時間：2022-07-26 05:36:30
導(dǎo)語：在勾股定理證明方法的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
一、定理引入
課堂教學(xué)開展之初，應(yīng)利用一些生動有趣的故事引入，讓學(xué)生對所學(xué)知識產(chǎn)生興趣.
在教學(xué)勾股定理時，我用《九章算術(shù)》中的一題引入：如圖1，有個一丈見方的水池，在這個池中生長著一株植物，植物形似蘆葦，恰好伸出水面一尺長，假如把這株植物彎向岸邊，直到其與地面相連時，可否得出這一池水的深度，以及這株植物的長度？
圖1在方案設(shè)計時融入故事和趣味問題，主要的意圖是通過這些妙趣橫生的情境來激發(fā)學(xué)生的想象力，讓他們對學(xué)習(xí)勾股定理產(chǎn)生興趣，從而調(diào)動起他們的探究熱情.
圖2二、定理探索
定理的探索是一個發(fā)現(xiàn)的過程，主要分為以下兩步.
1.直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系的猜想
結(jié)合圖2，若圖中小方格的單位面積為1.問題（1）：如何求出三個正方形的面積？問題（2）：三個正方形的面積之間有什么等量關(guān)系？問題（3）：你能否得出直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系？
2.猜想驗證
首先作出八個全等的直角三角形，它們的兩個直角邊和斜邊分別設(shè)定為a、b、c，再作三個正方形，它們的邊長分別為a、b、c.然后按照圖3所示，將它們拼成兩個大的正方形.我們從兩個大正方形中可以發(fā)現(xiàn)，它們的邊長均為a+b，因此可以斷定它們的面積等同.即.
圖3通過上述驗證探索我們可以得知，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（即勾股定理）.
三、定理應(yīng)用
在驗證完上述定理之后，還需要針對學(xué)生掌握的情況進(jìn)行解題嘗試，讓學(xué)生可以進(jìn)一步應(yīng)用定理. 以上述《九章算術(shù)》的習(xí)題為例，讓學(xué)生嘗試求出池水的深度以及這株植物的長度.
因為學(xué)生此時已經(jīng)大致了解了勾股定理，因此在理解題意的基礎(chǔ)上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再將有關(guān)代數(shù)式代入等式中，通過解方程可以得出水深12尺，這株植物的長度為13尺.
四、定理證明
圖4 當(dāng)學(xué)生完成了對勾股定理的猜測、驗證和應(yīng)用后，最后還要對勾股定理進(jìn)行證明.對此，我們將學(xué)生分為幾個小組，讓學(xué)生組內(nèi)合作進(jìn)行定理的證明.當(dāng)然，勾股定理的證明方法有很多，所以針對不同的小組，讓他們采用不同的方法加以證明.就拿拼圖法來說，除了像圖3那種方法外，也可以用圖4來證明.
這一部分的操作意圖是為了讓學(xué)生之間的互動交流得以加強(qiáng)，使他們對勾股定理的原理和認(rèn)知能夠得到全面的鞏固.
五、習(xí)題鞏固
針對學(xué)生對勾股定理的掌握情況，教師安排一些有針對性的習(xí)題進(jìn)行一系列的鞏固練習(xí)，這在強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用能力的同時，也加深了他們對該定理的認(rèn)知，從而讓知識變得真實易懂，融入自身.
定理
【中圖分類號】 G633.6
【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A
【文章編號】 1004―0463（2016）
21―0111―01
一、用“格點”教具，提高學(xué)生計算能力，突破勾股定理的導(dǎo)入瓶頸
在小學(xué)，格點面積的相關(guān)計算是學(xué)生能力方面的一個要求，學(xué)生通過觀察不規(guī)則圖形在方格中的位置，通過割、補(bǔ)、拼等手段，以及巧算“格點”圖形的面積，就可計算出圖形的面積。在初中階段，勾股定理就是在“數(shù)”圖形面積的過程中發(fā)現(xiàn)并引入的，“數(shù)”面積也是勾股定理證明、應(yīng)用的關(guān)鍵。為了達(dá)到較好的教學(xué)效果，在教具上，重點突出格點圖形面積的計算應(yīng)用。首先用小木質(zhì)黑板，畫好20×20的方格，用皮筋當(dāng)線段，圖釘當(dāng)頂點，在格點上“釘”出多邊形，讓學(xué)生采取對圖形的拼、割以及“格點”計算等不同的方法，計算多邊形圖形的面積。通過訓(xùn)練，使學(xué)生更好地認(rèn)識圖形，突破圖形面積的計算障礙，為學(xué)習(xí)“勾股定理”打下良好的基礎(chǔ)。這里，通過運用教具進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué) ，把抽象的數(shù)學(xué)知識具體形象地呈現(xiàn)給學(xué)生，提高了學(xué)生的圖形感知能力。
二、用“拼盤”教具，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，突破勾股定理的證明障礙
《勾股定理》的證明方法有很多，如何讓學(xué)生能很好地理解這些方法呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)用簡易的教具去演示其中的奧妙，是教學(xué)中最好的方法。
筆者是這樣做的：制作底為7cm×7cm，高約0.5cm的正方盒1個以及直角邊為3cm×4cm的全等直角三角形4個，在教學(xué)中，如果拼擺這四個直角三角形，就可得到我國古代數(shù)學(xué)家趙爽以及美國總統(tǒng)的關(guān)于勾股定理的證明思想。
中國歷史上的“青朱出入圖”，是古人對勾股定理的無字證明。在教學(xué)時，可讓學(xué)生自己先制作這一學(xué)具，通過拼割、移動圖形，發(fā)現(xiàn)面積的變化，感受并體會勾股定理的奧秘所在。
教學(xué)中，運用這個教具，直觀形象地使各圖形之間的面積凸顯出來，幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，抓住其本質(zhì)要害，從而使抽象的數(shù)量關(guān)系具體化、形象化，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、記憶、思維、想象能力。
三、用 “立體”教具，激發(fā)學(xué)生空間想象能力，解決勾股定理的分析困難
教具有能拼、能折、能拆等特點，利用這一特點，可使教學(xué)變得具有操作性和活動變化性。在應(yīng)用勾股定理解決空間立體圖形的問題時，學(xué)生總是想象不出圖形中各線段之間的關(guān)系，無法理解空間問題，但適時利用圓錐、圓柱、長方體等教具，就可以讓學(xué)生很輕松地解決這一問題。
例如，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米。在圓形柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3.14）
讓學(xué)生自己做一個圓柱（圓柱側(cè)面繞一層紙），在圓柱上用鉛筆標(biāo)注出A、B的位置，嘗試用鉛筆從A點到B點沿圓柱的側(cè)面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最短呢？用剪刀將圓柱側(cè)面的紙（沿母線剪開），將圓柱的側(cè)面展開。這時，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，剛才用鉛筆畫的路線就是螞蟻的走法，哪條線段最短顯而易見。
