時(shí)間：2023-09-20 18:19:25
導(dǎo)語：在高數(shù)指數(shù)函數(shù)的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
一、求分段函數(shù)的函數(shù)值
所謂分段函數(shù)，即在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式。顯然，求分段函數(shù)的函數(shù)值重在考查分段函數(shù)的概念，求分段函數(shù)的函數(shù)值主要從以下兩種類型上展開。
例1：（2011年高考陜西卷文科）設(shè)f（x）=lgx,x>010x,x≤0，則f（f（-2））= .
【答案】-2
【解析】f（f（-2））=f（10-2）=f（■）=lg■=-2
【說明】這類題型是求分段函數(shù)函數(shù)值的經(jīng)典題型，求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，首先應(yīng)確定自變量在定義域中所在的范圍,然后按相應(yīng)的對應(yīng)法則求值。f（x）是分段函數(shù),要求f{f[f（a）]}需確定f[f（a）]的取值范圍,為此又需f（a）確定取值范圍,然后根據(jù)其所在定義域代入相應(yīng)的解析式,逐步求解。
例2：（2009年高考山東卷理科）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=log2（1-x）,x≤0f（x-1）-f（x-2）,x>0，則f（2009）的值為( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】C
【解析】由已知得f（-1）=log2=1,f（0）=0,f（1）=f（0）-f（-1）=-1,f（2）=f（1）-f（0）=-1,f（3）=f（2）-f（1）=-1-（-1）=0,f（4）=f（3）-f（2）=0-(-1),f（5）=f（4）-f（3）=1,f（6）=f（5）-f（4）=0,由于函數(shù)f（x）的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn),所以f（2009）=f（5）=1,故選C。
【說明】本題作為命題看似考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對數(shù)的運(yùn)算，但本質(zhì)是考查分段函數(shù)的周期性，利用的方法是枚舉去尋找規(guī)律。
二、分段函數(shù)與不等式
分段函數(shù)本身蘊(yùn)含著分類討論與數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法，而解不等式有時(shí)又伴隨著參數(shù)的問題，這也會用到分類討論與數(shù)形結(jié)合思想。如果把分段函數(shù)與不等式相結(jié)合將能更好地體現(xiàn)這一思想方法。
例3：（2009年高考天津卷理科)已知函數(shù)f（x）=x2+4x, x≥04x-x2, xf（a）則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.（-∞,-1）∪（2,+∞） B.（-1,2）
C.（-2,1） D.（-∞,-2）∪（1,+∞）
【答案】C
【解析】由題知f(x)在R上是增函數(shù)，因而2-a2>a，解得-2
【說明】本小題考查分段函數(shù)的單調(diào)性運(yùn)用以及一元二次不等式的求解。
例4：（2010年高考天津卷理科）設(shè)函數(shù)
f（x）=log2x x>0log■（-x） xf（-a）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（-1，0）∪（0，1） B.（-∞，-1）∪（1,+∞）
C.（-1，0）∪（1,+∞） D.（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】當(dāng)a>0時(shí)，由f（a）>f（-a）得：log2a>log■a,即log2a>
log2■,即a>■，解得a>1；當(dāng)af（-a）得：log■（-a）>log2（-a），即log2(-■)>log2（-a），即-■>-a，解得-1
【說明】本小題考查函數(shù)求值、不等式求解、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查分類討論的基本解題方法。
三、分段函數(shù)與方程的根
方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)是一一對應(yīng)的，在新課標(biāo)教材中，這是一個(gè)基礎(chǔ)的知識點(diǎn)，其中的含參問題目更是高考熱點(diǎn)，解決含參問題目主要也是利用數(shù)形結(jié)合來探根。
例5：（2011年高考北京卷理科）已知函數(shù)f（x）=■,x≥2（x-1）3,x
【答案】（0，1）
【解析】畫出函數(shù)圖像與直線y=k,觀察,可得結(jié)果,考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
【說明】（1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),只有一個(gè)圖像,作圖時(shí)只能在同一坐標(biāo)系中,而不能將各段函數(shù)分別作在不同的坐標(biāo)系中。
【關(guān)鍵詞】：函數(shù)；值域；教學(xué)
[Abstract]: function is an important part of high school mathematics "function of the three elements" in the mathematics examination papers in the conception, content, is one of the important content of essential mathematics review, in the high school mathematics teaching. Selected teachers teaching in the process of teaching method, students are absorbed to consolidate the knowledge, an important way to improve skills.
