時(shí)間：2023-08-14 17:08:54
導(dǎo)語(yǔ)：在三角函數(shù)值規(guī)律的撰寫(xiě)旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
關(guān)鍵詞：策略；幫助；三角函數(shù)
中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）07-0229-03
三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)新課程中的重要內(nèi)容，在這些內(nèi)容中強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)作為函數(shù)的作用，強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的基本模型等，這是數(shù)學(xué)課程發(fā)展中的一個(gè)變化.雖然高中數(shù)學(xué)新課程已對(duì)一些內(nèi)容降低了要求，但很多學(xué)生同樣不適應(yīng)，不能很好地理解與掌握。高考試題中的三角函數(shù)題相對(duì)比較傳統(tǒng)，位置靠前，通常以簡(jiǎn)單題形式出現(xiàn)。因此，在學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)過(guò)程中要特別注重三角知識(shí)的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象及其變換、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)，以及化簡(jiǎn)、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生熟練記憶和應(yīng)用三角公式及其恒等變形，同時(shí)要注重三角知識(shí)的工具性.對(duì)此本人從幾個(gè)方面加以闡述，希望能夠幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“三角函數(shù)”在數(shù)學(xué)中的地位，能較為全面地把握“三角函數(shù)”知識(shí)脈絡(luò)，學(xué)好三角函數(shù)知識(shí)，提高綜合能力.
一、解決角的問(wèn)題是學(xué)好三角函數(shù)的前提
（一）解決好特殊角的三角函數(shù)值的求法
在初中，學(xué)生對(duì)0°～90°之間的特殊角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值已了如指掌，但到了高中，隨著角度的擴(kuò)展，求與特殊角有關(guān)的角的三角函數(shù)值也隨之增多，如對(duì)120°、135°、330°、―30°等角的三角函數(shù)值的求法開(kāi)始出現(xiàn)了混亂。如何解決這一問(wèn)題呢？通過(guò)學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式，學(xué)生明白了求這一類(lèi)角的三角函數(shù)值，看似眾多，其實(shí)都與0°、30°、45°、60°、90°的三角函數(shù)值有關(guān)，且只有符號(hào)的異同。因此幫助學(xué)生弄清誘導(dǎo)公式所概括的“奇變偶不變，符號(hào)看象限”這一規(guī)律，計(jì)算這一類(lèi)角的三角函數(shù)值的問(wèn)題也就迎刃而解。
（二）解決好角與角之間的關(guān)系
在三角函數(shù)中，如例1：已知，cos（α+β）=-■，sinα=■，求cosβ.
相當(dāng)多的學(xué)生直觀(guān)地把cos（α+β）化為cosα+cosβ-sinαsinβ用于計(jì)算，造成運(yùn)算煩瑣或無(wú)功而返。究其原因是缺乏整體思想，沒(méi)有注意到對(duì)角的關(guān)系進(jìn)行觀(guān)察、分析。事實(shí)上若清楚β=（α+β）-α，則問(wèn)題迎刃而解。又如：
例2.已知cos（■-α）=■，■-α是第一象限角，求■的值.
本例的解法很多，學(xué)生若能發(fā)現(xiàn)（■-α）與（■+α）的關(guān)系及（■-α）與（■-2α）的關(guān)系，本例就好解了。因此在教學(xué)中，幫助學(xué)生樹(shù)立整體思想，引導(dǎo)學(xué)生注意觀(guān)察、分析、比較。（如：角與角之間的和差倍半關(guān)系，互補(bǔ)、互余關(guān)系等）總結(jié)基本的方法、規(guī)律，提高解決問(wèn)題的能力。
（三）解決好隱含條件的問(wèn)題
解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)主要環(huán)節(jié)，它的一般過(guò)程是：?jiǎn)栴}條件知識(shí)方法結(jié)果，可見(jiàn)尋找問(wèn)題條件是解題的第一步.可是在一些數(shù)學(xué)題中，它的某些條件較為隱蔽，需要經(jīng)過(guò)反復(fù)推敲，剖析題意.挖掘題設(shè)隱含條件，所謂隱含條件，是指題中若明若暗、含蓄不露的條件，它們常常巧妙地隱蔽在題設(shè)的背后，不易被人們所覺(jué)察，或者極易被人忽視，而直接制約整個(gè)解題過(guò)程，三角函數(shù)在許多方面如定義、公式、三角函數(shù)值，條件等式中都存在著隱含條件。在解三角函數(shù)題時(shí)，常因未能發(fā)掘其隱含條件造成一開(kāi)始解題就無(wú)法進(jìn)行，或者解到某一個(gè)階段而陷入困境，或者造成解題失誤。
例3.設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，cos（A-C）+cosB=■，b2=ac，求B.
學(xué)生通過(guò)公式的變換及運(yùn)算得sin2B=■，sinB=■或sinB=-■（舍去），于是B=■或B=■.這樣的解法存在錯(cuò)誤，其實(shí)在條件中cos（A-C）+cosB=■隱含著cosB>0的條件，即B為銳角?；蛴蒪2=ac知b≤a或b≤c得B為銳角。所以引導(dǎo)學(xué)生多觀(guān)察條件，從中找出隱含條件，以免造成解題失誤。
二、熟記，靈活運(yùn)用公式是學(xué)好三角函數(shù)的基礎(chǔ)
（一）熟練掌握三角變換的公式
很多學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，因?yàn)槿呛瘮?shù)的公式太多，而造成混亂。其實(shí)公式之間也有一定的內(nèi)在聯(lián)系，比如誘導(dǎo)公式sin（■±α）（k∈z）中，只需把“α”看成銳角，畫(huà)出■的終邊表示在X軸正半軸、X軸負(fù)半軸、Y軸正半軸、Y軸負(fù)半軸中的哪一個(gè)，終邊在X軸上則函數(shù)名不變，終邊在Y軸函數(shù)名改變；終邊再按順時(shí)針還是逆時(shí)針轉(zhuǎn)一個(gè)銳角定象限，確定函數(shù)符號(hào)。掌握了誘導(dǎo)公式以后，就可以把任意角的三角函數(shù)化為0°～90°間角的三角函數(shù)。又如：以?xún)山呛偷挠嘞夜綖榛A(chǔ)推導(dǎo)得出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握這些公式的內(nèi)在聯(lián)系及推導(dǎo)的線(xiàn)索，能夠幫助我們理解和記憶這些公式；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式是進(jìn)行三角變換的重要基礎(chǔ)之一，它們?cè)诨?jiǎn)三角函數(shù)式和證明三角恒等式等問(wèn)題中要經(jīng)常用到，必須熟記，并能熟練運(yùn)用. 這也是學(xué)好本單元知識(shí)的關(guān)鍵.