四、用 “折疊”教具，強(qiáng)化學(xué)生的動手操作能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)勾股定理的信心
對于“折疊”類的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生抓不住折前與折后數(shù)形之間的相互聯(lián)系，無法將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使“折疊”題成了難題。為了促進(jìn)學(xué)生空間觀念的進(jìn)一步發(fā)展，教師可以引導(dǎo)學(xué)生動手現(xiàn)場折疊廢舊紙片，發(fā)現(xiàn)其中的等量關(guān)系。
本節(jié)課的內(nèi)容是九年制義務(wù)教育教科書（人教版），八年級第十七章“勾股定理”。通過向?qū)W生提供現(xiàn)實、有趣、富有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)素材，使學(xué)生展開討論，讓學(xué)生從多角度思考，探索不同的方法，找到解決問題的策略，積累解決問題的經(jīng)驗，掌握解決問題的方法，同時在教學(xué)中滲透中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。
一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課
師：（結(jié)合動畫講故事）同學(xué)們，我們國家有著幾千年的悠久文化，西周開國時期，周公非常愛才，他和喜歡鉆研數(shù)學(xué)的商高是好朋友。有一天，商高對周公說，最近我又有一個新的發(fā)現(xiàn)，把一根長為7的直尺折成直角，使一邊長（勾）為3，另一邊長（股）為4，連接兩端（弦）得一個直角三角形，周公您猜一猜第三邊的長等于多少？周公搖頭不知道。同學(xué)們，你們猜猜是多少？
生：5（不知道）
師：不知道也沒關(guān)系，我們來量一量斜邊的長就知道了。（動畫演示）
師：后來又發(fā)現(xiàn)，直角邊為6、8的直角三角形的斜邊的長是10。這兩組數(shù)據(jù)是否具有某種共同點呢？帶著這個問題人們對直角三角形做了進(jìn)一步的研究，通過計算三條邊長的平方發(fā)現(xiàn)，直角三角形中的三條邊長之間還真有一種特殊的關(guān)系。它們之間到底有什么樣的關(guān)系呢？
生：32+42=52，62+82=102。
師：這是兩組特殊數(shù)字。想一想，是不是一個任意的直角三角形的三邊是否也有這種相等關(guān)系呢？
我們用幾何畫板再做一個實驗，請注意觀察。（任意改變直角三角形三邊的長度，度量、計算顯示相等關(guān)系依然不變。）
師：通過實驗，可以得到什么結(jié)論？
生：直角三角形的三邊滿足：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即a2+b2=c2
師：同學(xué)們概括得非常好！這個結(jié)論盡管是通過多次實驗得到的，但要說明它對任意的直角三角形都成立，還有待進(jìn)行證明。我們先來觀察這個要證明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？
生：表示直角三角形的三條邊長。
師：a2、b2、c2是邊長的平方，由邊長的平方可聯(lián)想到什么？
生：正方形、正方形的面積。
師：對整個等式你們怎樣理解？
生：等式可以理解為兩個正方形的面積和等于一個正方形的面積。
師：那好，下面我們就來做一個拼正方形的游戲，看能不能對我們證明結(jié)論有些幫助。
二、動手拼圖，合作探索定理證明方法
師：現(xiàn)在，前后4人為一個小組，老師給每小組提供了拼圖模型兩套，要求每一套模型拼成一個沒有空隙且不重疊的正方形。拼好后請上臺展示你們的成果，比一比，看哪一組完成任務(wù)最快。
師：同學(xué)們對比自己拼成的兩個圖形，看看它們有什么共同點和不同點？
生：都是邊長相等的正方形，但拼圖的模型不同。
生：這兩個正方形的面積相等。
師：這兩個正方形的面積怎樣計算呢？通過你的計算能否證明a2+b2=c2？請試一試。
師：看哪兩位同學(xué)愿意上來寫出證明過程。
師：兩位同學(xué)剛才用兩種不同的方法證明了實驗得出的結(jié)論，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理。請兩位同學(xué)再談?wù)勀銈兊淖C明思路好嗎？
生甲：圖（A）的面積用四個全等的直角三角形的面積加兩個正方形的面積，圖（B）的面積用四個全等的直角三角形的面積加一個正方形的面積，利用面積相等就證得結(jié)論。
生乙：我把圖（B）用兩種不同方法計算它的面積也能證得結(jié)論。
師：說得好！甲同學(xué)的證明思路正好符合我們前面對等式的理解；乙同學(xué)的證明思路啟發(fā)我們還可以通過拼各種不同的圖形來證明勾股定理。
三、課堂練習(xí)
李明上學(xué)經(jīng)過的路旁有一小湖，隔湖相對有兩棵樹A、B， 但無法直接測量出A、B之間的距離。請你幫他設(shè)計一個解決問題的方案好嗎？
四、小結(jié)
師：同學(xué)們可以感受到勾股定理有什么作用？
生：可以解決在直角三角形中已知兩條邊求第三邊的問題。
師：說得好！這一節(jié)課，你們還學(xué)會了什么？
一、數(shù)學(xué)史之?dāng)?shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過程
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中最基本的元素之一，對數(shù)學(xué)概念的歷史挖掘可以更好的讓學(xué)生對概念的本質(zhì)產(chǎn)生直觀印象，從源頭幫助學(xué)生學(xué)好知識，學(xué)透知識.
正數(shù)與負(fù)數(shù)的歷史發(fā)展
正數(shù)與負(fù)數(shù)的產(chǎn)生是人類思維進(jìn)化的大飛躍.在原始時期，人們沒有數(shù)的概念，在計數(shù)的時候往往使用手指計數(shù)，當(dāng)手指數(shù)量不夠用的時候，人們就會借助結(jié)繩、棍棒、石子的方式計數(shù).隨著社會的發(fā)展，尤其是經(jīng)濟(jì)的發(fā)展.對計數(shù)的要求就逐漸變高，于是就有了自然數(shù)的概念，分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生.而在生活中則有了比0度還低的溫度……這些情景的出現(xiàn)就要求人類開始考慮數(shù)字的正反，多少兩個層面的含義，于是就誕生了負(fù)數(shù)的概念.這種正負(fù)數(shù)產(chǎn)生的過程就可以讓學(xué)生真切的感知負(fù)數(shù)誕生的歷史背景和社會生態(tài)，有利于學(xué)生將正負(fù)數(shù)的知識遷移運用到生活當(dāng)中.
二、數(shù)學(xué)史之定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程
傳統(tǒng)課堂中對定理的證明和介紹往往是將證明過程進(jìn)行展示，學(xué)生對定理的來歷和證明過程的原始記載并無掌握，不能很好的形成對所學(xué)知識的深刻印象.將定理證明的來源及其在不同國家的歷史發(fā)展介紹給學(xué)生將有助于深化對定理的理解，學(xué)習(xí)偉大數(shù)學(xué)家對待證明的方法，并感悟數(shù)學(xué)思想的魅力.
