平時成績包括作業(yè)情況（20%）、出勤情況（30%）、上課提問情況（50%）;這種考核方法可以全面考核學生的學習情況，并客觀給出成績，提高學生學習主動性。
2.6教學效果
通過各方面的改革，筆者所在學院的學生在全國大學生數(shù)學建模比賽中，表現(xiàn)出很高的興趣并取得不錯的成績。更有一些學生，不僅掌握了知識，而且通過自己進一步整理和深化，寫出了很多優(yōu)秀畢業(yè)論文。
3.結(jié)語
如何開設好概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是一個長期而又復雜的系統(tǒng)工程，需要教師從不同角度和方面去積極地探索。本文通過對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學現(xiàn)狀、教學改革及效果進行探討，給出筆者的一些淺薄觀點，并將在實踐過程中不斷修正完善，希望能夠給各位同仁們提供一些參考。
【參考文獻】
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關(guān)鍵詞：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學安排教學內(nèi)容教學形式
前言
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是研究隨機現(xiàn)象客觀規(guī)律的一門學科，是全國高等院校數(shù)學以及各工科專業(yè)的一門重要的基礎課程，也是全國碩士研究生入學數(shù)學考試的一個重要組成部分。該課程處理問題的思想方法與學生已學過的其他數(shù)學課程有很大的差異，因而學生學起來感到難以掌握。大多數(shù)學生感到基本概念難懂，易混淆、內(nèi)容抽象復雜，難以理解、解題不得法、不善于利用所學的數(shù)學知識和數(shù)學方法分析解決實際問題。為此，筆者從教學安排、教學內(nèi)容、教學形式和考核方法4個方面對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的教學進行了研究和探討。
一、教學內(nèi)容和安排
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的內(nèi)容以及教師授課一般都存在著重理論輕實踐、重知識輕能力的傾向，缺少該課程本身的特色及特有的思想方法，課程的內(nèi)容長期不變，課程設置簡單，一般只局限于一套指定的教材?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計》課程內(nèi)容主要包括3大類：①理論知識。也就是構(gòu)成本學科理論體系的最基本、最關(guān)鍵的知識，主要包括隨機事件及其運算、條件概率、隨機變量、數(shù)字特征、極限定理、抽樣分布、參數(shù)估計、假設檢驗等理論知識，這些是學習該課程必須要掌握的最重要的理論知識。②思維方法。指的是該學科研究的基本方法，主要包括不確定性分析、條件分析、公理推斷、統(tǒng)計分析、相關(guān)分析、方差分析與回歸分析等方法，這些大多蘊涵在學科理論體系中，過去往往不被重視，但實際上對于學生知識的轉(zhuǎn)化與整合具有十分重要的作用。③應用方面?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計》在社會生活各個領(lǐng)域應用十分廣泛，有大量的成功實例。
因此，在課程設置上，不能只局限于一套指定的教材，應該在一個統(tǒng)一的教學基本要求的基礎上，教材建設應向著一綱多本和立體化建設的方向發(fā)展。在教學進度表中應明確規(guī)定該門課程的講授時數(shù)、實驗時數(shù)、討論時數(shù)、自學時數(shù)(在以前基礎上適當增加學時數(shù))，這樣分配教學時間，旨在突出學生的主體地位，促使學生主動參與，積極思考。
二、教學形式