[keyword]: function ；range; teaching
中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2095-2104（2013）
高中數(shù)學(xué)的函數(shù)知識，是數(shù)學(xué)高考的必考內(nèi)容，其內(nèi)容多，題型靈活多變，為求其值域，有時(shí)頗有一定的困難。但按其類型、依據(jù)其特點(diǎn)、探究其規(guī)律，仍可提出各種不同的求法。本文僅以最為常見的函數(shù)為線索提出其值域的十二種求法：
一、觀察法：通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。
問題1：求函數(shù)(a、b、c為常數(shù)，且)的值域。
分析：由算術(shù)根的性質(zhì)，可得
故：，即：
所以：函數(shù)的值域?yàn)?/p>
問題2：求函數(shù)，的值域
分析：通過觀察，可得：
故函數(shù)y的值域?yàn)?/p>
二、配方法：對于求形如的函數(shù)的值域，可作代換，得代入函數(shù)關(guān)系式，即可化為關(guān)于的二次函數(shù)，但應(yīng)注意t的取值范圍：。
問題1：求函數(shù)的值域
解：令，，則
代入原函數(shù)關(guān)系式并化簡得：
配方，得：
當(dāng)
此時(shí)函數(shù)無最小值，故原函數(shù)的值域?yàn)?/p>
問題2：求函數(shù)的值域
解：由
故原函數(shù)有最小值
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值0
故原函數(shù)有最大值
所以原函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>
三、反函數(shù)法：當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，其反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域。特別地，形如的函數(shù)都可應(yīng)用此法求解。
問題1：求函數(shù)的值域
解：顯然函數(shù)的反函數(shù)為，要使其反函數(shù)成立，則必須，即其反函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
故原函數(shù)y的值域?yàn)椋?/p>
問題2：求函數(shù)的值域
解：由原函數(shù)的解析式變形得：
即，進(jìn)而可知其反函數(shù)為：
由于，即其反函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
故原函數(shù)的值域?yàn)?/p>
四、判別式法：把函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程F，由于方程有實(shí)根，故判別式，從而求得原函數(shù)的值域。常適用于形如：（不同時(shí)為0）和的函數(shù)。
問題1：求函數(shù)的值域
解：將函數(shù)變形成關(guān)于x的二次方程
，當(dāng)y＝1時(shí)，此方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)，即：，解之得：，，故函數(shù)y的值域?yàn)?/p>
問題2：求函數(shù)的值域
解：移項(xiàng)后兩邊平方，得：，展開并化簡整理成關(guān)于x的二次方程，，由于x是實(shí)數(shù)，故判別式。
即：，解之得
又，且對一切成立
故應(yīng)舍去，取
因此函數(shù)y的值域?yàn)?/p>
五、換元法：運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。形如：的函數(shù)的值域常用此法求。對于含有結(jié)構(gòu)的函數(shù)，均可利用三角代換，令，或令，，代換中要嚴(yán)格掌握代換的三角函數(shù)的值域要與被代換變量的取值范圍一致。
問題1：求函數(shù)的值域
解：（換元法），令
當(dāng)，即：時(shí)，函數(shù)y有最大值，
又由于，即：，故函數(shù)無最小值
所以，函數(shù)y的值域?yàn)?/p>
問題2：求函數(shù)的值域
解：（三角代換）考慮到函數(shù)y的定義域?yàn)?，即：，故原函數(shù)變形為：
，顯然函數(shù)是連續(xù)的，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)y有最大值，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)y有最小值，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的值是y=1
故函數(shù)的值域?yàn)?/p>
問題3：求函數(shù)的值域
解：函數(shù)y的定義域?yàn)椋海?/p>
原函數(shù)變形為：
即：
即：，當(dāng)
= =時(shí)，
當(dāng)時(shí)，有：
，此時(shí)
故：函數(shù)y的值域?yàn)?/p>
六、輔助角公式法，利用公式,其中角所在象限由a,b的符號確定，角的值由確定，由，即可求得y的值域。
問題：求函數(shù)的值域
解：將原函數(shù)關(guān)系式化為：
，再利用公式化為：
，其中
即：，且
化簡整理得：，解得：
故原函數(shù)的值域?yàn)?/p>
七、復(fù)變量代換法：利用復(fù)數(shù)公式+…+
求函數(shù)的值域。注意代換時(shí)要使為定值。
問題：求函數(shù)的值域
解：將函數(shù)解析式變?yōu)椋?/p>
令復(fù)數(shù)，則：
，故有：，
，再進(jìn)行代換，得：
故函數(shù)y的值域?yàn)?/p>
八、基本不等式法：利用算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的基本不等式，求得函數(shù)的值域，這時(shí)要注意條件“一正二定三相等”，即：①；②為定值；③取等號條件。從而推出函數(shù)取得最大（?。┲?。
問題：求函數(shù)的值域
解：
由幾個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)知：
＝
顯然，要使等號成立，只需方程：有解
因此，函數(shù)可取到最小值
故函數(shù)的值域?yàn)?/p>