勾股定理的證明
在中國，勾股定理的證明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算經(jīng)》的開頭就有關(guān)于勾股定理的相關(guān)內(nèi)容；而在西方有文字記載的最早給出勾股定理證明的則是畢達(dá)哥拉斯.相傳是畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時，無意中看到朋友家地板的形狀，于是便在大腦中出現(xiàn)了一系列的假設(shè)和猜想，并隨后給予了論證.當(dāng)畢達(dá)哥拉斯證明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是殺牛百頭以示祝賀.現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家已經(jīng)從不同的角度對勾股定理進(jìn)行了證明，證明方法多達(dá)幾十種.
三、數(shù)學(xué)史之?dāng)?shù)學(xué)歷史中較為有名的難題解析
在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，有一些流傳下來的被后人津津樂道的數(shù)學(xué)難題，這些題目的解答中往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)解題思想和獨特的思維方式，同時也可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)問題的奧秘并從中獲得啟示.
哥尼斯堡七橋問題
在18世紀(jì)的時候，有一個小城角哥尼斯堡，城中有一條河，河上坐落著七座橋，這七座橋?qū)⒑又虚g的兩個小島與岸邊相連.在那里生活的居民就提出了一個問題，如何在既不重復(fù)，也不落下的情況下走遍七座橋，并在最后回到出發(fā)點？這個問題困擾了大家很久，但始終都沒有得到解決.直到一位名叫歐拉的數(shù)學(xué)家通過將問題簡化和抽象最終得出了問題的解決辦法.這就是后人常提到的“一筆畫”問題.
四、數(shù)學(xué)史之?dāng)?shù)學(xué)家的故事
數(shù)學(xué)家的故事往往蘊(yùn)含了豐富的人生哲理，不僅教會學(xué)生如何對待工作，對待生活，對待工作中的每個細(xì)節(jié)，還在側(cè)面影響了學(xué)生從事數(shù)學(xué)工作的意愿.教師可以在教學(xué)之余穿插介紹一些中外數(shù)學(xué)家的故事，重點介紹其對待數(shù)學(xué)事業(yè)的態(tài)度以及在工作上優(yōu)良的品質(zhì)，以鼓勵所有學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不斷的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的品質(zhì)與風(fēng)貌.
高斯的故事
高斯十歲上學(xué)時老師給所有同學(xué)出了個題目：將1-100的數(shù)字全部寫出來并把它們相加.老師原本想讓孩子們多算一會兒好讓自己休息，其他很多同學(xué)也開始用石板逐一計算.但是高斯卻很快就將答案擺在了老師的面前.老師自然對高斯的表現(xiàn)異常吃驚，尤其是高斯的答案是正確的.而當(dāng)高斯解釋解題過程的時候，連老師都沒有想到將數(shù)字串進(jìn)行首尾相加的方法卻從一個十歲兒童的筆下得出.這不得不讓人對這個孩子的聰穎大加贊賞和敬佩.
五、數(shù)學(xué)史之中國古代的數(shù)學(xué)成就
中國自古以來就有很多聞名于世的數(shù)學(xué)成就，這些數(shù)學(xué)成就不僅為后世所利用，同時也在很大程度上提升了中國在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的地位.將中國古代的數(shù)學(xué)成就介紹給學(xué)生可以幫助學(xué)生了解中國古代或近現(xiàn)代的數(shù)學(xué)發(fā)展史，同時也可以增強(qiáng)學(xué)生的爰國主義情懷，提升學(xué)生投身于祖國數(shù)學(xué)事業(yè)的決心和毅力.
中國古代主要的數(shù)學(xué)成就
中國的數(shù)學(xué)起源于本土，并在獨立發(fā)展的同時形成了自身的風(fēng)格.古代有三個中國數(shù)學(xué)發(fā)展的巔峰時期，分別是兩漢時期、魏晉南北朝時期以及宋元時期.兩漢時期有著名的《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》，到了魏晉南北朝時期則在這兩本著作的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了其他的注釋和推導(dǎo).最有名的莫過于劉輝“圓周率”的得出、此外例如《夏侯陽算經(jīng)》等數(shù)學(xué)著作也相繼誕生；宋元時期的中國數(shù)學(xué)則達(dá)到了頂峰，李冶等一大批中國著名的數(shù)學(xué)家的誕生為當(dāng)時中國的數(shù)學(xué)事業(yè)貢獻(xiàn)了大批成果.如“解高次方程的數(shù)值”、“楊輝三角”等.
除此之外，對于數(shù)學(xué)史中的一些重要成就在現(xiàn)當(dāng)代的應(yīng)用等都是可以用來傳授的材料，教師要在材料的甄選和表達(dá)方式上多下工夫，讓學(xué)生更好的領(lǐng)會到數(shù)學(xué)中蘊(yùn)藏的人文價值和美學(xué)價值，以加強(qiáng)自我提升意識和爰國情懷.
顯性的數(shù)學(xué)教學(xué)文化濃郁厚重，比較直觀、直接，容易使學(xué)生振奮;隱性的數(shù)學(xué)教學(xué)文化淡雅，講究委婉、逐漸滲入，能夠起到潛移默化的作用。這兩種數(shù)學(xué)教學(xué)文化相輔相成，變換運用則能使得數(shù)學(xué)教學(xué)文化有內(nèi)容、有內(nèi)涵，從而達(dá)到理想的效果。如在教學(xué)《勾股定理》一課時，可以利用顯性文化，給學(xué)生講解勾股定理的發(fā)展歷史，讓學(xué)生從中品味其厚重而悠久的歷史傳承與發(fā)展:從中國周代商高的“勾廣三，股修四，徑隅五”到古希臘畢達(dá)哥拉斯的“勾股樹”;從三國時代趙爽的“勾股弦方圖”到西方歐幾里得的演繹推理;從清代的梅文鼎證明到美國總統(tǒng)加菲爾德的“構(gòu)造法”證明，讓學(xué)生在頭腦中形成一幅勾股定理發(fā)生、發(fā)展及不斷豐富的歷史文化圖景，使其深深感受到其中濃郁而厚重的數(shù)學(xué)文化氣息。又如在教學(xué)“一次函數(shù)圖形平移”這一知識點時，先重點教授學(xué)生以坐標(biāo)軸為參照系平移直線圖像，然后把原來的參照系移動，讓學(xué)生思考直線函數(shù)關(guān)系的變化。在動與不動的矛盾中，學(xué)生發(fā)現(xiàn):圖像向左(右)移相當(dāng)于y軸向右(左)平移，圖像向上(下)平移相當(dāng)于x軸向下(上)移，實際上它們的相對位置并沒有改變。這進(jìn)一步鞏固了學(xué)生對“運動的相對性”的理解，加深了其對“辯證意識”“數(shù)形結(jié)合”等思想的認(rèn)知。這種認(rèn)識文化的培養(yǎng)是隱性的，潤物無聲般浸潤著學(xué)生的心靈。這樣循序漸進(jìn)、日積月累的持續(xù)滲透，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成有著極為重要的作用。
二、培養(yǎng)通透的數(shù)學(xué)教學(xué)文化感悟，讓學(xué)生體驗其美