（二）靈活運(yùn)用三角公式
熟練掌握三角變換的所有公式理解每個(gè)公式的意義，特征；熟悉三角變換常用的方法――化弦法、降冪法、角的變換法等；并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)、證明；掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn)，并能結(jié)合三角形中的有關(guān)公式解決一些實(shí)際問(wèn)題.
1.運(yùn)用化弦（切）法：
例5：已知tanα=■，求：f（α）=-2cos2α-■sin2α+2的值。
把-2cos2α-■sin2α+2除以1得■，化為■，再弦化切。本題就好解了。
2.運(yùn)用增減倍與升降冪法：在運(yùn)用公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體問(wèn)題分析采用增倍還是減倍，升冪還是降冪。
例6：設(shè)函數(shù)f（x）=2sinxcos2■+cosxsinφ-sinx（0
解：f（x）=2sinx?■+cosxsinφ-sinx=sinx+sinxcos φ+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=π處取最小值，所以sin（x+φ）=-1，由誘導(dǎo)公式知sinφ=1，因?yàn)?
例7：已知函數(shù)f（x）=sin2x+■sinxcosx+2cos2x，x∈R.求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；其中sinxcosx可轉(zhuǎn)化為sin2x，所以將sin2x、cos2x降冪同時(shí)把角轉(zhuǎn)化二倍角。
3.運(yùn)用輔助角及常用模式的轉(zhuǎn)換法。在三角函數(shù)中除了運(yùn)用課本內(nèi)的公式外，還利用類(lèi)似輔助角公式asinθ+bcosθ=■sin（θ+φ）進(jìn)行解題。（這里輔助角φ所在象限由a、b的符號(hào)確定，φ角的值由tanφ=■確定。）而且在實(shí)際解題中，這一類(lèi)問(wèn)題大部分集中在sinα±cosα=■sin（α±■）和■sinα±cosα=2sin（α±■）和等常用模式的轉(zhuǎn)化。
如上例7函數(shù)化簡(jiǎn)為：
f（x）=■+■sin2x+（1+cos2x）=■sin2x+■cos2x+■=sin（2x+■）+■
1.角的概念與度量：要從動(dòng)靜兩個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)角。用弧度制來(lái)度量角，使弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式等得到簡(jiǎn)化，也能加深對(duì)角的集合與實(shí)數(shù)集合間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解。要掌握角度與弧度的
換算。
2.任意角三角函數(shù)的定義：把角放在直角坐標(biāo)系中，用角終邊上的一點(diǎn)來(lái)定義。角（即實(shí)數(shù)）為自變量，比值為函數(shù)值，六種三角函數(shù)中，正弦、余弦、正切函數(shù)最為重要，要掌握其符號(hào)規(guī)律。
3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：
（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1；
（2）商數(shù)關(guān)系： =tanα；
（3）倒數(shù)關(guān)系：tanα?cotα=1.
要學(xué)會(huì)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，已知角的一種三角函數(shù)值，求角的其他三角函數(shù)值。
4.誘導(dǎo)公式：由角的終邊關(guān)系及三角函數(shù)定義得出
對(duì)k?360°+α，180°±α，-α，360°-α的誘導(dǎo)公式，可概括為：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限；對(duì) ±α， ±α的誘導(dǎo)公式，可概括為：函數(shù)名改變，符號(hào)看象限。
以上兩種情況可以合在一起概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限?！捌妗敝?奇數(shù)倍的誘導(dǎo)公式： ±α， ±α；“偶”指 偶數(shù)倍的誘導(dǎo)公式：π±α，2π±α。
誘導(dǎo)公式也可由兩角和與差的三角函數(shù)公式導(dǎo)出。由我們自己選擇使用誘導(dǎo)公式時(shí)，我們通常選“名不變”的。要理解名不變，名改變的含義，知道符號(hào)看象限的符號(hào)指的是什么，怎么看。值得指出的是，誘導(dǎo)公式中的α是任意角。
各個(gè)象限的角可寫(xiě)成如下形式：
一象限：k?360°+α；
二象限：k?360°+180°-α（也可寫(xiě)成k?360°+90°+α）；
三象限：k?360°+180°+α（也可寫(xiě)成k?360°+270°-α）；
四象限：k?360°+360°-α（也可寫(xiě)成k?360°-α）。
其中α是銳角。
5.和差倍半公式：要熟練掌握公式，特別是要掌握公式的內(nèi)在聯(lián)系及推導(dǎo)線(xiàn)索，運(yùn)用這些公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，求值，證明。（和差是相對(duì)的，倍半是相對(duì)的，公式中的角是使各式有意義的角。）
三角函數(shù)中，獨(dú)立的量少，關(guān)系多（這些是其重要特點(diǎn)之一），因而解題的途徑較多，條條大路通羅馬。要注意做到途徑簡(jiǎn)捷，“不倒走”（犯循環(huán)的錯(cuò)誤，算回來(lái)了）。要掌握基本方法，如，切化弦、化同名、化單角、化成Asin（？棕x+？漬）等。
6.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：要能熟練畫(huà)出：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=Asin（？棕x+？漬）以及y=Acos（？棕x+？漬），y=Atan（？棕x+？漬）的圖象，主要是五點(diǎn)作圖，要會(huì)看、會(huì)用圖象，掌握其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)圖象掌握性質(zhì)（特別是周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性），再輔以復(fù)合函數(shù)解題。
三角函數(shù)還是函數(shù)，要注意函數(shù)思想在三角中的運(yùn)用。對(duì)三角函數(shù)的周期要求會(huì)求y=Asin（？棕x+？漬）的周期（或余弦、正切）以及可化成上述函數(shù)的周期即可。
要掌握正余弦函數(shù)的平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換，能根據(jù)圖象確定其解析表達(dá)式。
7.已知三角函數(shù)值求角：
（1）知道反正弦、反余弦、反正切的含義及表示法：
x=arcsina？圳x∈- ， （-1≤a≤1）
sinx=a；x是- ， 上的角，a是x的正弦值。
函數(shù)y=sinx，x∈- ， ，x與y之間一一對(duì)應(yīng)。反余弦，反正切請(qǐng)讀者自己總結(jié)。
（2）能根據(jù)角的三角函數(shù)值求出角。
要會(huì)利用三角函數(shù)圖象，三角函數(shù)的周期性，誘導(dǎo)公式（逆向使用）求出滿(mǎn)足條件的角。以正弦為例，先在x∈- ， 上求出使sinx=a的角（x是arcsina），然后，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和周期性求其他范圍的角。
（3）會(huì)將asinx+bcosx化成 sin（x+？漬）的形式，并知道怎樣確定？漬角（也可化成余弦形式）。
8.解斜三角形：
（1）要熟練掌握正弦定理、余弦定理并運(yùn)用這兩個(gè)定理解三角形；
（2）確定三角形的條件；
（3）要重視利用正弦定理，余弦定理。
【參考練習(xí)】
1.定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng)x∈0， 時(shí)，f（x）=sinx，則f（ ）的
值為：
A.- B. C.- D.