九、單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域。形如：的函數(shù)的值域均可使用此法求解；對形如函數(shù)均為常數(shù)，且，也可用此法求解，即主要看與是否同號，若同號用單調(diào)性法求值域，若異號則用換元法求值域。
問題1：求函數(shù)的值域
解：原函數(shù)解析式變?yōu)椋?/p>
令，故不能使用不等式法
但是時(shí)為增函數(shù)
故函數(shù)y的值域?yàn)?/p>
問題2：求函數(shù)的值域
解：設(shè)
均為增函數(shù)
在定義域上單調(diào)遞增
即：函數(shù)y的值域?yàn)?/p>
十、求導(dǎo)法：利用函數(shù)在其定義域上的可導(dǎo)性，對其函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而求函數(shù)的值域。
問題1：當(dāng)時(shí)，曲線由兩方程給出：
，求函數(shù)的最大值與最小值
分析：最值就是極值和區(qū)間端點(diǎn)值中的最大或最小函數(shù)值。
解：，其y的一階導(dǎo)函數(shù)為：
解得：
因?yàn)椋?/p>
又時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
故函數(shù)y的最大值，最小值
問題2：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值。
解：
令：
在區(qū)間上在區(qū)間上，
時(shí)，取最大值；又
的最小值為：-17
十一、參數(shù)方程法：對于用二元不等式表示的題設(shè)條件，常引入?yún)⒆兞?，將不等式化為等式，并給出參數(shù)的范圍，然后將等式化為參數(shù)方程，求得函數(shù)的值域。
問題1：已知：，求函數(shù)的值域
解：設(shè)（其中k為參變數(shù)，且），則方程的參數(shù)方程為：代入函數(shù)關(guān)系式中得：
即：
即：函數(shù)z的值域?yàn)?/p>
十二、轉(zhuǎn)化法和數(shù)形結(jié)合法
(一)轉(zhuǎn)化法：對于求形如的函數(shù)值域，可設(shè)
將求函數(shù)Z的值域轉(zhuǎn)化為求斜率的取值范圍
問題：求函數(shù)的最大值和最小值（人教版，全日制普通高級中學(xué)《數(shù)學(xué)》教科書（必修）第二冊（上）第82頁第11題）。
分析：可以看成兩點(diǎn)連線的斜率，而A是定點(diǎn)，P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，因此，求函數(shù)的最值問題就轉(zhuǎn)化為求直線PA的斜率的最值問題。
解：如圖所示，可以看成
點(diǎn)，A(2,1)兩點(diǎn)連線的斜率，且P在圓上運(yùn)動(dòng)，過定點(diǎn)A作圓的兩條切線AP1和AP2，則AP1的斜率最小，且的斜率最大。
設(shè)的斜率為k，則切線的方程為：
即：，且直線AP2與圓相切
圓心O到切線AP2的距離，即：
解得：，，（其中：，即為切線的斜率）
直線的斜率為
故函數(shù)的最大值為，最小值為
(二)數(shù)形結(jié)合法：用幾何圖形表示題設(shè)條件或函數(shù)關(guān)系式，通過圖像的直觀求得函數(shù)的值域。
問題1：求函數(shù)的值域
解：原函數(shù)變形為：
可看作單位圓外一點(diǎn)與圓上的點(diǎn)所連線段的斜率的2倍，由圖示知：
設(shè)過P點(diǎn)的直線方程為：
即：，令
解得：
函數(shù)y的值域?yàn)?/p>
問題2，若，求函數(shù)的值域
解：方程表示圓，Z表示圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，作出圖形,由圖形的直觀可知：，，而直線的參數(shù)方程為： 代入圓方程中，并化簡整理得：，解得。
[關(guān)鍵詞] 三角函數(shù) 一角一函數(shù) 解題模型
[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0051
三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中基本的初等函數(shù)之一，該部分內(nèi)容歷來是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)之一.因其難度相對較低，普遍屬于基礎(chǔ)題、中檔題，利用公式化簡三角函數(shù)解析式并求其性質(zhì)，是大多數(shù)學(xué)生的爭分點(diǎn).
對于求三角函數(shù)的性質(zhì)，如周期性、最值、值域、單調(diào)區(qū)間、對稱性、奇偶性等，若函數(shù)解析式已經(jīng)是一角一函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b形式，學(xué)生可以直接求解；
若函數(shù)解析式不是y=Asin（ωx+φ）+b形式，就必須先利用公式將函數(shù)解析式化簡成該形式，才能求其性質(zhì).眾所周知，三角函數(shù)是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中公式最為繁多的知識.面對眾多的三角函數(shù)公式，該怎樣從中選擇合適的公式來化簡解析式呢？許多學(xué)生覺得無從下手.雖然也有很多學(xué)生能化簡出來，但他們也有一種思緒凌亂，難以把握規(guī)律的感覺.本文針對一角一函數(shù)的化簡，給學(xué)生總結(jié)、歸納一個(gè)規(guī)律方法和解題技巧.
對復(fù)雜的三角函數(shù)解析式的化簡，我們所用的解題簡模型為：
在化簡過程中，每個(gè)步驟都有明顯的標(biāo)志，但每次做題并不是五個(gè)步驟都要用上，有時(shí)只用到其中的一個(gè)或幾個(gè).具體的做法如下.
第一步，有軸線角（或相關(guān)的角）用誘導(dǎo)公式
判斷表達(dá)式有沒有軸線角或者與軸線角有關(guān)的角，如 π 2 +α， 3π 2 ±α
，kπ±α，2kπ±α，（k∈ Z ），若有，就可以馬上用誘導(dǎo)公式；若沒有，可以進(jìn)行第二步.
第二步，有特殊角用兩角和差公式
判斷有沒有兩角和或差，如sin（x+ π 3 ），cos（x- π 4 ）等，它們通常會含有 π 3 ， π 4 ， π 6 等特殊角.若有特殊角，即可直接用兩角和差公式展開；若沒有特殊角，則進(jìn)行第三步.
第三步，有平方則用降冪公式
判斷解析式有沒有sin2x或cos2x，若有，就分別用sin2=
1-cos2x 2 ，cos2x= 1+cos2x 2
進(jìn)行降冪；若沒有，則進(jìn)行第四步.