數(shù)學(xué)是理性思維和想象的結(jié)合，其本身就是一種美的體現(xiàn)，體現(xiàn)在對稱性、簡潔性等諸多方面。如在研究三角形、函數(shù)時，會更加關(guān)注等腰三角形、二次函數(shù)的軸對稱性，這體現(xiàn)了軸對稱的美;在研究四邊形時，會更加關(guān)注平行四邊形的中心對稱性，這體現(xiàn)了中心對稱之美;對于最完美的圖形———圓來說，我們則更加關(guān)注垂徑定理……這種對稱之美讓學(xué)生感受到學(xué)數(shù)學(xué)不再是抽象的、枯燥的，而是一種美的享受和體驗。數(shù)學(xué)的簡潔美最直接地表現(xiàn)在數(shù)學(xué)符號上，它是全世界的通用語言，每個人都能從簡單的表達(dá)式中讀出其確切的含義。比如一些常見的數(shù)學(xué)符號及公式定理:圓周率π，三角函數(shù)sin，三角形的面積公式S=12ah，勾股定理a2+b2=c2等。這些符號公式言簡意賅，學(xué)生可以從簡潔的符號語言中明白其中的道理，體驗到數(shù)學(xué)的簡潔之美。數(shù)學(xué)之美包羅萬象，不同的問題從不同的角度體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)之美。比如列方程解決問題，要從復(fù)雜的問題中抽象出一個簡單的等式，這既有抽象之美，又有簡潔之美，還有邏輯之美。教師應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生去體驗和感受這些美。
三、孕育嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教學(xué)文化精神，讓學(xué)生改革其新
數(shù)學(xué)教學(xué)文化具有理性思考、客觀認(rèn)知、不斷追求的精神，而這種精神的孕育就是在課堂上、在師生雙邊的教學(xué)活動中。在教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》一課時，筆者先設(shè)計了“量一量”這個環(huán)節(jié):讓學(xué)生利用量角器測量一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)。通過測量學(xué)生發(fā)現(xiàn)，三角形三個內(nèi)角之和大致在180°左右，這使得學(xué)生初步認(rèn)識到三角形的內(nèi)角和可能是一個定值，但是還難以達(dá)成一致。筆者接著讓學(xué)生進(jìn)行“拼一拼”:將三角形的三個內(nèi)角按照順序拼在一起。學(xué)生經(jīng)過“拼一拼”就會發(fā)現(xiàn)三個內(nèi)角組成一個平角，這使得學(xué)生在活動中鞏固了對“三角形內(nèi)角和為180°”的認(rèn)識。但這樣同樣具有局限性，于是，筆者順勢引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理證明:過一個頂點做對邊的平行線，利用內(nèi)錯角互補(bǔ)的原理，將另外兩個內(nèi)角等量轉(zhuǎn)換出來，使得三個內(nèi)角成為一個平角?！捌匆黄础薄傲恳涣俊钡慕虒W(xué)環(huán)節(jié)目的是讓學(xué)生初步感受到三角形的內(nèi)角和為180°，同時也讓學(xué)生對此操作的局限性有一定的認(rèn)識:操作的粗糙性，測量和拼圖總會存在一定的誤差，嚴(yán)密性不足;操作的特殊性，測量和拼出某一個三角形的內(nèi)角和180°這一結(jié)論難以推至其他三角形，普遍性不足。因此，適時恰當(dāng)?shù)耐评碜C明可以有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的改革創(chuàng)新的精神及思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，并使這些逐步內(nèi)化為學(xué)生的能力和習(xí)慣。
四、提高數(shù)學(xué)文化的素養(yǎng)，使學(xué)生內(nèi)化于心
新加坡是東南亞的經(jīng)濟(jì)強(qiáng)國，該國一直非常重視對國民的教育,并特別注重發(fā)揮教育的功能性和實用性的作用. 在第三次國際數(shù)學(xué)和科學(xué)評測（TIMSS）中，新加坡學(xué)生的表現(xiàn)一直名列前茅,這引起了國際數(shù)學(xué)教育界對該國的數(shù)學(xué)教育的重視,對她的數(shù)學(xué)教育的研究已經(jīng)成為國際數(shù)學(xué)教育研究共同體的一個重要的新領(lǐng)域.美國教育部還專門提供資金，組織專家對此進(jìn)行研究.
“空間與圖形”對訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力有其他學(xué)科難以取代的功能,這是不容置疑的. 而邏輯思維在生活和生產(chǎn)實際中有廣泛的應(yīng)用. 因此,“空間與圖形”部分的教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一直被認(rèn)為是占有重要的地位的.
本研究主要是對我國2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》（以下簡稱中國《標(biāo)準(zhǔn)》）（7―9年級）中的“空間與圖形”部分和新加坡2006年發(fā)行的《中級數(shù)學(xué)課程提綱》（以下簡稱《課程提綱》）中的“幾何與測量”部分的內(nèi)容設(shè)置要求等進(jìn)行比較研究,希望能從中探討出一些新加坡成功的因素，從而給我國數(shù)學(xué)中“空間與圖形”部分內(nèi)容的教育提供一些啟示.
2 比較分析
2.1 相同之處
2.1.1 重視發(fā)展學(xué)生的推理能力和交流表達(dá)能力
兩種標(biāo)準(zhǔn)都注重發(fā)展學(xué)生的推理能力和交流表達(dá)能力. 如中國《標(biāo)準(zhǔn)》提出：在探索圖形性質(zhì)，與他人合作交流等活動過程中，發(fā)展合情推理，進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理的思考與表達(dá)［2］. 新加坡《課程提綱》提出［1］：發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)交流表達(dá)能力，讓學(xué)生能做到自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合；數(shù)學(xué)推理，交流表達(dá)與聯(lián)系能力的培養(yǎng)應(yīng)該滲透到從小學(xué)到A水平大學(xué)的所有水平的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中.
2.1.2 注重學(xué)生的情感體驗過程
中國《標(biāo)準(zhǔn)》提到［2］：學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的基本性質(zhì)，欣賞并體驗變換在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用. 在教學(xué)中，應(yīng)注重所學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，注重使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等探索過程. 新加坡《課程提綱》則是這樣提出：學(xué)生對數(shù)學(xué)的態(tài)度是由他們的學(xué)習(xí)經(jīng)歷發(fā)展形成的. 使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有趣，有意義并且與生活息息相關(guān)將有助于學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的積極態(tài)度；應(yīng)注重學(xué)習(xí)活動的設(shè)計，從而加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心和欣賞數(shù)學(xué)的態(tài)度. 由此可見，兩種標(biāo)準(zhǔn)都對學(xué)生的情感體驗過程給予了極大的關(guān)注. 2.2 不同之處
2.2.1 具體目標(biāo)的呈現(xiàn)方式不同
中國《標(biāo)準(zhǔn)》在具體目標(biāo)上對每一知識內(nèi)容的要求都很詳細(xì)，它在提出對知識點要求的方式上用了較多的“通過豐富的實例”、“結(jié)合具體例子”、和“了解”、“知道”、“理解”、“欣賞”、“體會”、 “掌握”、“探索”等詞語的組合. 由這些詞語，可以看到，中國《標(biāo)準(zhǔn)》對“空間與圖形”的具體要求程度作了比較清楚明確的界定，因而可操作性較強(qiáng)，便于教師在教學(xué)實踐中進(jìn)行操作.