2.已知f（cosx）=cos3x，則f（sin30°）的值是：
A.-1 B.1 C.0 D.
3.已知α，β均為銳角，且cosα= ，cos（α+β）=- ，求角β
4.求函數(shù)y=sin（-3x+ ）的單調(diào)遞減區(qū)間。
5.求函數(shù)y= 的最大值
6.如圖，扇形AOB的半徑為1，其圓心角為 ，PQRK是扇形的內(nèi)接矩形，設(shè)∠POA=θ.
（1）將矩形PQRK的面積S表示為θ的函數(shù)S（θ）；
三角函數(shù)在每年的高考中都是必考的知識(shí)點(diǎn)，重要性不言而喻，如何解決學(xué)生在三角函數(shù)運(yùn)算部分出錯(cuò)率高的問(wèn)題，將是一個(gè)很重要的課題。那么，學(xué)生在三角函數(shù)運(yùn)算方面出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的原因主要有哪些？我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)活動(dòng)中應(yīng)該怎么做才能有效解決學(xué)生出錯(cuò)率高這一問(wèn)題？
一、關(guān)于符號(hào)問(wèn)題
使用同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式等，都易在符號(hào)上發(fā)生錯(cuò)誤，分析原因，主要是學(xué)生對(duì)觀(guān)察原角所在象限來(lái)決定符號(hào)的實(shí)際意義理解和掌握得不夠深刻具體，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在領(lǐng)會(huì)三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，能夠據(jù)以使用這角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)來(lái)判定，就以使用帶有根號(hào)的半角公式為例運(yùn)算的步驟是首先求出這個(gè)單角的余弦，然后再考慮根號(hào)前正負(fù)符號(hào)的選擇是取決于這個(gè)半角所在象限內(nèi)原函數(shù)應(yīng)具有的符號(hào)，對(duì)此，對(duì)使用這個(gè)公式所決定的符號(hào)可總結(jié)如下：
1.若沒(méi)有給出決定符號(hào)的條件，則在根號(hào)前應(yīng)保持正負(fù)兩種符號(hào)
例1.已知cosα=■，求cos■的值。
由二倍角的公式變形得cos2■=■（1+cosα）
cos■=±■
2.如果給出了角α的大小，應(yīng)當(dāng)先求出■的大小，然后按照 所在象限原函數(shù)的符號(hào)決定公式的根號(hào)前應(yīng)有相同的符號(hào)
例2.已知cosα=■，且α∈（0，π），求cos■的值。
由二倍角的公式變形得cos2■=■（1+cosα）
α∈（0，π），■∈（0，■）
cos■=■
3.如果給出的角是某象限角時(shí)，則依角的終邊所在可能的象限來(lái)判斷符號(hào)
例3.已知cosα=-■，且α為第二象限角，求sinα，tanα的值。
α是第二象限角且cosα=-■
sinα>0，tanα
sinα=■，tanα=■
二、關(guān)于運(yùn)算的準(zhǔn)確問(wèn)題
應(yīng)用三角函數(shù)關(guān)系公式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，學(xué)生容易發(fā)生錯(cuò)誤。
1.明確公式的用途
只有當(dāng)學(xué)生理解了所學(xué)公式的用途和適用范圍，才能在使用時(shí)目的明確，熟練穩(wěn)準(zhǔn)。例如，講同角三角函數(shù)關(guān)系式后，通過(guò)練習(xí)題演算，使學(xué)生了解這些公式的應(yīng)用范圍包括以下幾個(gè)主要方面：
①已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值
②用一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)表達(dá)出該角的其他三角函數(shù)
③化簡(jiǎn)三角函數(shù)式
④證明三角恒等式
在三角函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)發(fā)揮單位圓和三角函數(shù)的作用。單位圓可以幫助學(xué)生直觀(guān)地認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象和基本性質(zhì)。
2.加強(qiáng)運(yùn)算中的檢驗(yàn)
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，隨時(shí)都應(yīng)注意對(duì)學(xué)生的運(yùn)算加以嚴(yán)格的要求，更需要讓他們養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣，除了在運(yùn)算時(shí)應(yīng)當(dāng)有演算底稿，運(yùn)算的步驟規(guī)格要一致外，還要為檢驗(yàn)創(chuàng)造良好的條件。在三角函數(shù)中還可以引導(dǎo)學(xué)生利用概念與公式間的聯(lián)系，加強(qiáng)這種訓(xùn)練。例如開(kāi)始應(yīng)用誘導(dǎo)公式運(yùn)算時(shí)，出錯(cuò)率較高，我們可以引導(dǎo)學(xué)生用三角函數(shù)線(xiàn)或三角函數(shù)定義來(lái)驗(yàn)證所取的符號(hào)，以后也可以用兩角和差的三角函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，等到學(xué)生有了檢驗(yàn)的習(xí)慣以后，再進(jìn)一步培養(yǎng)他們選擇簡(jiǎn)捷而有效的檢驗(yàn)方法。
三、使學(xué)生明確公式間的活用
新課標(biāo)要求，能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)與恒等式的證明。能靈活運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，我們要求學(xué)生掌握公式要做到兩用，兩用就是“能正面用，也能反面用”。只有這樣，才能在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)做到靈活應(yīng)用。如：倍角的余弦公式中倍角的形式是2α，而這個(gè)形式，對(duì)于4α，則可以寫(xiě)成2（2α），而有
sin4α=2sin2αcos2α
Cos4α=cos22α-sin22α
=1-2sin22α=2cos22α-1
同樣，α也可以寫(xiě)成2（■），■寫(xiě)成2（■），如果引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀(guān)察一下，發(fā)現(xiàn)等式兩端的角的量數(shù)始終保持著“2”對(duì)“1”的關(guān)系，抓住這個(gè)規(guī)律，就不會(huì)僵化地死記這個(gè)公式，同時(shí)倍角的余弦：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，又可變形為：cos2α=■（1+cos2α），sin2α=■（1-cos2α）
前者是由單角表示倍角的三角函數(shù)間的變形，用它可以使三角函數(shù)式中某些項(xiàng)升冪；而后者是由倍角表示單角的三角函數(shù)間的變形，用它則可使三角函數(shù)式中某些項(xiàng)降冪，這些對(duì)三角函數(shù)式的恒等變換和解三角方程很有幫助，也擴(kuò)大了公式的活用范圍。
四、使學(xué)生運(yùn)算時(shí)注意總結(jié)規(guī)律
三角函數(shù)問(wèn)題中我們應(yīng)隨時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生善于對(duì)所用知識(shí)與練習(xí)題進(jìn)行分類(lèi)歸納，總結(jié)方法，探尋規(guī)律，以不斷提高他們思考、推理和判斷的能力。例如，剛接觸三角函數(shù)性質(zhì)綜合題時(shí)，學(xué)生常感到不知道怎樣在開(kāi)始時(shí)引用公式，或恰當(dāng)?shù)剡x擇公式。在最初練習(xí)中，我們有必要給予一些指導(dǎo)、提示或是演示。
已知函數(shù)f（x）=sin2x+asinxcosx-cos2x，f（■）=1，求常數(shù)a的值及f（x）的最小值。引導(dǎo)學(xué)生先利用三角函數(shù)的和、差、倍角、半角公式化成f（x）=Asin（？棕x+？漬）的形式，然后借助三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究f（x）的相應(yīng)性質(zhì)。通過(guò)在三角函數(shù)教學(xué)中對(duì)學(xué)生運(yùn)算問(wèn)題的研究，在解答題中，要注意先利用三角恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