第四步，含同角正余弦乘積逆用正弦二倍角公式
判斷解析式是否含有sinx?cosx，若有，就用2sinx?cosx=sin2x代入；若沒有，則可以進(jìn)行最后一步.
第五步，用輔助角公式收官
經(jīng)過上面四個(gè)步驟的變化，解析式會帶有asinx+bcosx的形式，最后用輔助角公式asinx+bcosx= a2+b2 sin（x+φ）
，就能達(dá)到最終的目的.
下面，我們來看經(jīng)典例題：
【例1】 把以下各式化簡成y=Asin（ωx+φ）+b的形式.
（1）f（x）=sin（ π 3 -2x）+sin2x；
（2）f（x）=2sin（π-x）cosx；
（3）f（x）=2sinxcosx+2 3 sin2x；
（4）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx；
（5）f（x）=2sinxcos（ π 2 -x）- 3 sin（π+x）cosx+sin（ π 2 +x）cosx.
解析： （1）此題沒有軸線角，不用第一步誘導(dǎo)公式；沒有sin2x，cos2x，不用第三步降冪公式；沒有sinx?cosx，不用第四步.
f（x）=sin（ π 3 -2x）+sin2x（有 π 3 -2x，用第二步兩角和差公式）
= 3 2 cos2x- 1 2
sin2x+sin2x
= 3 2
cos2x+ 1 2 sin2x（用第五步輔助角公式）
=sin（2x+ π 3 ）.
（2）此題不用第二步兩角和差公式；沒有sin2x，cos2x，不用第三步降冪公式.
f（x）=2sin（π-x）cosx（用第一步誘導(dǎo)公式）
=2sinxcosx（用第四步逆用正弦二倍角公式）
=sin2x.（不用第五步輔助角公式）
（3）此題沒有軸線角，不用第一步誘導(dǎo)公式，不用第二步兩角和差公式.
f（x）=2sinxcosx+2 3 sin2x（用第三步降冪公式和第四步逆用正弦二倍角公式）
=sin2x+2 3 ? 1-cos2x 2
=sin2x+ 3 cos2x+ 3 （用第五步輔助角公式）
=2sin（2x+ π 3 ）+ 3 .
（4）此題沒有軸線角，不用第一步誘導(dǎo)公式，不用第二步兩角和差公式.
f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（用第三步降冪公式）
=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+2? 1+cos2ωx 2
（逆用正弦二倍角公式）
=sin2ωx+cos2ωx+2
= 2 sin（2ωx+ π 4 ）+2.（用第五步輔助角公式）
（5）不用第二步兩角和差公式.
f（x）=2sinxcos（ π 2 -x）- 3 sin（π+x）cosx+sin（ π 2 +x）cosx（用第一步誘導(dǎo)公式）
=2sin2x+ 3 sinxcosx+cos2x（用第三步降冪公式和第四步逆用正弦二倍角公式）
=2? 1-cos2x 2 +
3 2
sin2x+
1+cos2x 2
= 3 2
sin2x- 1 2 cos2x+ 3 2 （用第五步輔助角公式）
=sin（2x- π 6 ）+ 3 2 .
【例2】
（2013?安徽）已知函數(shù)f（x）=4cosωx?sin（ωx+ π 4 ）（ω>0）的最小正周期為π.
（1）求ω的值；
（2）討論f（x）在區(qū)間[0， π 2 ]上的單調(diào)性.
分析： 此題
不需要用
第一步誘導(dǎo)公式、第三步降冪公式，只要用第二步兩角和差公式、第四步逆用正弦二倍和公式和第五步輔助角公式.
解： （1）f（x）=4cosωx?sin（ωx+ π 4 ）
=2 2 sinωx?cosωx+2 2 cos2ωx
= 2 （sin2ωx+cos2ωx）+ 2
=2sin（2ωx+ π 4 ）+ 2 .
因?yàn)閒（x）的最小正周期為π，且ω>0，
從而有 2π 2ω =π，故ω=1.
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+ π 4 ）+ 2 .
由0≤x≤ π 2 ，得 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 .
當(dāng) π 4 ≤2x+ π 4 ≤ π 2 ，即0≤x≤ π 8 時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng) π 2 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 ，即 π 8 ≤x≤ π 2 時(shí)，f（x）單調(diào)遞減.
綜上可知，f（x）在區(qū)間[0， π 8 ]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[ π 8 ， π 2 ]上單調(diào)遞減.
【例3】 （2013?陜西）已知向量 a =（cosx，- 1 2 ）， b =（ 3 sinx，cos2x），x∈ R ，設(shè)函數(shù)f（x）= a ? b .
（1）求f（x）的最小正周期.
（2）求f（x）在[0， π 2 ]上的最大值和最小值.
分析： 此題是三角與向量的簡單結(jié)合，
不需要用
第一步誘導(dǎo)公式、第二步兩角和差公式和第三步降冪公式，只要用第四步逆用正弦二倍角公式和第五步輔助角公式.
解析： f（x）=（cosx，- 1 2 ）?（ 3 sinx，cos2x）
= 3 cosxsinx- 1 2 cos2x
= 3 2 sin2x- 1 2 cos2x
=sin（2x- π 6 ）.
（1）f（x）最小正周期為T= 2π ω = 2π 2 =π.