而新加坡的《課程提綱》對具體目標(biāo)只是部分用到了“尋找”、“解決”這兩個動詞，絕大部分內(nèi)容知識點只是羅列出來，卻沒有具體動詞的. 比如，在提綱中，它只是列出了“角、三角形、勾股定理的應(yīng)用”，而對這三個知識點是要求學(xué)生了解，理解還是掌握呢？它則沒有說明. 可以說，新加坡的《課程提綱》在具體目標(biāo)上對知識內(nèi)容的要求是較為簡明的，因而靈活性較強(qiáng)，教師在教學(xué)過程中可以根據(jù)實際情況恰當(dāng)處理.
2.2.2 包含內(nèi)容在廣度和深度上的不同
新加坡的中學(xué)階段開設(shè)了四種源流課程:特別課程,快捷課程,普通學(xué)術(shù)課程和普通工藝課程. 相應(yīng)地它制定了三個數(shù)學(xué)課程提綱,分別是《O水準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程提綱》(O Level Mathematics Syllabus),主要是指導(dǎo)特別課程和快捷課程的數(shù)學(xué)教育;《普通學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)課程提綱》(N(A) Level Mathematics Syllabus) ,適用于普通學(xué)術(shù)課程的數(shù)學(xué)教育和專門為普通工藝課程的數(shù)學(xué)課程而設(shè)的《普通工藝數(shù)學(xué)課程提綱》(N(T) Level Mathematics Syllabus). 由于修讀特別課程和快捷課程的學(xué)生占了新加坡中學(xué)生的絕大部分,且《O水準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程提綱》中的內(nèi)容比較全面(《普通學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)課程提綱》和《普通工藝數(shù)學(xué)課程提綱》的內(nèi)容大部分都是它的子集),因此,本文以《O水準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程提綱》作為新加坡《中級數(shù)學(xué)課程提綱》的代表,選擇它的“幾何與測量”這部分內(nèi)容來與中國《標(biāo)準(zhǔn)》7―9年級的“空間與圖形”這部分內(nèi)容作比較.
中國《標(biāo)準(zhǔn)》中第三學(xué)段(7―9年級)的“空間與圖形”部分和新加坡《O水準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程提綱》中的“幾何與測量”部分的內(nèi)容范圍大致如下表1（其中新加坡《O水準(zhǔn)課程提綱》的附加部分是不會作為直接測試內(nèi)容，但有可能在平時的問題解決中需間接用到這些知識）.
從表1可以發(fā)現(xiàn)，盡管中國《標(biāo)準(zhǔn)》與新加坡《O水準(zhǔn)課程提綱》在“空間與圖形”這領(lǐng)域內(nèi)容有很多相同的知識點. 比如,角、圓、測量、圖形的相似等等內(nèi)容. 但在內(nèi)容范圍的廣度上還是有不同之處的，如，“鑲嵌、視圖與投影、圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形與證明”等這些內(nèi)容在《標(biāo)準(zhǔn)》中是有要求學(xué)習(xí)的，而《O水準(zhǔn)課程提綱》則沒有要求. 同樣，“二維向量”在《O水準(zhǔn)課程提綱》中有要求掌握，而《標(biāo)準(zhǔn)》的7―9年級則還不要求學(xué)習(xí).
再參見《標(biāo)準(zhǔn)》（7―9年級）對“空間與圖形”部分的具體要求以及《O水準(zhǔn)課程提綱》對“幾何與測量”部分內(nèi)容的具體要求，詳細(xì)比較研究，可以得到，中國《標(biāo)準(zhǔn)》對“空間與圖形”這部分內(nèi)容深度要求比新加坡的要高. 比如對相同的知識點“勾股定理”的要求來看，中國《標(biāo)準(zhǔn)》要求不僅要會應(yīng)用勾股定理，還要理解體會它的證明過程. 而新加坡《O水準(zhǔn)課程提綱》則是要求知道勾股定理并會應(yīng)用它即可，要求明顯低些. 再從兩種標(biāo)準(zhǔn)中的不同知識內(nèi)容來看，中國《標(biāo)準(zhǔn)》中要求掌握的“圖形與旋轉(zhuǎn)，圖形與證明”等這些比較抽象，邏輯推理比較強(qiáng)的知識內(nèi)容一直是初中生學(xué)習(xí)的難點. 而《O水準(zhǔn)課程提綱》對 “二維向量”的學(xué)習(xí)要求不高，主要是掌握向量的一些基礎(chǔ)概念及其基本運算.雖然《O水準(zhǔn)課程提綱》附加部分有些內(nèi)容是中國高中標(biāo)準(zhǔn)才要求學(xué)習(xí)的，但前面已經(jīng)提到，附加這部分的內(nèi)容是不列入學(xué)生直接考試內(nèi)容的，并沒有要求一定要掌握，應(yīng)該可以作為學(xué)生課外學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
2.2.3 對“知識的實際應(yīng)用”的要求不同
“問題解決”是新加坡中級數(shù)學(xué)課程框架的核心. ［5］因而，新加坡整個數(shù)學(xué)課程的設(shè)計都是以提高學(xué)生的問題解決能力為宗旨的. 這在《課程提綱》對“幾何與測量”部分的要求也可以體現(xiàn)出來，例如，“應(yīng)用全等和相似解決簡單的實際問題”，“測量球體，圓錐等的體積“，”通過測量，結(jié)合所學(xué)知識解決實際生活中一些組合體的體積和表面積問題”等等. 中國《標(biāo)準(zhǔn)》在“空間與圖形”這部分內(nèi)容中也有提出要學(xué)生“運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實際問題”的要求，但總體上來看，強(qiáng)調(diào)要求不夠突出，重視程度沒有新加坡的高.
3 啟示
通過兩種標(biāo)準(zhǔn)的比較可知，新加坡《課程提綱》要求中學(xué)4年所學(xué)習(xí)的“空間與圖形”這領(lǐng)域內(nèi)容并不比中國初中生三年要學(xué)習(xí)的內(nèi)容多很多，反而學(xué)的知識相對簡單. 可見，新加坡數(shù)學(xué)教育是比較注重鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識的. 文［6］對新加坡數(shù)學(xué)教材中的“勾股定理”這節(jié)內(nèi)容的分析，也得到這個特點. 而且新加坡的《課程提綱》對“推理證明”不作過多要求，它更多的是關(guān)注學(xué)生對知識的實際應(yīng)用.
筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)課程改革中，我們應(yīng)該向新加坡學(xué)習(xí)，在保持我國“注重雙基教學(xué)”的優(yōu)良傳統(tǒng)基礎(chǔ)上，淡化演繹推理證明，注重知識的實際應(yīng)用. 記得“新課標(biāo)”剛頒布時，曾有專家指出：“‘新課標(biāo)’大大淡化了數(shù)學(xué)中的推理證明，會使數(shù)學(xué)課失去靈魂. ”推理證明可以鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，這是無可厚非的. 但淡化并不等于沒有，只是舊課程要求的證明過多過繁，不利于學(xué)生的全面發(fā)展，所以我們應(yīng)該將要求降低. 至于“關(guān)注知識的應(yīng)用”方面，我們知道，“學(xué)以致用”一直是我們教育所追求的重要目標(biāo)之一，因而，在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)加強(qiáng)與解決實際問題的聯(lián)系. 在“空間與圖形”部分的教學(xué)更應(yīng)該與實際測量等一些日常生活活動結(jié)合起來進(jìn)行.