關(guān)鍵詞：周期性現(xiàn)象模型；感性認(rèn)識(shí)；三角函數(shù)
到了高中階段，三角函數(shù)概念擺脫了初中階段的束縛，產(chǎn)生很大的飛越． 概念提升后，學(xué)生認(rèn)識(shí)的角度、深度和廣度都要相應(yīng)地發(fā)生變化，對(duì)概念的理解才能從初中階段順利過(guò)渡到高中階段．從人類(lèi)認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的辯證過(guò)程看，首先是從實(shí)踐到認(rèn)識(shí)的過(guò)程． 在這個(gè)過(guò)程中，認(rèn)識(shí)采取了感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)兩種形式，并經(jīng)歷了由前者到后者的能動(dòng)飛躍． 理性認(rèn)識(shí)是基于感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上的． 感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)相互滲透，相互包含． 感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)在實(shí)踐的基礎(chǔ)上是辯證統(tǒng)一的． 認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)是不斷反復(fù)和無(wú)限發(fā)展的． 數(shù)學(xué)就是人類(lèi)通過(guò)實(shí)踐由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)而形成的，并在不斷豐富和發(fā)展．
初中階段的三角函數(shù)概念，其研究范圍是銳角，側(cè)重幾何的角度，在一個(gè)直角三角形中，研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內(nèi)在關(guān)系，其研究方法是幾何的，研究目的是為解直角三角形服務(wù)． 高中階段，它是在“角的概念的推廣”的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論和研究的，研究從“靜態(tài)”到“動(dòng)態(tài)”，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)．通過(guò)構(gòu)造，將給定的角通過(guò)直角坐標(biāo)系研究，提供了用代數(shù)方法研究幾何的思路，研究平臺(tái)從初中的平面幾何圖形過(guò)渡到平面直角坐標(biāo)系，再次體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 任意角的三角函數(shù)作為函數(shù)概念的下位概念，要強(qiáng)調(diào)它是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，由“銳角三角函數(shù)”概念擴(kuò)張到“任意角三角函數(shù)”． 三角學(xué)的現(xiàn)代特征，是把三角量看做函數(shù)，即看做是一種與角相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值． 正如歐拉所說(shuō)，“引進(jìn)三角函數(shù)以后，原來(lái)意義上的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進(jìn)行自由的運(yùn)算”．
三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材中自成體系，成為獨(dú)立的一章． 沿定義出發(fā)衍生的基本內(nèi)容有：三角函數(shù)線(xiàn)、三角函數(shù)值的符號(hào)、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、一些變換公式以及圖象和性質(zhì)，其內(nèi)涵豐富，外延廣泛． 在經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)過(guò)渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過(guò)程中，學(xué)生的理解很難一步到位，往往還是容易陷入于直角三角形中去研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內(nèi)在關(guān)系． 要克服負(fù)遷移，打破思維定式，突破它的下位概念——銳角三角函數(shù)的概念的束縛，承前啟后，從狹義走向廣域，達(dá)到概念的內(nèi)化．
脫離實(shí)際的理論是空洞的，會(huì)顯得蒼白無(wú)力． 找到感性認(rèn)識(shí)的切入點(diǎn)，通過(guò)突出和深化感性認(rèn)識(shí)，提供一些適當(dāng)?shù)谋尘埃鰪?qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的體驗(yàn)，學(xué)生能身臨其境，伴隨著“真情實(shí)感”來(lái)體驗(yàn)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，逐步過(guò)渡到理性認(rèn)識(shí)階段，水到渠成．
以典型、具體的模型，通過(guò)適當(dāng)?shù)膶?shí)踐讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去認(rèn)知，明確研究范圍的變化，開(kāi)闊視野，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行提煉概括，才能揭示由此帶來(lái)的新問(wèn)題，加深對(duì)新概念的理解，這樣的學(xué)習(xí)才會(huì)充滿(mǎn)活力．
這里給出兩個(gè)例子來(lái)加以說(shuō)明．
以和我們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)的交流電為例，它的最基本的形式是正弦電流
如圖1所示為發(fā)電機(jī)的示意圖．當(dāng)線(xiàn)圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)圈將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)． 當(dāng)線(xiàn)圈平面垂直于磁感線(xiàn)時(shí)，各邊都不切割，沒(méi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱(chēng)此平面為中性面，如圖2所示． 設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)中線(xiàn)圈一邊的長(zhǎng)度為l，平面從中性面開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，線(xiàn)圈轉(zhuǎn)過(guò)的角度為ωt，這時(shí)，其單側(cè)線(xiàn)圈切割磁感線(xiàn)的線(xiàn)速度v與磁感線(xiàn)的夾角也為ωt，所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e′=Blvsinωt． 所以整個(gè)線(xiàn)圈所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為e=2Blvsinωt，2Blv為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值，設(shè)為Em，則e=Emsinωt． 此式為正弦交流電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值表達(dá)式，也稱(chēng)解析式． 正弦交流電壓、電流等表達(dá)式與此相似．
圖3
圖4
從產(chǎn)生交流電的過(guò)程看，對(duì)比正弦曲線(xiàn)，此例是一個(gè)非常生動(dòng)和具體的實(shí)例．
簡(jiǎn)諧振動(dòng)
簡(jiǎn)諧振動(dòng)有單擺擺動(dòng)和彈簧振子運(yùn)動(dòng)．
理論和實(shí)驗(yàn)都證明，簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律呈正弦函數(shù)或余弦函數(shù)．
以橫軸表示時(shí)間t，以縱軸表示位移x，建立坐標(biāo)系，畫(huà)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖象都是正弦或余弦曲線(xiàn)，振動(dòng)圖象表示了振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律． 由圖象可知振動(dòng)的周期，可以讀出不同時(shí)刻的位移；根據(jù)圖象可以確定速度大小、方向的變化趨勢(shì)；還可以根據(jù)位移的變化趨勢(shì)判斷加速度的變化，也能判斷質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能和勢(shì)能的變化情況．