（2）0≤x≤ π 2 ，- π 6 ≤2x- π 6 ≤ 5π 6 .
由正弦函數(shù)的性質(zhì)，知
當(dāng)2x- π 6 = π 2 ，即x= π 3 時(shí)，f（x）取得最大值1.
當(dāng)2x- π 6 =- π 6 ，即x=0時(shí)，f（x）取得最小值- 1 2 .
因此，f（x）在[0， π 2 ]上的最大值是1，最小值是- 1 2 .
1、分式的分母不等于零;
2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零;
3、對數(shù)的真數(shù)大于零;
4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;
5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中x≠kπ+π/2;
6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。
二、函數(shù)的解析式的常用求法：
1、定義法;2、換元法;3、待定系數(shù)法;4、函數(shù)方程法;5、參數(shù)法;6、配方法
三、函數(shù)的值域的常用求法：
1、換元法;2、配方法;3、判別式法;4、幾何法;5、不等式法;6、單調(diào)性法;7、直接法
四、函數(shù)的最值的常用求法：
1、配方法;2、換元法;3、不等式法;4、幾何法;5、單調(diào)性法
五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：
1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增(減)函數(shù)
2、若f(x)為增(減)函數(shù)，則-f(x)為減(增)函數(shù)
3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則f[g(x)]是增函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則f[g(x)]是減函數(shù)。
4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。
5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。
六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：
1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則f(0)=0，如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0(反之不成立)
2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù);之積(商)為偶函數(shù)。
3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。
(1)函數(shù)的概念
函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法、分段函數(shù)、隱函數(shù)
(2)函數(shù)的性質(zhì)
單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性
(3)反函數(shù)
反函數(shù)的定義、反函數(shù)的圖像
(4)基本初等函數(shù)
冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)
(5)函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算
(6)初等函數(shù)
2、要求
(1)理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的表達(dá)式、定義域及函數(shù)值，會求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，會作出簡單的分段函數(shù)的圖像。
(2)理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。
(3)了解函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系(定義域、值域、圖像)，會求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。
(4)熟練掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。
(5)掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖像。
(一)擁有良好的安全意識和節(jié)約意識是對自己和他人的負(fù)責(zé)，是作為一名學(xué)習(xí)人員必備的素質(zhì)。具體到當(dāng)前的工作中包括以下幾點(diǎn)：
準(zhǔn)備工作和必要的知識：
1、新烙鐵的使用方法
首先將內(nèi)熱型電烙鐵在砂紙上打磨，然后通電，蘸松香，再然后將烙鐵頭韌面接觸焊錫絲，最后在木板或厚紙殼磨擦，使其光亮。
2、舊烙鐵在使用前應(yīng)先打磨
3、使用電烙鐵的注意事項(xiàng)
(1)用松香檢查烙鐵頭的溫度，不可以用手接觸烙鐵頭。生成的揮發(fā)氣體上升越快，烙鐵頭的溫度就越高。
(2)工作中的烙鐵發(fā)熱部分應(yīng)全部放在鐵架上
(3)焊錫氣體有害，應(yīng)注意;焊錫含鉛，應(yīng)注意洗手。 做好了準(zhǔn)備工作我們還要自己的學(xué)習(xí)目的。
(二)知識掌握點(diǎn)
1、熟悉有關(guān)的焊接工程術(shù)語，了解焊接常用材料的基礎(chǔ)知識;
2、通過訓(xùn)練，初步獲得焊接的基本工藝知識;
3、掌握焊接生產(chǎn)過程的基本概念，了解焊接技術(shù)的實(shí)際知識，為 以后課程打下基礎(chǔ);
4、了解焊接的安全技術(shù)知識，做到安全訓(xùn)練;
能力訓(xùn)練點(diǎn)，通過對簡單工件進(jìn)行焊接，培養(yǎng)我們的焊接工藝分析能力，動(dòng)手操作能力，為今后從事生產(chǎn)技術(shù)工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
兩種或兩種以上材質(zhì)(同種或異種)，通過加熱或加壓或二者并用，來達(dá)到原子之間的結(jié)合而形成永久性連接的工藝過程叫焊接.