當(dāng)然，數(shù)學(xué)教育的成功，不僅需要制定合適的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，還需要編制出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)教材以及選取有效的數(shù)學(xué)教學(xué)方法等相結(jié)合. 因此，我們可以進(jìn)一步去探究新加坡數(shù)學(xué)教材，教法方面的優(yōu)點與不足，從而為我國的數(shù)學(xué)教育提供更多的參考與借鑒.
參考文獻(xiàn)
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［3］ 李秉彝，江春蓮.新的O水準(zhǔn)數(shù)學(xué)大綱之新體現(xiàn)在何處［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2007，46(9)： 7-9．
［4］ 劉長明，孫連舉．中美兩國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中初中學(xué)段“空間與圖形”領(lǐng)域的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)之比較［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，11（4）：49-51．
［5］ 黃翔，童莉.新加坡的新數(shù)學(xué)教材《New Mathematics Counts》［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2003，(11)：29-32．
一、利用平面幾何知識證明線線垂直
由于立體幾何中的很多問題都可以通過“化空間為平面”的思想方法來解決，因此平面幾何中證明線線垂直的方法仍適用.如：勾股定理、菱形或正方形的對角線互相垂直、等腰三角形的三線合一、直徑所對的圓周角是直角、三角形全等、過切點的半徑垂直于切線，等等.
1.利用等腰三角形中“三線合一”的性質(zhì)證明線線垂直。
例1：已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB和PC的中點（如圖），求證：MNAB.
分析：由于M是AB邊上的中點，因此可以聯(lián)想到利用等腰三角形中“三線合一”性質(zhì)來證明.不妨先構(gòu)造一個三角形，然后證明它是等腰三角形.
證明：連接PB、BN、AC、AN，由PA平面ABCD，BCAB且BC?奐平面ABCD。
PBBC
N是PC中點
BN=PC
PAAC
AN=PC
AN=BN，ANB是等腰三角形
M是AB中點
MNAB
點評：本題是先借助直角三角形的性質(zhì)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到AN=BN，再利用等腰三角形“三線合一”得出MNAB.
2.利用勾股定理證明線線垂直。
例2：在正方體ABCD-ABCD中，P為棱的中點，O為底面正方形ABCD的中心，求證：BOPA.
分析：要證明BOPA，可以先證BOPA.可以計算一下BO，PO，BP三邊的長度，觀察是否滿足BO+PO=PB.
證明：連接PO，PB.
BBAO，BDAO
AO平面BBDD，即PO是AP在平面BBDD內(nèi)的射影.
設(shè)AB=a則BD=BD=a，OB=OD=a.
BO=OB+BB=a，PO=OD+OP=a，PB=BDB+DP=a.
BO+PO=PB，BOPO，PAOB.
點評：本題的證明過程，既用到了平面幾何中的勾股定理，又用到了立體幾何中的三垂線定理，兩者有機(jī)地結(jié)合在一起.
3.利用菱形的性質(zhì)、三角形全等證明線線垂直。
例3：已知平行六面體ABCD-ABCD的底面是菱形，且∠CCB=∠CCD，證明：CCBD.
分析：要證CCBD，只要證BD平面OCC，即證BD和平面OCC內(nèi)的兩條直線都垂直，可以利用菱形的性質(zhì)和三角形全等來證.
證明：連AC交BD于O，連CO、BC、DC.
四邊形ABCD為菱形
AC與BD垂直且平分，即ACBD.
BC=CD，且∠CCB=∠CCD.
CDC≌CBC.
CD=CB即CBD是等腰三角形.
又O是BD的中點，OCBD，又CC∩OC=C，CC、OC?奐平面OCC
BD平面OCC.
CC?奐平面OCC.
BDCC.
點評：通過利用菱形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)證明了線面垂直，最后由此得出線線垂直.
4.利用若兩直線平行，其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線。
例1除了用等腰三角形的性質(zhì)來證明外，還可以利用平行線的性質(zhì)來證.
分析：要證明ABMN，可以證明與MN平行的一條直線垂直于AB即可，不妨根據(jù)已知條件添加輔助線，構(gòu)造一個平行四邊形.
證明：連PD取中點F，連NF，AF.
NF∥CD∥AM，且NF=CD=AB=MA.
四邊形AMNF為平行四邊形.
MN∥AF.
PA平面ABCD.
PAAB.
又ABAD且PA∩AD=A.
AB平面PAD.
ABAF.
MNAB.
點評：本題重點考查空間中的垂直關(guān)系，還考查了平面幾何中兩直線平行的判定和性質(zhì)，可見平面幾何知識在立體幾何中的重要性.
二、利用立體幾何中證明垂直的方法
1.利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)證明線線垂直。
例1的前兩種證明方法都是借助平面幾何的知識來完成的，我們也可以用立體幾何的知識來證.
分析：要證線與線垂直，可以先證線與面垂直，然后利用線面垂直的性質(zhì)，得出線與線垂直.
證明：取AC中點E，連接ME、EN
M是AB中點.
ME∥BC.
ABBC.
MEAB.
EN∥PA，PA平面ABCD.
EN平面MEN.
又AB?奐平面ABCD且ME∩NE=E.
AB平面MEN，而MN?奐平面MEN.
ABMN.
點評：線線垂直、線面垂直、面面垂直之間可以相互轉(zhuǎn)化.
2.利用三垂線定理及逆定理來證明線線垂直。
例4：在正方體ABCD-ABCD中，P為棱的中點，O為底面正方形ABCD的中心，求證：BOPB.
分析：要證明BOPA，只要證明PAAM，再證明AM是BO在平面AD中的射影即可.
證明：取AD中點M，連接OM，AM.
O，M均為中點.
OM∥AB∥AB.
又AB平面AADD.
OM平面AADD，即AM就是OB在AADD平面上的射影.
又AAM≌ADP.
∠PAD+∠AMA=90°.
PAAAM.
由三垂線定理得PAOB.
點評：三垂線定理來證明線線垂直，基本程序為“一垂，二射，三證”，即第一步是找平面和垂線，第二步是找射影，第三步是證明垂直.
三、利用向量證明線線垂直
“兩向量垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零”，通過計算兩向量的數(shù)量積來證明兩條直線或線段垂直.
例5：l，l是相互垂直的異面直線，MN是它的公垂線段，點A、B在l上，C在l上，且AM=MB=MN，證明：ACNB.
分析：如果建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后能算出與的數(shù)量積為零，就能證明ACNB.
證明：建立空間坐標(biāo)系M-XYZ.
令MN=1則A（-1，0，0）B（1，0，0）.