1)開設數(shù)學實驗課教學時可以采用以下幾個實驗：在校門口，觀察每30s鐘通過汽車的數(shù)量，檢驗其是否服從Poisson分布；統(tǒng)計每學期各課程考試成績，看是否符合正態(tài)分布，并標準化而后排出名次；調(diào)查某個院里的同學每月生活費用的分布情況，給出一定置信水平的置信區(qū)間；隨機數(shù)的生成等等。通過開設實驗課，可以使學生深刻理解數(shù)學的本質(zhì)和原貌，體味生活中的數(shù)學，增強學生興趣，培養(yǎng)學生的實際操作能力和應用能力。
2)引進多媒體教學多媒體教學與傳統(tǒng)的教學法相比有著不可比擬的優(yōu)勢。一方面，多媒體的動畫演示，生動形象，可以將一些抽象的內(nèi)容直觀地反映出來，使學生更容易理解，同時增強了教學趣味性。如在學習正態(tài)分布時，可以指導學生運用Matlab軟件編寫程序，在圖形窗口觀察正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)隨參數(shù)變化的規(guī)律，從而得出正態(tài)分布的性質(zhì)。另一方面，由于概率統(tǒng)計例題字數(shù)較多，抄題很費時間。制作多媒體課件，教師有更多的精力對內(nèi)容進行詳細地分析和講解，增加與學生的互動，增加課堂信息量。對于教材中的重點、難點、復習課、習題課等都可制作成多媒體課件形式，配以適當?shù)姆酃P教學，這樣既能延續(xù)一貫的聽課方式，發(fā)揮教師的主導作用，又能充分體現(xiàn)學生的認知主體作用。比如在概率部分，把幾個重要的離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量的分布率、概率密度、期望、方差等列成表格；在統(tǒng)計部分，將正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間，假設檢驗問題的拒絕域列成表格形式，其中所涉及到的重要統(tǒng)計量的分布密度函數(shù)用圖形表示出來。這樣，學生覺得一目了然，通過讓學生先了解圖形的特點，再結(jié)合分位數(shù)的有關(guān)知識，找出其中的規(guī)律，理解它們的含義及聯(lián)系，加深了學生對概念的理解及方法的運用，以便更容易記住和求出置信區(qū)間和假設檢驗問題的拒絕域。這樣，不僅使學生對概念的理解更深刻、透徹，也培養(yǎng)了學生運用計算機解決實際問題的能力。
3)案例教學，重視理論聯(lián)系實際《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是從實際生產(chǎn)中產(chǎn)生的一門應用性學科，它來源于實際又服務于實際。因此，采取案例教學法，重視理論聯(lián)系實際，可以使教學過程充滿活力，學生在課堂上能接觸到大量的實際問題，可以提高學生綜合分析和解決實際問題的能力。如講授隨機現(xiàn)象時，用拋硬幣、元件壽命、某時段內(nèi)經(jīng)過某路口的車輛數(shù)等例來說明它們所共同具有的特點；講數(shù)學期望概念時，用常見的街頭用隨機摸球為例，提出如果多次重復地摸球，決定成敗的關(guān)鍵是什么，它的規(guī)律性是什么等問題，然后再講數(shù)學期望概念在產(chǎn)品檢驗及保險行業(yè)的應用，就能使學生真正理解數(shù)學期望的概念并能自覺運用到生活中去；又如講授正態(tài)分布時，先舉例說明正態(tài)分布在考試、教育評估、企業(yè)質(zhì)量管理等方面的應用，然后結(jié)合概率密度圖形講正態(tài)分布的特點和性質(zhì)，讓同學們總結(jié)實際中什么樣的現(xiàn)象可以用正態(tài)分布來描述，這樣能使學生認識到正態(tài)分布的重要性及其應用的廣泛性，從而提高學生的學習積極性，強化學生的應用意識。
另外，也可選擇一些具有實際背景的典型的案例，例如概率與密碼問題、敏感問題的調(diào)查、血液檢驗問題等等。通過對典型案例的處理，使學生經(jīng)歷較系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，在此過程中學習一些數(shù)據(jù)處理的方法，并運用所學知識和方法去解決實際問題。