學(xué)生如果能從所熟悉的問(wèn)題、感興趣的事物、日常生活中的情景或已熟悉掌握的知識(shí)等這些背景出發(fā)，不僅把已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)作為新知識(shí)增長(zhǎng)點(diǎn)，從現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中培養(yǎng)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，也將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與他的現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)，找到數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)踐應(yīng)用中的切入點(diǎn)，把數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，服務(wù)于當(dāng)代和新生科學(xué)的理論和實(shí)踐，“把現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)與學(xué)生個(gè)體的現(xiàn)實(shí)緊密地結(jié)合起來(lái)”．
任意角的三角函數(shù)反映了自然界中或工程技術(shù)中的一個(gè)非常重要的周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，是大量周期性現(xiàn)象的模型，也是為研究客觀(guān)世界中大量存在的周期性現(xiàn)象服務(wù)的．
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)；三角函數(shù)誘導(dǎo)公式
在新的課程理念指導(dǎo)下，教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，從根本上改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。教師應(yīng)從知識(shí)的傳授者變?yōu)閷W(xué)生發(fā)展的服務(wù)者，即知識(shí)的“呈現(xiàn)者”、對(duì)話(huà)的“啟發(fā)者”、學(xué)習(xí)的“促進(jìn)者”、學(xué)業(yè)的“評(píng)價(jià)者”、紀(jì)律的“監(jiān)管者”。
本人從2008年9月開(kāi)始任教高中數(shù)學(xué)，在教學(xué)中采用探究發(fā)現(xiàn)式課堂教學(xué)模式，通過(guò)近五年的教學(xué)實(shí)踐，取得了一定的成績(jī)。筆者結(jié)合在教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)談一下對(duì)探究式課堂教學(xué)模式的幾點(diǎn)體會(huì)供大家商榷。
一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)探究欲望
“學(xué)起于思，思源于疑?！眴?wèn)題情境使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的困惑，從而激發(fā)探究欲望。例如，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，可創(chuàng)設(shè)如下的問(wèn)題情境：求值（搶答）第一組：sin30°，cos30°，tan30°；第二組：sin■，cos■，tan■；第三組：sin210°，cos■，tan（-■）。教師在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)應(yīng)做到恰當(dāng)自然，要能緊扣內(nèi)容本質(zhì)，切忌畫(huà)蛇添足；要摒棄唯情境而情境的觀(guān)念，切忌庸俗化；要明確教學(xué)情境不等于現(xiàn)實(shí)生活情境；要注意到數(shù)學(xué)教學(xué)的開(kāi)放性和有效性的需要。為“穿靴戴帽”而創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境以及不加提煉的創(chuàng)設(shè)甚至遠(yuǎn)離主題的創(chuàng)設(shè)，不僅不能成為時(shí)尚，相反會(huì)使數(shù)學(xué)教學(xué)因情境的存在而模糊教學(xué)視線(xiàn)，繼而成為教學(xué)負(fù)擔(dān)。
二、創(chuàng)設(shè)思維情境，啟導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題
這是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的課堂教學(xué)活動(dòng)的中心環(huán)節(jié)，是指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的舊知識(shí)創(chuàng)造性地解決新問(wèn)題的過(guò)程。教師所設(shè)置的問(wèn)題要對(duì)準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)，突出教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)；要問(wèn)在學(xué)生有疑問(wèn)的地方，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，幫助學(xué)生將證據(jù)與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)；要能引起學(xué)生的積極思考，將學(xué)生的觀(guān)點(diǎn)引入課堂，促進(jìn)學(xué)生的參與和討論；還要能為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)留有空間。只有這樣，才能使學(xué)生在探究活動(dòng)中不僅學(xué)到知識(shí)，同時(shí)獲得探究活動(dòng)的精髓。例如，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的得出，可創(chuàng)設(shè)如下的問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：角π+α的終邊與角α的終邊的位置關(guān)系如何？問(wèn)題2：角π+α的三角函數(shù)值與角α的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？問(wèn)題3：將第三象限內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為第一象限的角。問(wèn)題4：當(dāng)銳角α的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，上述得出的等式成立嗎？利用以上問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生充分利用單位圓，討論探究角的關(guān)系；指導(dǎo)學(xué)生利用單位圓及角的正弦、余弦函數(shù)的定義，導(dǎo)出公式；啟發(fā)學(xué)生觀(guān)察公式的特點(diǎn)，明確公式的作用。這樣，我們就可以將抽象問(wèn)題簡(jiǎn)單化、簡(jiǎn)單問(wèn)題數(shù)學(xué)化。
三、創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑情境，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力
蘇霍姆林斯基曾說(shuō)：“人的心靈深處，總有一種把自己當(dāng)作發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的固有需要……”創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑情境是在教學(xué)中，教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望，激發(fā)濃厚的學(xué)習(xí)興趣采取的一種手段。例如，教學(xué)《三角函數(shù)誘導(dǎo)公式》一課，我就用挑戰(zhàn)性的語(yǔ)氣說(shuō)：“同學(xué)們，角-α、π-α的終邊與角α的終邊的位置關(guān)系如何？它們的三角函數(shù)值有怎樣的關(guān)系？為什么？”于是，學(xué)生求知若渴的情緒被激起來(lái)，產(chǎn)生了強(qiáng)烈的求知欲望，學(xué)生就會(huì)帶著濃厚的興趣去探究新的發(fā)現(xiàn)，成了主動(dòng)探索者，也充分體現(xiàn)了教師指導(dǎo)作用與學(xué)生主體作用的結(jié)合。這樣學(xué)生的思維得到發(fā)展，能力得到加強(qiáng)，認(rèn)知的任務(wù)也得以完成。