電烙鐵分為外熱式和內(nèi)熱式兩種，外熱式的一般功率都較大。
內(nèi)熱式的電烙鐵體積較小，而且價(jià)格便宜。一般電子制作都用20W-30W的內(nèi)熱式電烙鐵。內(nèi)熱式的電烙鐵發(fā)熱效率較高，而且更換烙鐵頭也較方便。
電烙鐵是用來焊錫的，為方便使用，通常做成焊錫絲，焊錫絲內(nèi)一般都含有助焊的松香。焊錫絲使用約60%的錫和40%的鉛合成，熔點(diǎn)較低。 松香是一種助焊劑，可以幫助焊接。
電烙鐵是捏在手里的，使用時(shí)千萬注意安全。新買的電烙鐵先要用萬用表電阻檔檢查一下插頭與金屬外殼之間的電阻值，萬用表指針應(yīng)該不動(dòng)。否則應(yīng)該徹底檢查。
(三)手工焊接的基本操作步驟：
1、將烙鐵頭放置在焊盤和元件引腳處，使焊接點(diǎn)升溫。
2、當(dāng)焊點(diǎn)達(dá)到適當(dāng)溫度時(shí)，及時(shí)將松香焊錫絲放在焊接點(diǎn)上熔化。
3、焊錫熔化后，應(yīng)將烙鐵頭根據(jù)焊點(diǎn)形狀稍加移動(dòng)，使焊錫均勻布滿焊點(diǎn)，并滲入被焊面的縫隙。焊錫絲熔化適量后，應(yīng)迅速拿開焊錫絲。
4、拿開電烙鐵，當(dāng)焊點(diǎn)上焊錫已近飽滿，焊劑(松香)尚未完全揮發(fā)，溫度適當(dāng)，焊錫最亮，流動(dòng)性最強(qiáng)時(shí)，將烙鐵頭沿元件引腳方向迅速移動(dòng)，快離開時(shí)，快速往回帶一下，同時(shí)離開焊點(diǎn)，才能保證焊點(diǎn)光亮、圓滑、無毛刺。用偏口鉗將元件過長的引腳剪掉，使元件引腳稍露出焊點(diǎn)即可。
5、焊幾個(gè)點(diǎn)后用金屬絲擦擦烙鐵頭，使烙鐵頭干凈、光潔。
如果過量的加熱不僅會造成元器件的損壞外還會使焊接的外觀變差，高溫造成所加松香助焊劑的分解碳化，還會破壞印制板上銅泊的粘合層，導(dǎo)致銅泊焊盤的剝落。
(四)拆焊：
1、拆焊原則
拆焊的步驟一般與焊接的步驟相反。拆焊前，一定要弄清楚原焊接點(diǎn)的特點(diǎn)，不要輕易動(dòng)手。
(l)不損壞拆除的元器件、導(dǎo)線、原焊接部位的結(jié)構(gòu)件。
(2)拆焊時(shí)不可損壞印制電路板上的焊盤與印制導(dǎo)線。
(3)對已判斷為損壞的元器件，可先行將引線剪斷，再行拆除，這樣可減小其他損傷的可能性。
(4)在拆焊過程中，應(yīng)該盡量避免拆除其他元器件或變動(dòng)其他元器件的位置。若確實(shí)需要，則要做好復(fù)原工作。
2、拆焊要點(diǎn)
(1)嚴(yán)格控制加熱的溫度和時(shí)間
拆焊的加熱時(shí)間和溫度較焊接時(shí)間要長、要高，所以要嚴(yán)格控制溫度和加熱時(shí)間，以免將元器件燙壞或使焊盤翹起、斷裂。宜采用間隔加熱法來進(jìn)行拆焊。
(2)拆焊時(shí)不要用力過猛
在高溫狀態(tài)下，元器件封裝的強(qiáng)度都會下降，尤其是對塑封器件、陶瓷器件、玻璃端子等，過分的用力拉、搖、扭都會損壞元器件和焊盤。
(3)吸去拆焊點(diǎn)上的焊料
拆焊前，用吸錫工具吸去焊料，有時(shí)可以直接將元器件拔下。即使還有少量錫連接，也可以減少拆焊的時(shí)間，減小元器件及印制電路板損壞的可能性。如果在沒有吸錫工具的情況下，則可以將印制電路板或能夠移動(dòng)的部件倒過來，用電烙鐵加熱拆焊點(diǎn)，利用重力原理，讓焊錫自動(dòng)流向烙鐵頭，也能達(dá)到部分去錫的目的。
3、拆焊的質(zhì)量要求
4、焊點(diǎn)的質(zhì)量要求
具體操作和收獲
關(guān)鍵詞: 高職數(shù)學(xué) 復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)法則 教學(xué)體會
現(xiàn)行高職數(shù)學(xué)“復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則”是高職數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一。該內(nèi)容的引入既豐富了高職數(shù)學(xué)的內(nèi)容,又體現(xiàn)了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則作為數(shù)學(xué)工具的重要性。利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則去解決一些實(shí)際問題,深化了數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性,為更好地學(xué)好高職數(shù)學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ)。復(fù)合函數(shù)的基礎(chǔ)知識較多,且與其他很多部分知識都有聯(lián)系,如復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系、復(fù)合函數(shù)與基本初等函數(shù)的聯(lián)系、復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算的聯(lián)系等。因此,教師有必要加強(qiáng)對“復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則”這一章節(jié)的進(jìn)一步研究和總結(jié)。
從運(yùn)算的角度來講,會求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),必先會求基本初等函授的導(dǎo)數(shù),當(dāng)然關(guān)鍵還是要把復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解,并牢記中間變量。
例1.求函數(shù)y=(1-3x+x)的導(dǎo)數(shù)。
解:設(shè)y=u,u=1-3x+x,
因?yàn)閥′=(u)′=5u,u′=(1-3x+x)′=-3+2x,
所以y′=y′u′=5u(-3+2x)=5(2x-3)(1-3x+x)。
例2.求函數(shù)y=lntanx的導(dǎo)數(shù)。
解:設(shè)y=lnu,u=tanx,
因?yàn)閥′=,u′=secx,
所以y′=y′u′=secx=secx===2csc2x。