三、考核方法
考試是一種教學評價手段?，F(xiàn)在學生把考試本身當作追求的目標，而放棄了自身的發(fā)展愿望，出現(xiàn)了教學中“教”和“學”的目的似乎是為了“考”的奇怪現(xiàn)象。有些院校概率統(tǒng)計課程只有理論課，沒有實驗課，其考試形式是期末一張試卷定乾坤，雖然有平時成績，主要以作業(yè)和考勤為主，占的比率比較小(一般占2O)，并且學生的作業(yè)并不能真實地反映學生學習的好壞，使得教師無法真正地了解每個學生的學習情況，公平合理地給出平時成績。而這種單一的閉卷考試也很難反映出學生的真實水平。
所以，我們首先要加強平時考查和考試，每次課后要留有作業(yè)、思考題，學完每一章后要安排小測驗，在概率論部分學完后進行一次大測驗。其次注重科學研究，每個學生都要有平時論文，學期論文，以此來檢查學生掌握知識情況和應用能力．此外還有實驗成績。最后是期末考試，以A、B卷方式，采取閉卷形式進行考試。將這4個方面給予適當?shù)臋?quán)重，以均分作為學生該門課程的成績。成績不及格者．學習態(tài)度好的可以允許補考。否則予以重修。分數(shù)統(tǒng)計完后，對成績分布情況進行分析，通過總體分布符合正態(tài)分布程度和方差大小判斷班級的總體水平，并對每道題的得分情況進行分析，評價學生對每個知識點的掌握情況和運用能力，找出薄弱環(huán)節(jié)，以便對原教學計劃進行調(diào)整和改進?？傊?，通過科學的考核評價和反饋，促進教學質(zhì)黽不斷改進和提高。
[參考文獻]
1.1.1醫(yī)學圖像處理的特點及重要性
醫(yī)學圖像處理技術(shù)包括很多方面,如:圖像恢復、圖像重建、圖像分割、圖像提取、圖象融合、圖象配準、圖像分析、圖像識別等等。進行醫(yī)學圖像處理的最終目的是實際應用于醫(yī)學輔助、工業(yè)區(qū)生產(chǎn)、科學研究等方面,所以其具有較廣泛的應用價值和研究意義。醫(yī)學圖像處理的對象是各種不同模態(tài)的醫(yī)學影像。在醫(yī)學臨床的使用中,醫(yī)學影像主要有超聲波(UI)、X-射線(X-CT)、核磁共振成像(MRI)、核醫(yī)學成像(NMI)等。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展,醫(yī)學影像技術(shù)已成為一門新興交叉學科,目前是計算技術(shù)與醫(yī)學結(jié)合技術(shù)中發(fā)展最快的領(lǐng)域之一。借助有力的醫(yī)學圖像處理技術(shù)手段,極大的改善了醫(yī)學影像的質(zhì)量和顯示方法,其成果使臨床醫(yī)生能更直接、更清晰地觀察人體內(nèi)部組織及病變部位,確診率也得到了提高。這不僅使醫(yī)學臨床診斷水平在現(xiàn)有的醫(yī)療設備的基礎上得到極大地提高,并且能使醫(yī)學研究與教學、醫(yī)學培訓、計算機輔助臨床外科手術(shù)等實現(xiàn)數(shù)字化應用,從而為醫(yī)學研究與發(fā)展提供堅實的基礎,在醫(yī)學應用中具有不可估量的實用價值。
醫(yī)學圖像與普通圖像相比,具有以下幾方面的特點(1)醫(yī)學圖像具有灰度上的含糊性。表現(xiàn)為兩方面:一方面是由于成像技術(shù)上的原因帶來的噪聲擾,往往使物體邊緣的高頻信號被模糊化;另一方面,由于人體組織的螺動等現(xiàn)象會造成圖像在一定程度上產(chǎn)生模糊效應。(2)局部體效應。處于邊界上的像素中,通常同時包含了邊界和物質(zhì),使得難以精確地描述圖像中物體的邊緣、拐角及區(qū)域間的關(guān)系,加之假如出現(xiàn)病變組織,則其會侵襲周圍正常組織,導致其邊緣無法明確界定。
1.2論文的研究目標及工作
1.2.1論文主要涉及的三方面基礎理論