四、理性歸納，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)
在問(wèn)題解決后要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)探究過(guò)程進(jìn)行回顧反思，使成功的經(jīng)驗(yàn)明朗化，并組織學(xué)生歸納出有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法和知識(shí)、技能方面的一般性結(jié)論。我提出問(wèn)題：“分析總結(jié)誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)？”再讓學(xué)生通過(guò)討論解決提出的問(wèn)題。通過(guò)歸納總結(jié)鞏固應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生形成認(rèn)知：1.α+2kπ（k∈Z），-α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)；2.利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，可按下列步驟進(jìn)行：任意負(fù)角的三角函數(shù)相應(yīng)的正角的三角函數(shù)0到2π角的三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)求值。即負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了。這樣的教學(xué)將誘導(dǎo)公式不僅在形式上而且在實(shí)質(zhì)上實(shí)施了統(tǒng)一，使學(xué)生形成了良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
一位著名的科學(xué)家曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“學(xué)校教給學(xué)生什么樣的知識(shí)最有價(jià)值？那就是學(xué)生離開(kāi)學(xué)校許多年之后，還留在學(xué)生大腦中的那一部分東西。”教師在教學(xué)時(shí)要達(dá)到“授人以法”的境界，進(jìn)而成為一名“授人以道”的教師。所謂“授人以法”就是說(shuō)教師要培養(yǎng)學(xué)生的能力，教給他們方法，使學(xué)生自己有能力去擴(kuò)展知識(shí)。而“授人以道”是指我們教學(xué)的結(jié)果能夠使學(xué)生將他們掌握的方法和獲得的知識(shí)貫穿起來(lái)，使他們既能高瞻遠(yuǎn)矚，又能析物入微，并在繼承傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上，走創(chuàng)新之路。要做到這點(diǎn)，就需要教師不斷地積累和反思自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和失誤，摸索教學(xué)規(guī)律，不斷提高個(gè)人的教學(xué)能力和水平。因此教師在教學(xué)活動(dòng)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)易于學(xué)生理解、思考、感受和活動(dòng)的各種情境，從學(xué)生的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)意識(shí)，幫助學(xué)生完成新知識(shí)的建構(gòu)，全面提高學(xué)生的自主探究能力。
參考文獻(xiàn)：
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2.孫孜、涂榮豹，《“單位用定義法”VS“終邊坐標(biāo)法”》[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009.6
一、計(jì)算題中的運(yùn)用
1.三角函數(shù)值計(jì)算.由三角函數(shù)定義知，函數(shù)值可以構(gòu)造直角三角形的兩邊之比，值的符號(hào)要看角所在象限.因此三角函數(shù)值與三角形的大小無(wú)關(guān).求值時(shí)可選取特殊值（定值），這樣不僅解題快速且可大大提高準(zhǔn)確率.以下舉兩例說(shuō)明.
2.相關(guān)比值問(wèn)題的計(jì)算.此類(lèi)題目往往設(shè)定一些未知數(shù)，但最后又被約掉.所以題目結(jié)論與所設(shè)數(shù)值無(wú)關(guān)，因此，我們不妨采用特殊值方法，這將會(huì)對(duì)運(yùn)算起到簡(jiǎn)化的作用.
二、解方程中的運(yùn)用
在數(shù)學(xué)中解方程（組）是常見(jiàn)的問(wèn)題，也是同學(xué)們應(yīng)掌握的重要能力，而同學(xué)們往往偏重常規(guī)方法.忽視對(duì)題目的分析，其實(shí)賦以特殊值方法是解復(fù)雜方程的一種重要的手段.現(xiàn)舉兩例說(shuō)明：
三、在填空題中的運(yùn)用
當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值（或特殊函數(shù)，或特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，特殊方程，特殊模型等）進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論.這樣可大大地簡(jiǎn)化推理、論證的過(guò)程.
四、解答題中的運(yùn)用
由于共性寓于事物的個(gè)性之中，所以對(duì)于有些較復(fù)雜的問(wèn)題只要把特殊情況討論清楚了，一般情況就容易化歸為特殊情況了.
注：這里是將橢圓系中的圖形特殊化，在取特殊位置時(shí)既不失一般性，而又便于計(jì)算.
五、探索性問(wèn)題的運(yùn)用
我們都知道數(shù)學(xué)中的許多公式、定理都是通過(guò)從特殊情況入手去探索、發(fā)現(xiàn)、歸納，然后嚴(yán)格證明后成為一般規(guī)律的數(shù)學(xué)思想，這就要求我們的高中生掌握這一思想方法，從特殊值入手分析發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問(wèn)題.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 口訣 三角函數(shù)
【中圖分類(lèi)號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2013）14-0013-02
數(shù)學(xué)自身具有的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性，令許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者望而卻步。許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)校數(shù)學(xué)中常常為記憶數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)規(guī)律等感到頭疼困難。阻礙了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也阻礙了數(shù)學(xué)知識(shí)在科學(xué)生活領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用?，F(xiàn)今社會(huì)，知識(shí)信息日益更新，快、準(zhǔn)、多地?fù)碛兄R(shí)信息，是無(wú)數(shù)學(xué)習(xí)者期望的事。數(shù)學(xué)作為科學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，如何幫助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者更快、更巧地記憶知識(shí)、掌握知識(shí)，就顯得尤為重要。本人根據(jù)三十多年的教學(xué)實(shí)踐研究，總結(jié)出了一些巧妙有趣的口訣和順口溜，幫助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者對(duì)枯燥、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念、公式進(jìn)行巧記、速記，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，并取得了一些成效。現(xiàn)與大家分享。
一 妙趣口訣生成原則
妙趣口訣生成原則：（1）力求語(yǔ)言精練準(zhǔn)確，抓住關(guān)鍵字或關(guān)鍵詞；（2）力求語(yǔ)言簡(jiǎn)練押韻，朗朗上口；（3）不能丟失數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性；（4）易懂易記。
二 妙趣口訣匯編