從上面的例子可知,運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的關(guān)鍵在于把復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的和、差、積、商,然后應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和適當(dāng)?shù)那髮?dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算,求導(dǎo)后要把中間變量換成原來自變量的式子。當(dāng)對復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后,也可不必再寫出中間變量,只要將中間變量所代替的式子默記在心,直接根據(jù)法則,按步驟由外向里逐層求導(dǎo)即可。
例3.求函數(shù)y=cot(2x+1)的導(dǎo)數(shù)。
解:默記中間變量u=(2x+1),直接求導(dǎo),得:
y′=[cot(2x+1)]′=-csc(2x+1)(2x+1)′=-2csc(2x+1)。
例4.求函數(shù)y=(x-cosx)的導(dǎo)數(shù)。
解:y′=3(x-cosx)(x-cosx)′
=3(x-cosx)[1-2cosx(cosx)′]
=3(x-cosx)(1+2cosxsinx)
=3(x-cosx)(1+sin2x)。
應(yīng)當(dāng)注意,有些復(fù)合函數(shù)能化簡的,應(yīng)當(dāng)盡量先化簡再求導(dǎo),有時(shí)還需要綜合運(yùn)用四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。
例5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
(1)y=;
(2)y=。
解:(1)先將分母有理化,得:
y=
=x+。
所以
y′=1+=1+。
(2) 先化簡
y=?=2sec2x
所以y′=2sec2xtan2x(2x)′=4sec2xtan2x。
要想掌握好復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,學(xué)生除了掌握以上復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)律外,還得復(fù)習(xí)求導(dǎo)公式,因?yàn)楣揭彩腔A(chǔ)。
參考文獻(xiàn):
[1]林益主編.高等數(shù)學(xué).面向21世紀(jì)全國高校數(shù)學(xué)規(guī)劃教材.北京大學(xué)出版社.
函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的最大值和最小值問題，本質(zhì)上是一個(gè)最優(yōu)化的問題。求解函數(shù)最大值與最小值的實(shí)際問題，包括三方面的工作：一是根據(jù)實(shí)際問題建立目標(biāo)函數(shù)，通?？偸沁x取待求的最優(yōu)量為因變量：二是按上述的求解方法求出目標(biāo)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最大值或最小值；三是對所求得的解進(jìn)行相應(yīng)實(shí)際背景的幾何意義的解釋。同時(shí)一方面要深刻理解題意，提高閱讀能力，要加強(qiáng)對常見的數(shù)學(xué)模型的理解，弄清其產(chǎn)生的實(shí)際背景，把數(shù)學(xué)問題生活化；另一方面要不斷拓寬知識面，提高間接的生活閱歷，如了解一些諸如物價(jià)、行程、產(chǎn)值、利潤、環(huán)保等實(shí)際問題，也涉及角度、面積、體積、造價(jià)等最優(yōu)化問題，培養(yǎng)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的意識和能力。
最值問題綜合性強(qiáng)，幾乎涉及高中數(shù)學(xué)各個(gè)分支，要學(xué)好各個(gè)數(shù)學(xué)分支知識，透徹地理解題意，能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。
（1）代數(shù)法。代數(shù)法包括判別式法（主要是應(yīng)用方程的思想來解決函數(shù)最值問題）配方法（解決二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題）不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運(yùn)用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值問題）④換元法（利用題設(shè)條件，用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數(shù)換元法和三角換元法）。
①判別法：判別式法是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，若能在解多元函數(shù)最值過程中巧妙地運(yùn)用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應(yīng)用判別式的核心在于能否合理地構(gòu)造二次方程或二次函數(shù)，還需注意是否能取等號。若函數(shù)可化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時(shí)，由于x，y為實(shí)數(shù)，必須有：=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范圍確定函數(shù)最值。
②配方法：配方法多使用于二次函數(shù)中，通過變量代換，能變?yōu)殛P(guān)于t（x）的二次函數(shù)形式，函數(shù)可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值（此類題的解法關(guān)鍵在于用“配方法”將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，同時(shí)要考慮頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值是否落在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)則需考慮函數(shù)的單調(diào)性）。
③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個(gè)必要條件，因此當(dāng)其中一些條件不滿足時(shí)應(yīng)考慮通過恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，使這些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件。（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計(jì)算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當(dāng)然這里還需要利用系數(shù)的湊合才能達(dá)到目的，具有一定技巧）