論文主要涉及馬爾科夫隨機場(MRF)理論、模糊集理論及Dempster-shafe證據(jù)理論三個方面的基礎理論,下面分別作介紹:1)馬爾科夫隨機場(MRF)理論基于隨機場的圖像分割方法是一類考慮像素點間的空間關(guān)聯(lián)性的統(tǒng)計學方法。其實質(zhì)是從統(tǒng)計學的角度出發(fā),將圖像中各像素點的灰度值看作是具有一定概率分布的隨機變量,從而對數(shù)字圖像進行建模。Cristian Lorenz等人,在醫(yī)學圖像分割中提出了一種可應用于任意拓撲結(jié)構(gòu)的新型統(tǒng)計模型。根據(jù)馬爾科夫隨機場圖像模型,利用最大后驗概率準則(MAP),提出一種迭代松弛算法。MRF模型能夠區(qū)分不同紋理的分布,其特別適用于紋理圖像的分割。但使用MRF模型進行分割的關(guān)鍵問題在于參數(shù)估計,所以分割的效果往往取決于對參數(shù)估計的準確度。為此通常在分割與參數(shù)估計間進行輪流迭代計算,例如:先初始化參數(shù),在此基礎上分割,再利用分割的結(jié)果對參數(shù)進行進一步的估計,然后再分割,如此直到滿足收斂條件。然而此類方法只能利用單一的圖像信息,不能綜合利用多種圖像信息。
第二章馬爾科夫隨機場(MRF、理論及其應用
馬爾科夫隨機場簡稱,是英文Morkov Random Fields的縮寫。它包含了兩層意思:一個是馬爾科夫(Morkov)性質(zhì);一個是隨機場性質(zhì)。它是基于統(tǒng)計學的分割方法在醫(yī)學圖像分割的應用中,最為常用的一種方法。圖像具有高度的空間信息相關(guān)性,而馬爾科夫隨機場(腫)恰好具有有效描述空間信息相關(guān)性的特點,加之其具有完善的數(shù)學理論和性質(zhì),所以廣泛的被應用于圖像的處理中,如:圖像的恢復、紋理的提取、模板的匹配和圖像的分割等。娜于圖像的分割,對噪聲有很好的抑制作用;同時是基于模型的方法,所以容易與其它方法結(jié)合是它的優(yōu)點。在本文中主要用于腦部—圖像的預處理及前期的分割。下面介紹馬爾科夫隨機場(MRF )的基本理論及其在本文中的應用。
2.1馬爾科夫隨機場CMRF )基本理論
2.1.1一維馬爾科夫(MARKOV)隨機過程
過程(或系統(tǒng))在Zg時刻(即? = /q)的狀態(tài)己知,若過程在/Q后面的時刻,即的狀態(tài)與過程在時刻之前(即
2.2圖像中馬爾科夫隨機場、MRF )模型的建立
2.2.1鄰域系統(tǒng)與勢團(Cliques)
由本文2.1.2小節(jié)中馬爾科夫隨機場(娜)的定義中,任何滿足條件1)非負性的概率都由條件2)中的描述馬爾科夫(MARKOV)性的條件概率所唯一確定。條件2)中的條件概率所描述的也稱為隨機場F (本文中也即數(shù)字圖像)的局部特性。而條件2)中的條件概率的直接求得是很困難的,由概率論中條件概率的公式可知要求的尸C/i 需要知道即需要知道隨機場的聯(lián)合分布,而馬爾科夫隨機場)是用條件概率來定義的,不能很好反映的聯(lián)合分布。也就意味著由馬爾科夫隨機場(MRF )的局部特性來定義整個場的全局特性是存在困難的。以上問題的解決要歸功于Hammersley-Clifford定理,該定理給出了馬爾科夫隨機場隨機場(MRF )與吉布斯隨機場(GRF )的等價關(guān)系,從而可以用吉布斯(Gibbs)分布來求解中的概率分布問題。
1.1論文研究的目的和意義………………1
1.1.1醫(yī)學圖像處理的特點及重要性……………… 1
1.1.2醫(yī)學圖像分割中存在的問題、現(xiàn)狀及發(fā)展………2
1.1.3醫(yī)學圖像分割的方法………………
1.2論文的研究目標及工作………………6
1.3本文組織結(jié)構(gòu)………………9
第二章馬爾科夫隨機場(MRF、理論及其應用………………11
2.1馬爾科夫隨機場、MRF )基本理論……………… 11
2.2圖像中馬爾科夫隨機場QMRF )模型的建立………12
2.3估計準則與優(yōu)化算法………………16
2.4本章小結(jié)………………19
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1.1 對2006，2007，2008年各年碩士生論文選題與開題進行總體評價。包括各專業(yè)的評價和各年的總體評價。