1.函數(shù)定義域區(qū)間概念表示形式的記憶口訣
4.任意角三角函數(shù)值符號(hào)的記憶口訣
“一正二正弦，三切四余弦?！?/p>
5.同角三角函數(shù)關(guān)系恒等式的記憶口訣
7.三角函數(shù)圖像性質(zhì)的記憶口訣
關(guān)鍵詞: 教學(xué)改革; 基礎(chǔ)教學(xué); 職業(yè)學(xué)校
中圖分類(lèi)號(hào): G427文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A文章編號(hào): 1009-8631(2010)03-0144-01
引 言
在西部開(kāi)發(fā)的政策下,對(duì)于目前職業(yè)學(xué)校教育,我國(guó)提出了培養(yǎng)“雙師型”教師的重要目標(biāo)。職業(yè)學(xué)校教育決定數(shù)學(xué)教學(xué)必須具有服務(wù)性,因此職業(yè)學(xué)校的數(shù)學(xué)教師要牢固樹(shù)立數(shù)學(xué)教學(xué)為專(zhuān)業(yè)服務(wù)的指導(dǎo)思想,從教學(xué)原則到教學(xué)內(nèi)容都要切實(shí)做到為專(zhuān)業(yè)課服務(wù)。
數(shù)學(xué)教師還是應(yīng)該結(jié)合專(zhuān)業(yè)踏實(shí)的完成每一堂課。在不破壞數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性和循序漸進(jìn)原則的基礎(chǔ)上,對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理的整合,使得不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生有不同的數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃和教學(xué)內(nèi)容,做到數(shù)學(xué)課為專(zhuān)業(yè)課服務(wù)。
一、把握教學(xué)大綱,準(zhǔn)確教學(xué)內(nèi)容
中職教育中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是使學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)并掌握職業(yè)崗位和生活中所必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能、計(jì)算工具使用技能和數(shù)據(jù)處理技能;觀(guān)察能力、空間想象能力、分析與解決問(wèn)題能力和數(shù)學(xué)思維能力;提高學(xué)生就業(yè)能力與創(chuàng)業(yè)能力。現(xiàn)實(shí)的學(xué)校教學(xué)中需要將這三個(gè)培養(yǎng)融合到教學(xué)中。
二、結(jié)合學(xué)生專(zhuān)業(yè),認(rèn)真分析教材
1. 學(xué)情分析。首先是分析專(zhuān)業(yè),學(xué)生的專(zhuān)業(yè)決定了教學(xué)內(nèi)容;其次是分析認(rèn)知程度,中職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很不平衡;再次是分析能力,分析學(xué)生已掌握的一些數(shù)學(xué)能力;最后是分析情感,學(xué)生努力的目標(biāo)也不盡相同。
2. 內(nèi)容分析與教材結(jié)構(gòu)。首先應(yīng)該分析教學(xué)內(nèi)容在專(zhuān)業(yè),生活,科學(xué)以及學(xué)科上的地位。不同類(lèi)型的專(zhuān)業(yè)該部分內(nèi)容的地位不同。其次分析本節(jié)內(nèi)容在本章中的地位,做到內(nèi)容的熟練銜接;最后分析能力,情感的地位內(nèi)容,把握本次教學(xué)學(xué)生需要掌握的數(shù)學(xué)能力以及情感的培養(yǎng)。
3. 根據(jù)專(zhuān)業(yè)制定不同的目標(biāo)。結(jié)合上面對(duì)學(xué)生的分析以及內(nèi)容的分析,制定出適合學(xué)生的教學(xué)目標(biāo)是至關(guān)重要的。以《三角函數(shù)的概念》一課為例考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征以及學(xué)生的專(zhuān)業(yè),在基礎(chǔ)知識(shí)上,學(xué)生要理解任意角三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)值的符號(hào),會(huì)求任意角的三角函數(shù)值。在能力上,主要訓(xùn)練學(xué)生并將這些知識(shí)與專(zhuān)業(yè)中的交流電的學(xué)習(xí)相聯(lián)系理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義,正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù);在情感上通過(guò)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題是從抽象到形象的轉(zhuǎn)化過(guò)程,體會(huì)數(shù)學(xué)之美,從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣。如果這一課是其它專(zhuān)業(yè),在能力要求上就需要變化,例如工民建專(zhuān)業(yè),就要求將三角函數(shù)與振動(dòng)聯(lián)系,為學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)力學(xué)打下基礎(chǔ)。
4. 制定教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)。重點(diǎn)是理解任意角三角函數(shù)的定義,應(yīng)用定義解決專(zhuān)業(yè)實(shí)際問(wèn)題來(lái)突出重點(diǎn)。難點(diǎn)是函數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程,以及與實(shí)際相聯(lián)系的理解?？梢酝ㄟ^(guò)應(yīng)用幾何畫(huà)板直觀(guān)的感受來(lái)突破難點(diǎn)。
三、教法與學(xué)法
在教學(xué)中我們要展現(xiàn)獲取知識(shí)和方法的思維過(guò)程。著重采用觀(guān)察,實(shí)驗(yàn),歸納,總結(jié)的教學(xué)方法,以問(wèn)題為解決中心、啟發(fā)為主的教學(xué)方法。學(xué)生使用從專(zhuān)業(yè)出發(fā)提問(wèn)題,看圖像,找規(guī)律,思考問(wèn)題,交流協(xié)作,探索歸納,總結(jié)結(jié)論,聯(lián)系專(zhuān)業(yè)的學(xué)習(xí)方法。使學(xué)生的思維更生動(dòng)形象和連貫。
四、靈活的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
1. 多種方式引入新課
從實(shí)際生活中引出數(shù)學(xué)原形問(wèn)題。讓學(xué)生帶著生活問(wèn)題進(jìn)入課堂,深切懂得學(xué)數(shù)學(xué)是為了適應(yīng)生活,是謀生的一種手段。在《三角函數(shù)的概念》教學(xué)中,我從什么時(shí)間看潮汐的實(shí)際問(wèn)題入手,利用時(shí)間與水深的函數(shù)關(guān)系引入新概念。這個(gè)引入具有普遍性。什么專(zhuān)業(yè)都可以實(shí)用。從專(zhuān)業(yè)需要中引出數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)本身源于生產(chǎn)實(shí)際,職業(yè)學(xué)校諸多專(zhuān)業(yè)需要數(shù)學(xué)知識(shí)的鋪墊。所以我針對(duì)專(zhuān)業(yè)的特點(diǎn)又從正弦交流電的產(chǎn)生進(jìn)行引入。同時(shí)針對(duì)不同專(zhuān)業(yè),我們還可以由其它的專(zhuān)業(yè)內(nèi)容的引入,例如工程專(zhuān)業(yè)就可以用振動(dòng)方面的實(shí)例來(lái)引入,體現(xiàn)教學(xué)的靈活性,針對(duì)性。從已學(xué)知識(shí)中引出新的數(shù)學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要注意知識(shí)的連貫性,在本課的引入中還要做好知識(shí)的鋪墊。復(fù)習(xí)初中所學(xué)過(guò)的銳角三角函數(shù),加深對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解,突出直角三角形線(xiàn)段長(zhǎng)度的比值,范圍是0°到90°。為后面的問(wèn)題產(chǎn)生做鋪墊。
2. 用活動(dòng)化、多元化的教學(xué)方法學(xué)習(xí)新知識(shí)