④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個(gè)部分看成一個(gè)式子，并用一個(gè)字母代替，于是使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時(shí)，關(guān)鍵還是要在掌握好三角函數(shù)常用關(guān)系式的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求解的函數(shù)式，慎重使用）。
（2）數(shù)形結(jié)合法。數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，即考慮函數(shù)的幾何意義，結(jié)合幾何背景，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解題，有許多的優(yōu)越性。將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形結(jié)合起來，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時(shí)函數(shù)最值也借助數(shù)形結(jié)合方法來求解。
①解析式：解析法是觀察函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)，求解函數(shù)最值的方法。
②函數(shù)性質(zhì)法：函數(shù)性質(zhì)法主要是討論利用已學(xué)函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值等。
③構(gòu)造復(fù)數(shù)法：構(gòu)造復(fù)數(shù)法是在已經(jīng)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)章節(jié)的基礎(chǔ)上，把所求結(jié)論與復(fù)數(shù)的相關(guān)知識聯(lián)系起來，充分利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行求解。
④求導(dǎo)法（微分法）：導(dǎo)數(shù)是高中現(xiàn)行教材新增加的內(nèi)容，求導(dǎo)法求函數(shù)最值是應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識解決初等問題，可以解決一類高次函數(shù)的最值問題。找閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）的最大（或最小）值時(shí)，將不可導(dǎo)點(diǎn)、穩(wěn)定點(diǎn)及a，b處的函數(shù)值作比較，最大（或最?。┱呒礊樽畲螅ɑ蜃钚。┲?。
1. 培育壯苗
①選地整地。選疏松肥沃、排灌方便、3年未種過蔥蒜類蔬菜的地塊。在前茬作物收獲后，每畝施入優(yōu)質(zhì)有機(jī)肥3000～3500千克、三元復(fù)合肥50千克，耕翻細(xì)耙，整成寬1.5米的平畦。
②適期播種。在3月下旬至4月上旬，當(dāng)?shù)販胤€(wěn)定通過12℃時(shí)即可播種育苗。
③種子處理。一般每畝需種子5千克左右。播前曬種2～3天，曬后用40℃溫水浸種24小時(shí)，撈出洗凈瀝干，用濕布包好放在20～25℃溫度中催芽，當(dāng)80%種子露白時(shí)即可播種。
④播種方法。播前澆足底水，待水下滲后先薄撒1層細(xì)土，以免種子沾泥，然后均勻地將種子撒入苗床并覆細(xì)土1.5厘米厚，第二天再覆細(xì)土1厘米厚，以利出苗。
⑤苗床管理。出苗后，保持土壤濕潤，當(dāng)幼苗長到4～6厘米高時(shí)，每隔5～6天澆1次水；幼苗長到8～10厘米高時(shí)，每畝隨水沖施尿素8～10千克；長到12～15厘米高時(shí)蹲苗，控上促下，培育多蘗壯苗。同時(shí)要做好病蟲草害的防治。
2. 定植
①定植時(shí)間。當(dāng)韭菜苗長到15～18厘米高、帶1～2個(gè)分蘗時(shí)開始定植，時(shí)間不能晚于7月上旬。
②整地施肥。前茬收獲后，每畝施優(yōu)質(zhì)有機(jī)肥4000～5000千克、三元復(fù)合肥60千克，深耕、細(xì)耙，整成寬1.5～1.8米的平畦。
③合理密植。一般按行距25～30厘米、株距15～20厘米的規(guī)格定植，每穴栽苗5株左右，每畝保證1.2萬穴。
④栽植方法。幼苗要隨起隨栽。起出后先將須根先端剪去，僅留2～3厘米，再將葉片剪去一段，減少葉面蒸發(fā)，然后在畦上按株行距挖穴或開溝定植。每穴栽的韭苗鱗莖要齊，株間要緊湊。培土?xí)r，鱗莖頂部埋入土中3～4厘米深即可（過深生長不旺，過淺跳根過快），四周要用土壓實(shí)。栽后立即澆水，以利緩苗。
3. 大田管理
①及時(shí)追肥。當(dāng)韭苗長出新葉、發(fā)出新根時(shí)，每畝沖施尿素20～30千克。8月中旬，每畝追施餅肥200千克或腐熟有機(jī)肥1000～1500千克。9月中旬，每畝追施尿素25～30千克或三元復(fù)合肥30～50千克。冬季或第二年早春為了提高地溫，促進(jìn)萌芽，每畝施腐熟有機(jī)肥3000～5000千克，等新芽出土后，再澆1次人畜糞尿。以后每收獲1次，每畝沖施尿素20～25千克。
②科學(xué)管水。韭菜忌澇怕濕，雨后要及時(shí)排水，平時(shí)保持土壤見干見濕即可。施肥后要隨即澆水。收獲后2～3天，配合施肥澆1次水。土壤封凍前，澆1次透水，以利越冬和翌春嫩芽萌發(fā)。
③中耕除草。移栽成活后進(jìn)行1次淺中耕。收獲施肥后進(jìn)行1次中耕培土。雨后酌情中耕排濕。
4. 病蟲草害防治
①病害。主要有霜霉病、灰霉病、疫病等，可選用多菌靈、乙磷鋁、甲霜靈、惡唑·霜脲氰、霜脲氰·錳鋅等藥劑防治。
②蟲害。主要有韭蛆、薊馬、菜蛾、潛葉蠅等，可用辛硫磷、吡蟲啉及菊酯類藥劑防治。
③雜草。芽前可用50%乙草胺，苗期可用48%氟樂靈等除草劑防治。
5. 采收
①采收季節(jié)。春季葉片生長旺盛，是主要的收獲期；夏季高溫多雨，品質(zhì)變劣，多不收割；秋季葉片再次旺盛生長，進(jìn)入收獲盛期。在韭菜凋萎前30天左右，應(yīng)停止收割，使其自然凋萎，將營養(yǎng)轉(zhuǎn)移到根中，為翌春韭菜健壯生長打好基礎(chǔ)。如實(shí)行保護(hù)地栽培，冬季也可供應(yīng)市場。
②采收次數(shù)。一般1年采收5～6次，如肥水條件好、管理得當(dāng)，可采收7～8次。一般畝產(chǎn)量達(dá)4000～5000千克，高產(chǎn)田可達(dá)7000千克以上。