1.2 對2006，2007，2008年各年碩士論文評分的評價。包括各專業(yè)與各年的總體評價。
1.3 對各專業(yè)、各年碩士論文選題開題與論文得分之間的相關(guān)性進行分析，你從中得出什么結(jié)論？
1.4 對2006，2007，2008年復審（畢業(yè)后的重新評閱）論文的評價。包括各專業(yè)與各年的總體評價。
1.5 對碩士畢業(yè)前后論文的評分結(jié)果進行分析，你得出什么樣的評論。說明你的觀點與結(jié)論。對此你有什么建議。
2 問題分析
該題目解決的關(guān)鍵是建立合理的評價尺度函數(shù)，將題中所給的評價等級轉(zhuǎn)化為相應的量化分數(shù)。再應用excel表本身的統(tǒng)計功能或其他統(tǒng)計軟件加以統(tǒng)計匯總。根據(jù)各專業(yè)各年級的匯總結(jié)果給出相應的評價。并根據(jù)評價結(jié)果分析原因，提出改進方案。
3 模型假設
3.1 假設題目所給的數(shù)據(jù)真實可靠。
3.2 假設評委的評分都是按照表3的要求進行評分的。
3.3 假設問題三中碩士生得分受到隨機因素的干擾服從零均值的正態(tài)分布。
3.4 假設參與盲審教授水平和人格基本一致。
4 模型建立與求解
4.1 問題一的回答 根據(jù)題目給出選題、開題的評價尺度函數(shù)，如選題評價函數(shù)可表為f（X）=n1 X=1n2 X=2n3 X=3n4 X=4，其中X為選題評價等級，X=1表示有理論價值，X=2表示有應用價值，X=3表示有理論和應用價值，X=4表示有什么價值。分析其含義可知，不能把X=3看成前來者的簡單疊加，從現(xiàn)實角度講，理論與實踐二者占一就應該被肯定。所以最低應將前兩者定為合格，而且二者大體相等，也可進一步假設當前的科學研究更傾向于應用研究而使其分值稍高；或者由于研究者傾向于應用而更應該鼓勵理論研究，故使理論分值相應提高。對于X=3的情形可視為錦上添花，至少應在良好等級以上。而X=4應定為不及格。由于所選擇的評價尺度不同，量化結(jié)果可能會有所不同，但大體結(jié)論應差不多。例如n1、n2取合格和良好的中點75，n3取良好和特優(yōu)的中點85，n4=50。然后可直接調(diào)用excel的if函數(shù)編輯上述分段函數(shù)，例如IF（R2=3，85，IF（R2=4，50，75））。那么各專業(yè)、各年的分可輕易獲得，對其進行評價就要消除人數(shù)因素，可取其平均得分所在等級進行整體評價，如按照我們的標準，專業(yè)1在2006年平均選題得分為82.8，2007年85，2008年為82，都處在良好以上。
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【關(guān)鍵詞】概率論；統(tǒng)計學；隨機游戲；中心極限定理；概率論公理體系
概率論和統(tǒng)計學是研究自然界中大量隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門科學。隨機現(xiàn)象是客觀世界中廣泛存在的一類自然現(xiàn)象，它具有三個特點：（1）一次觀測的不確定性；（2）大量觀測具有統(tǒng)計規(guī)律性；（3）每次觀測結(jié)果可數(shù)據(jù)表示。概率論從數(shù)學觀點研究隨機現(xiàn)象的基本性質(zhì)；統(tǒng)計學從搜集到的隨機數(shù)據(jù)，估計或推斷隨機現(xiàn)象的基本特性，這兩本學科已經(jīng)形成一門理論嚴謹，應用廣泛，發(fā)展迅速，方法獨特的數(shù)學分支。
1 賭博中的問題、隨機游戲――概率論的起源
概率論創(chuàng)立于17世紀，但它的思想萌芽一般來說始于意大利文藝復興時代，最先引起數(shù)學家們注意的則是賭博中的問題。15世紀意大利和法國賭博盛行，而且賭法復雜，賭注量大。一些職業(yè)賭徒，為求增加獲勝的機會，迫切需要計算獲勝的思路，如意大利貴族請?zhí)煳膶W家伽利略（1564-1642）解釋下列問題：擲三個篩子，出現(xiàn)9點與10點的各種六種不同組合法，但在經(jīng)驗上，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)10點的次數(shù)多于9點，是何緣故？伽利略給出了使對方信服的答復：