以生活和專(zhuān)業(yè)為背景創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景。從學(xué)生熟悉的生活實(shí)例或與專(zhuān)業(yè)有關(guān)的實(shí)例引出數(shù)學(xué)知識(shí),再將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于處理實(shí)際問(wèn)題或?qū)I(yè)問(wèn)題上。這樣做既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,又避免了學(xué)生不知道學(xué)數(shù)學(xué)有什么用的誤區(qū)。在實(shí)際教學(xué)中,針對(duì)水電專(zhuān)業(yè)學(xué)生,我是從上面三個(gè)引入中提出三個(gè)問(wèn)題:有生活中的引入提出sin的符號(hào)是什么;從專(zhuān)業(yè)引入中提出已學(xué)銳角的正弦知識(shí)不能滿(mǎn)足專(zhuān)業(yè)需要必須擴(kuò)展;從已學(xué)銳角三角函數(shù)概念是線(xiàn)段長(zhǎng)度的比值,引入到直角坐標(biāo)系中,提出可以用什么做比值。
以問(wèn)題形成推出教學(xué)內(nèi)容。本課我將由已學(xué)知識(shí)的問(wèn)題分析得出三角函數(shù)定義;對(duì)任意角三角函數(shù)定義提出五個(gè)問(wèn)題:P點(diǎn)移動(dòng)三角函數(shù)值變化;角的終邊移動(dòng)三角函數(shù)值變化;為什么叫他們是函數(shù);角的變化范圍是什么;三角函數(shù)有幾個(gè)來(lái)解決教學(xué)的重點(diǎn),難點(diǎn)。最后回答生活和專(zhuān)業(yè)上設(shè)置的問(wèn)題使學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí),提起學(xué)習(xí)的興趣。解決問(wèn)題的同時(shí)吸引學(xué)生共同探討問(wèn)題的解決辦法,培養(yǎng)學(xué)生分析能力,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。
以活動(dòng)形式研究實(shí)際問(wèn)題。以體驗(yàn)――探索――提高為指導(dǎo)思想開(kāi)展課堂教學(xué)。教學(xué)中我利用幾何畫(huà)板軟件做出可以改變角的終邊位置,改變終邊上點(diǎn)的坐標(biāo),反映三角函數(shù)值的變化的動(dòng)態(tài)圖形。請(qǐng)學(xué)生自己操作,并觀(guān)察數(shù)據(jù)的變化,回答問(wèn)題,最后并總結(jié)結(jié)論。便于學(xué)生感受函數(shù)的本質(zhì),增強(qiáng)教學(xué)效果。同時(shí)最后由老師做總結(jié),聯(lián)系實(shí)際生產(chǎn)生活作為提高。
以專(zhuān)業(yè)為向?qū)?chuàng)新教學(xué)過(guò)程。把時(shí)間花在與學(xué)生今后工作中人人都要接觸的專(zhuān)業(yè)知識(shí)點(diǎn)上,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更實(shí)用、更有價(jià)值,為他們學(xué)好專(zhuān)業(yè)鋪平道路、打下基礎(chǔ)。因此在《三角函數(shù)概念》的教學(xué)過(guò)程中我還設(shè)計(jì)了為學(xué)生提出在專(zhuān)業(yè)中出現(xiàn)的正弦交流電的向量圖表示法是單位圓表示三角函數(shù)的應(yīng)用。提出交流電正負(fù)半周的出現(xiàn)與三角函數(shù)在各象限中符號(hào)的變化情況的聯(lián)系。著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。
3. 教學(xué)評(píng)價(jià)情感化、過(guò)程化
筆者參與這一章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)有八次之多了，同時(shí)也聽(tīng)了十多名教師的課，他們講授的是同一內(nèi)容：“兩角和與差的余弦（第一課時(shí)）”，對(duì)這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)體會(huì)頗深，下面就這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行探討與研究。
1 公式 的引入
在引入新的概念時(shí)，教師要有意創(chuàng)設(shè)便于學(xué)生觀(guān)察、分析、思考的情境，使得所傳遞的新知識(shí)與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生沖突，促使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)心理上的需要。因此所設(shè)計(jì)的問(wèn)題要能激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與學(xué)習(xí)興趣，使他們產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲。
2 公式 的推導(dǎo)
公式 的推導(dǎo)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是有一定難度的，教師要認(rèn)真思考是運(yùn)用什么樣的數(shù)學(xué)思想和教學(xué)方法去引導(dǎo)學(xué)生分析、思考、并解決問(wèn)題。為了分散難點(diǎn)，筆者認(rèn)為有必要復(fù)習(xí)兩點(diǎn)準(zhǔn)備知識(shí)：一是如何用 的三角函數(shù)表示角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。這一概念看似簡(jiǎn)單，其實(shí)它是三角函數(shù)的逆向運(yùn)用，學(xué)生不易發(fā)覺(jué)。通過(guò)信息反饋表明，不講解這一知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生一時(shí)難以理解交點(diǎn)坐標(biāo)的來(lái)龍去脈。二是要復(fù)習(xí)坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，這個(gè)公式學(xué)生比較少用，會(huì)覺(jué)得比較陌生。
有些教師由于沒(méi)有弄清這些問(wèn)題，在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)公式時(shí)顯得有點(diǎn)牽強(qiáng)附會(huì)，勉為其難，以至思路不流暢。
筆者這樣考慮的：
（1）在直角坐標(biāo)系中研究三角函數(shù)關(guān)系式是一種基本的研究方法，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)家思想，而在單位圓中考慮問(wèn)題既是為了統(tǒng)一，也使過(guò)程更加簡(jiǎn)明，這一方法在前一章中已有幾處用到過(guò)。
（2）建立cos（ ）與 的三角函數(shù)間
的關(guān)系，就是要尋找等量關(guān)系，它反映到幾何圖形中，就是要尋求等角或等長(zhǎng)的線(xiàn)段，線(xiàn)段的長(zhǎng)必須用 的三角函數(shù)來(lái)表示，因此構(gòu)造了 、 角后，我們發(fā)現(xiàn)了角 、 的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2，P3都用 、 的三角函數(shù)來(lái)表示了，但圖形中仍沒(méi)有用 的三角函數(shù)值表示的坐標(biāo)的點(diǎn)，基于這一點(diǎn)，同時(shí)也為了尋找等量關(guān)系，我們?cè)囍鴺?gòu)造一個(gè)― 角，它與單位圓交于點(diǎn)P4，這時(shí)∠P1OP3=∠P2OP4，連結(jié)P1P3和P2P4就有P1P3=P2P4成立。
有些教師在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)時(shí)，對(duì)證明的思路分析不太透徹，他們或是照本宣科，或是含糊其辭，沒(méi)有從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律方面去探討分析，這樣做對(duì)學(xué)生思維的深刻性、活躍學(xué)生的思維是不利的，從而扼殺了學(xué)生創(chuàng)造力。
3 公式 的應(yīng)用
但不宜太難，注意整堂課的教學(xué)重點(diǎn)是參公式的理解和記憶。不能偏離。有些教師在教學(xué)中淡化參公式的推導(dǎo)證明，而偏向公式的廣泛應(yīng)用，這樣容易使學(xué)生忽視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能和思維能力，甚至有點(diǎn)舍本求未了。