MN是l，l，的公垂線段，且ll.
l平面ABN.
l∥Z軸.
設(shè)C（0，1，m）則（1，1，m），=（1，1，0），•=（1，1，m）•（1，-1，0）=0.
ACNB.
點評：用向量證明垂直的時候，要選取合適的坐標(biāo)系，可以使計算變得非常簡單，通常可以利用已知的邊或特殊的邊建立坐標(biāo).
例1 （上海市）如圖1，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且ACE是等邊三角形．
（1） 求證：四邊形ABCD是菱形.
（2） 若∠AED=2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．
（說明：本文所有例題皆選自2008年中考題）
分析： 證四邊形ABCD是菱形的方法有多種：證明四邊形ABCD的四條邊相等；證明平行四邊形ABCD有一組鄰邊相等（如，通過EAD≌ECD證AD=CD）；證明平行四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直.
若從AC既是平行四邊形ABCD的對角線，又是等邊ACE的一條邊的角度展開思考，可優(yōu)先考慮對角線，利用等腰三角形的三線合一，證ACBD.事實上，有相當(dāng)一部分題目，在從邊、角、對角線三個方向上構(gòu)思解題策略時，可優(yōu)先考慮對角線.
證明：（1） 由四邊形ABCD是平行四邊形，得OA=OC.
由EAC是等邊三角形，且OA=OC，得EOAC.
四邊形ABCD是平行四邊形，ACBD，
平行四邊形ABCD是菱形.
（2） 由EAC是等邊三角形，得∠AED= ∠AEC=30°.
由∠AED=2∠EAD，可得∠EAD=15°，∠OAD=60°-15°=45°.
因為∠ODA=30°+15°=45°，所以∠OAD=∠ODA，OA=OD.
因為OA=OC，OB=OD，所以AC=BD.所以菱形ABCD是正方形.
注：也可以這樣證明：因平行四邊形ABCD是菱形，故∠BAC=∠DAC，∠BAD=90°.所以四邊形ABCD是正方形.
策略2若直覺無效，則不妨從最原始的地方思考
例2 （重慶市）如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E.
求證：（1） BFC≌DFC；（2） AD=DE.
分析： （1） 由BC=DC，CF平分∠BCD，CF=CF，易得BFC≌DFC.
（2） 證明AD=DE，估計同學(xué)們憑借直覺在較短時間內(nèi)無法找到證明方法.這時不妨從最原始的地方展開思考：利用全等三角形證明AD=DE.連接BD，得ADB、EDB.不難發(fā)現(xiàn)，BD=BD，∠ADB=∠DBC=∠CDB.欲證明ADB≌EDB，尚需∠ABD=∠EBD或∠A=∠DEB（提醒：不要考慮待證線段AD=DE）.從運用DF∥AB的角度思考，可考慮證∠ABD=∠EBD.
由BFC≌DFC，得FB=FD，所以∠FBD=∠FDB.
又因DF∥AB，故∠FDB=∠ABD.
∠ABD=∠EBD.
證明：略.
注：本題也可以延長DF交BC于點H，利用BHF≌DEF證BH=DE，利用平行四邊形ABHD的對邊相等，得AD=BH，從而完成證明.
策略3構(gòu)造基本圖形
例3 （山東?。┰谔菪蜛BCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點.求證：CEBE.
分析： 延長CE交BA的延長線于點F（如圖3）.
由DCE≌AFE，得CE=FE，CD=FA.
因BF=AB+AF=2+1=3，BC=3，故BF=BC.
BCF是等腰三角形三線合一的基本圖形.
證明：略.
注：本題也可通過具體計算的方法，借助勾股定理的逆定理證明兩條直線互相垂直.
策略4計算證明法
例3再證：如圖4，過點C作CFAB，垂足為F，得矩形AFCD，AF=CD=1，BF=2-1=1.
在RtBCF中，AD=CF= =2 .
在RtCDE中，CE 2=DE 2+CD 2=2+1=3.
在RtBAE中，BE 2=AE 2+AB 2=2+4=6.
CE 2+BE 2=3+6=9=BC 2.
∠CEB=90°.
注：本題還可通過過E作中位線進(jìn)行計算證明.
策略5化歸策略
例4 （莆田市）如圖5，已知矩形ABCD，點P是BC邊上的一個動點.
（1） 求證：PA2+PC 2=PB 2+PD 2.
（2） 請你探究：當(dāng)點P在矩形ABCD的內(nèi)部（如圖6）時，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，請給出簡單的證明過程；若不成立，請簡述理由.
（3） 當(dāng)點P在矩形ABCD的外部（如圖7）時，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，請給出簡單的證明過程；若不成立，請簡述理由.
分析： （1） 因線段PA，PB位于RtPAB中，PC，PD位于RtPCD中，所以從運用勾股定理的角度可以將待證結(jié)論P(yáng)A2+PC 2=PB 2+PD 2化為PA2-PB 2=PD 2-PC 2.
在RtABP中，PA2-PB 2=AB 2；在RtCDP中，PD 2-PC 2=CD 2.
由AB=CD，可得PA2-PB 2=PD 2-PC 2.
（2） 如圖6，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F(xiàn)，則問題（2）即可以化歸成問題（1）.
運用（1）中的結(jié)論，得PA2-PE 2=PD 2-PF 2，PB 2-PE 2=PC 2-PF 2 .兩式相減，得PA2-PB 2=PD 2-PC 2，即PA2+PC 2=PB 2+PD 2.
（3） 仿第（2）題，在圖7中，過點P作EF∥BC，分別交BA，CD的延長線于E，F(xiàn)，即可將問題化歸為問題（1），仿第（2）題的方法可獲解.
證明：略.
策略6整體考察法
例5 （廣州市）如圖8，每個小正方形的邊長為1，把陰影部分剪下來，用剪下來的陰影部分拼成一個正方形，那么新正方形的邊長是（）.