三個骰子各面點數(shù)構(gòu)成總和為9的各種組合：1、2、6；1、3、5；1、4、4；2、2、5；2、3、4；3、3、3；而組合等于10的各種組合為：1、3、6；1、4、5；2、2、6；2、3、5；2、4、4；3、3、4.。而各種組合出現(xiàn)的機會并非相等。例如，3、3、3只有一種途徑擲出；而3、3、4則有三種不同途徑擲出；這樣，9可有25種不同途徑擲出；10則有27種不同途徑擲出。這一解答成為概率論應用題的首次成果。
另一位法國賭徒梅耳提出了一個擲骰子中的難題：擲一粒骰子4次至少出現(xiàn)一個6的機會要比擲兩粒骰子4次至少出現(xiàn)一對6的機會更大些，這是否成立？這就是有名的“梅耳猜想”。他拜請法國數(shù)學家帕斯卡（1623-1662）來解答，這一問題引起了帕斯卡和他的朋友費馬的極大興趣，經(jīng)過多次通信研究，于1654年對此問題獲得一般的解法，肯定了“梅耳猜想”是對的，并奠定了近代概率論和組合分析基礎。
16世紀意大利數(shù)學家卡當曾計算過擲兩顆或三顆骰子時，出現(xiàn)某個點數(shù)的可能性的大小，并討論了博弈中有限個等可能的情況問題。他的研究成果集中體現(xiàn)在他的《論賭博》一書中，由于賭博中的概率問題最為典型，因此，從這個問題開始研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，便成為當時數(shù)學研究的一個重要課題，但這時期對博弈問題討論的思想方法尚未形成獨立的數(shù)學內(nèi)容。
2 社會保險與社會實踐的需要――概率論的發(fā)展
概率論發(fā)展的直接動力在于實踐中應用，特別是社會保險中的需要。17世紀資本主義工業(yè)和商業(yè)的興起和發(fā)展，是社會保險應運而生，各種意外事件發(fā)生的概率，如火災、水災等，這就大大刺激了對概率問題的研究。也正是對這些問題的研究，推動了數(shù)學的發(fā)展，是一門嶄新的數(shù)學學科――概率論的誕生。其中做出突出貢獻的數(shù)學家有帕斯卡、費馬、伯努利、棣莫弗等人。如帕斯卡、費馬基于排列組合的方法，討論了賭博中的賭注分配問題，為古典概率的形成提供了思想基礎，帕斯卡在他的《論算術(shù)三角形》中用組合數(shù)學方法計算只涉及有限個基本條件的概率問題，稱為組合概率。1657年荷蘭物理學家惠更斯發(fā)表了《論賭博中的推理》的重要論文，提出了數(shù)學期望的概念。伯努利把概率論的發(fā)展向前推進了一步，于1713年出版了《度術(shù)》，指出概率是頻率的穩(wěn)定值。他第一次闡明了大數(shù)定律的意義。在單一的概率與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計度量之內(nèi)建立了關(guān)系，為概率論推向更廣泛的應用領(lǐng)域奠定了理論基礎。
概率論的諸多重要定理是在18世紀提出和建立起來的，例如，1718年法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)表了重要著作《機遇原理》書中敘述了概率乘法公式和復合事件概率的計算方法，并在1733年發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布密度函數(shù)，但他沒有把這一結(jié)果應用到實際數(shù)據(jù)中。法國數(shù)學家拉普拉斯將棣莫弗的結(jié)果推廣到一般的情形。即現(xiàn)在所指的棣莫弗―拉普拉斯定理，這是概率論中的第二個基本定理，拉普拉斯對概率的意義如何抽象化做出了杰出的貢獻，提出了概率的古典定義，并把概率論有效的應用到人口統(tǒng)計學等社會各領(lǐng)域，他的著作有《分析概率》和《概率的哲學探討》。在《分析概率》中，拉普拉斯不僅實現(xiàn)了概率方法上的革命，而且系統(tǒng)整理了18世紀之前概率論所處理過的所有重要的問題。德國數(shù)學家高斯發(fā)展了誤差理論，并提出了最小二乘法。一些數(shù)學家開始注意把等可能思想推廣到含有無數(shù)個可能性的情況，從而產(chǎn)生了幾何概率。法國數(shù)學家蒲豐在其《或然算術(shù)問題》中提出了有名的“蒲豐問題”。對這一問題的研究導致了著名的蒙特卡洛方法的產(chǎn)生。泊松提出了一種重要的概率分布――泊松分布。
3 中心極限定理與概率論公理體系的建立
到19世紀末，概率論的主要研究內(nèi)容已基本形成，但有兩個問題從理論上沒有解決：
一是概率論的公理體系；二是中心極限定理成立的條件。1928年原蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫戈洛夫總結(jié)前人之大成，提出了概率論公理體系即概率的公理化定義，給出了柯爾莫戈洛夫不等式，這是證明大數(shù)定律的重要工具。
概率論里所說的極限定理，主要研究隨機變量序列的各種收斂性問題，其中包括兩種類型定理：一是大數(shù)定律；二是中心極限定理。中心極限定理的名稱是美國數(shù)學家波利亞1920年提出的。歷史上最初的中心極限定理是討論n重伯努利試驗中，條件A出現(xiàn)的次數(shù)漸進于正態(tài)分布的問題。中心極限定理早在1730年棣莫弗就研究過。隨后拉普拉斯用了將近20年的時間研究獨立隨機變量及分布，提出了其極限分布是正態(tài)分布，然而他的證明不夠嚴格。數(shù)學家李亞普諾夫于1901年給出了嚴格的證明，在證明過程中他提出了特征函數(shù)這一非常有用的工具，自1901年起許多人在這方面做過工作，主要目標是研究使中心極限定理成立的最廣泛條件，直到1922年才有突破性進展。林德伯爾格提出了以他的名字命名的條件，到1935年美國數(shù)學家南斯拉夫―費勒發(fā)現(xiàn)：在獨立隨機變量數(shù)列情況下，這個條件不僅是充分條件，甚至在一定條件下還是必要的。
4 各種隨機過程的形成與概率論的現(xiàn)代應用
自20世紀初開始，隨著生產(chǎn)和科學技術(shù)中的概率問題的大量出現(xiàn)，概率論得以迅速發(fā)展，并不斷誕生出一系列新的分支理論，其理論方法在科學技術(shù)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及國民經(jīng)濟各部門日益受到更廣泛的應用。當代概率論的研究方向主要是隨機過程，隨機過程是研究無窮多個隨機變量的集合，它是現(xiàn)實世界中隨時間變化的隨機現(xiàn)象的數(shù)學抽象，如某地區(qū)每年的降雨量；百貨公司每天接待顧客人數(shù)等，隨機過程的發(fā)展與力學體系理論有密切的關(guān)系，馬爾可夫推廣了大數(shù)定律和中心極限定理的應用范圍，奠定了隨機過程的發(fā)展基礎，他提出的馬爾可夫過程，是現(xiàn)代概率論的基本內(nèi)容。在理論物理、化學和其他方面有著廣泛應用。（下轉(zhuǎn)第224頁）
（上接第179頁）早在20世紀30年代末至50年代初，著名數(shù)學家杜布和萊維就創(chuàng)立了鞅論。鞅論理論的發(fā)現(xiàn)不僅成為隨機過程中最活躍的分支之一，而且還愈來愈廣泛地應用于馬氏過程、點過程、估計理論、隨機控制等理論分支及其應用領(lǐng)域。另外，隨機過程與基礎學科相結(jié)合，又產(chǎn)生了一些新的邊沿分支，如與微分方程、數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)論、幾何、計算數(shù)學等相結(jié)合，便產(chǎn)生了隨機微分方程、隨機過程統(tǒng)計、幾何概率、計算概率等新分支。這樣，當代概率論的研究方向大致可分為極限理論、馬爾可夫過程、獨立增量過程、平衡過程、鞅論和隨機微分方程、數(shù)理統(tǒng)計學等。
【參考文獻】
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