A. B. 2 C. D.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué);應(yīng)用價值;科學(xué)價值;人文價值;學(xué)習(xí)能力
【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）30-0022-02
【作者簡介】茅雅琳，江蘇省海門市東洲國際學(xué)校（江蘇海門，226199）教師，中學(xué)高級教師，南通市學(xué)科帶頭人。
數(shù)學(xué)，一方面，作為一個強(qiáng)大的工具，在科學(xué)領(lǐng)域和日常生活中都發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，人們利用數(shù)學(xué)的力量去發(fā)現(xiàn)和闡明宇宙的奧秘;另一方面，作為一門基礎(chǔ)的學(xué)科，數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、抽象性和邏輯性又讓學(xué)生望而生畏。為了人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)，讓不同的人獲得不同的發(fā)展，作為數(shù)學(xué)教師，我們在課堂上，應(yīng)通過發(fā)現(xiàn)學(xué)科價值，發(fā)展學(xué)生學(xué)力，實現(xiàn)將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，變數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”為“火熱的思考”。
一、發(fā)現(xiàn)學(xué)科價值
“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)”，數(shù)學(xué)的學(xué)科價值包括應(yīng)用價值、科學(xué)價值和人文價值，教學(xué)過程中，要努力發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的這些學(xué)科價值。
1.挖掘數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。
根據(jù)弗賴登塔爾的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”原則，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，并且應(yīng)用于現(xiàn)實，教學(xué)過程應(yīng)該是幫助學(xué)生把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)如果脫離了豐富多彩而又錯綜復(fù)雜的背景材料，就將成為無源之水、無本之木。
教師教學(xué)時，要努力挖掘現(xiàn)實背景與數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，如超市組織的抽獎活動與概率，外出旅游時門票打折與二次函數(shù)，商場購物時方案選擇與一次函數(shù)，上學(xué)途中汽車行駛的路程與列方程解應(yīng)用題，升旗儀式中旗桿的高度與解直角三角形等，很多數(shù)學(xué)知識都是因現(xiàn)實生活的需要而產(chǎn)生和發(fā)展的。數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值還體現(xiàn)在它與其他學(xué)科的聯(lián)系上，如在物理學(xué)科中，利用相似三角形求力、力臂;利用比例的性質(zhì)求密度、壓強(qiáng);利用方程組求電阻、電流等。在化學(xué)學(xué)科中，借助數(shù)學(xué)計算配平化學(xué)方程式，借助函數(shù)圖象觀察溶液的反應(yīng)情況等。數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)、生活息息相關(guān)。教學(xué)中，要努力挖掘數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，讓數(shù)學(xué)為人類生活服務(wù)。
2.凸顯數(shù)學(xué)的科學(xué)價值。
數(shù)學(xué)的科學(xué)價值體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的精確性、嚴(yán)謹(jǐn)性、間接性、完備性、對稱性、統(tǒng)一性等本質(zhì)特征上。數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)得以飛速發(fā)展的助推器，它在人類社會發(fā)展史上有著重要地位。
我們在教學(xué)中，要善于站到一定的高度看待數(shù)學(xué)教學(xué)，要遵循學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律進(jìn)行教學(xué)。讓學(xué)生在歸納猜想的過程中體會數(shù)學(xué)語言的精確性，在推理論證的過程中感知數(shù)學(xué)說理的邏輯性，在分類討論中感受數(shù)學(xué)的完備性，在解決問題中感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，等等。
如在勾股定理的教學(xué)中，可以介紹我國《周髀算經(jīng)》中關(guān)于勾股定理的記載、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對勾股定理的研究、世界各地對勾股定理的證明、勾股定理在實踐生活中的應(yīng)用、勾股定理證明方法的探尋等，凸顯勾股定理的科學(xué)價值。
3.追求數(shù)學(xué)的人文價值。
學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識是建立在他個人已有的全部經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的，他獲得的數(shù)學(xué)知識需要經(jīng)歷他各種經(jīng)驗的整合才能有機(jī)地聯(lián)系在一起。而這個整合過程，離不開學(xué)生情感的投入。學(xué)生帶著火熱的情感投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，認(rèn)真思考，踴躍探索，積極交流，主動合作，這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價值。在這個過程中，學(xué)生獲得的就不僅是顯性的數(shù)學(xué)符號、法則，而且包括隱性的精神、思想、方法和價值觀念，后者服務(wù)于人的個性的不斷成長。
二、發(fā)展學(xué)生學(xué)力
著名特級教師李庾南老師曾提出：“學(xué)力是學(xué)習(xí)者借助一定的教育環(huán)境、教育資源和積極的教育實踐活動所形成的自我獲取、自我構(gòu)建、自我發(fā)展、自我超越的知識、態(tài)度、能力的總和?！闭n堂教學(xué)要努力發(fā)展學(xué)生的學(xué)力，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
發(fā)展學(xué)生學(xué)力，應(yīng)主要關(guān)注以下兩點：
1.發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。
學(xué)力首先表現(xiàn)為學(xué)習(xí)能力，它主要包括閱讀能力、理解能力、記憶能力、思維能力、反思能力、專注能力等。要發(fā)展這些能力，首先要注重細(xì)節(jié)的培養(yǎng)。很多時候，學(xué)生拿到題目，喜歡匆忙解答，導(dǎo)致錯誤百出，究其原因，缺少一個重要環(huán)節(jié)――審題，而審題的關(guān)鍵就是認(rèn)真閱讀。在閱讀過程中，對關(guān)鍵條件進(jìn)行必要的圈劃，在圖形上標(biāo)注已知條件，捕捉有用信息，將條件顯性化，這些細(xì)節(jié)的培養(yǎng)都有利于提高學(xué)生的閱讀能力。
發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，還要善于暴露思維過程。在數(shù)學(xué)課堂中，教師經(jīng)常用大量的時間進(jìn)行數(shù)學(xué)題目的講解，應(yīng)改變只講解題過程的做法，要盡量將問題分析的過程展示給學(xué)生，努力將解題的思維過程外顯。如由已知條件出發(fā)，根據(jù)已學(xué)定理或結(jié)論，該有哪些新的結(jié)論？這些結(jié)論中，哪些可用？哪些不用？為何如此選擇？在探尋過程中，出現(xiàn)了哪些障礙？如何快速做出判斷？出現(xiàn)了幾種思路？如何選擇正確的思路繼續(xù)前進(jìn)？……也就是要充分暴露思維的過程。問題講解結(jié)束后，要將更多的時間留給學(xué)生進(jìn)行反思整合，學(xué)生整合知識方法的過程就是學(xué)生學(xué)習(xí)能力得到發(fā)展的過程。
發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，更要努力實現(xiàn)“課堂讓學(xué)”。讓時間――讓學(xué)生有充分思考交流和展示的時間;讓位置――讓課堂成為學(xué)生盡情展示的舞臺;讓評價――讓學(xué)生在互相糾錯質(zhì)疑中拓展和提升。只有做到以上三點，學(xué)生才能真正成為學(xué)習(xí)的主人，才能實現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的提高。
2.培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。
學(xué)生在課堂上，除了獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識和科學(xué)的學(xué)習(xí)方法以外，尤其要獲得良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，包括積極進(jìn)取的學(xué)習(xí)精神、良好穩(wěn)定的學(xué)習(xí)習(xí)慣和睿智機(jī)靈的學(xué)習(xí)策略等。教師在課堂上，要注重這些良好品質(zhì)的培養(yǎng)。我們可以通過創(chuàng)設(shè)情境引入新課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;重視數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣;組織小組交流，引導(dǎo)學(xué)生積極參與;搭建展示平臺，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)表個人見解，學(xué)會傾聽，勇于質(zhì)疑;進(jìn)行及時反饋，享受成功的喜悅，分析失敗的原因，保持良好穩(wěn)定的學(xué)習(xí)心態(tài)。
數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、簡潔的，同時又是美麗的、熱情的。在教學(xué)中，我們要挖掘數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，凸顯數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，追求數(shù)學(xué)的人文價值，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中，踴躍探索，積極思考，快樂成長。
【參考文獻(xiàn)】
[1]茅雅琳.“課堂讓學(xué)”理念下的課堂評析――以“正比例函數(shù)”一課為例[J].中國數(shù)學(xué)教育：初中版，2015（04）.